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2013年清华大学保送生试题解析



2 0 1 3年第 4期 

9  

2 0 1   3年清华大学保送 生试题解析  
徐 文 兵 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标 识码 : A  

张 小 英 
文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3) 0 4—0 0 0 9— 0

2  

( 清华大学附属中学 , 1 0 0 0 8 4)  

2 0 1 3年 清 华 大 学 保 送 生 考 试 于 2 0 1 2年  

1 2月 2 2— 2 3日举 行 . 数 学 试 卷 由五 道 解 答  题组成 , 涉及概率 、 数论 、 复数 、 多 项 式 等 内 

l   I I ( 1 一   ) l   I I ( 1 一   )  

容, 总体上 难度较大 , 相 当于数学竞 赛 的水  平. 本 文对该 试卷 加 以解析 .   题 1 记[  ] 表示不超过实数  的最大  整 数. 证明 :  
 ̄ 1

[ 耳 r a ( 1 一   ‘ ) ¨  ( 1 一   ) ]  ( 1 一   c )  
为  的整 系数多 项式 .  

【 分析 】 利用单位根 的性质及取整 函数 
的性质 证 明.  

【 n 丁 - 3 i 】 . 【  

】 ( n ∈ N + ) .  

证明 设  (   ) =Ⅱ (   — e  ) 为关  
于  在 实数 域 上 不 可 约 的整 系数 多 项 式 , 其 

【 分 析 】 题 中 出 现 了 [ 詈 】 与 [   】 , 为  
了计 算 表 达式 的左边 , 可 以对 n按 照 模 6来 
讨论 .  

次数等于欧拉函数 ( n ) .  

贝 0  一 1 = I I  (   ) .  

证明

对 n按 照模 6分 六种情 形讨 谂  

故I I ( 1 一 X , t ) : ( 一 1 )   ⅡⅡ  (   )  


当 n= 6 t 一 3+r (  ∈ N+ , r = 0 , 1 , 2 ) 时,  

( 一 1 ) n 前(   (   ) )  

【   ] =  [   专业 】  
=  

其中, [   ] 表示不超过实数  的最大整数.  
为 了证 明命 题 , 只需 证 明分 子 所 含 因 子 

i=0  

] = 3 t 2 - 2 t + r t  

(   ) 的个数 比分母多 , 即证明  

r   n  +2n十41  

【 —  一 J ;  
当 n=6 t +r ( t ∈ N+ , r = 0 , 1 , 2 ) 时,  

[ 2 了 m ] + 【  ] ≥ 【   】 + [   】 + [  ] ,  
亦 即证 明对 任 意 的实数 、 y , 均 有 

【   】 =   2  ̄ 【 3 丁 i + r 】  


[ 2   ] +[ 2 y ]  
则式① 

+ Y ] + [   ] +[ Y ] . ① 

对任意的实数 , 记{  } :  一[ z ] .   车  [ 2 {  } ] +[ 2 { Y } ] ≥[ {  } +{ Y } ] .  
由对称 性 , 不妨设 {  } ≤{ Y} .  

3 t 2 +   +   = [  

】 .  

综上 , 对于任意的 / 7 , ∈N  , 均有 

【   】 _ [  
题 2 证明:  

】 .  

则[ 2 {  } ] +[ 2 { Y } ]   2 { Y } ] =[ { Y } +{ Y } ]   ≥[ {  } +{ Y } ] .  
从而 , 原 题得证 .  

中 等 数 学 

题3   已知 a b c =一1 ,2 b+6   c +C 2 口=t ,  

Z+  : 1试求口 6 s + 6   s + c a 5 的 碴 .  



C 

C 

、  

【 分析】 利用 a b c =一 1 可作常见代换 
口 =一   , b=一   , c=一三
. 

Y  

z  

本题 出现 了i 个 字母 , 还 可按 照 消元 的  思路 去解.   解法 1 令 口=一x
b= 一上
, ,

则 0 ≤   ≤ 萼 , 0 ≤   ≤ 兀   .
这样的 ( 0 ,  ) 组 成 的 平 面 区域 为 矩 形  ( 如图2 ) , 其 面积 为 5 , =   d
.  

c =



三 

Y  

变成  则  +   :1   C  C。  




y3+y 2 z 3+z   。=0

. 

故口 6  + 6 c  + c 0   一 3  

= —  +  +   等— 一   3  
=  +  +

)  



一 

y  +y6 z  +  6   一3 x   Y  
5   5  5  

Y  

i   2 1 3 1   2 1 3   1   2   3   』 x t !   4 1 6 1 1 4 1 6 1 , 1 4   6 :   2   5 1 3 :   2   5   3 : 1 2   5   3  


图2  

:  

l — n 
5   5   5  

— 

V   2  


0   nb  + b c  + C a 5=3
.  

针 与 平 行 线 相 交 甘 0 ≤   ≤ ÷ s i n   .   ①  ∑  
6 :一  
0C 

满 足式① 的(  ,  ) 组成 的平 面区域 为图 2   ∑  中的阴影部分, 其面积为 
3 2=   0   d O  

解法 2 由 口 6 c : 一1   代 人  +   b :l
C   C。  


得。 , 。  _ - (  ̄ C 3  

故任意放一针 z 与直线相交的概率为 
p 一 


贝 0   0 6  + 6 c  + C 6 t  
I  
一  



型 
。  

c 4  
札 “ 
Ⅱ 







6   C
— —



1— — a 3 c 9  
  一  

. s .一  

4  5 一 
口 C 

0 C 

题 5 证明: 对 于任 意的正 整数 口 、 b 有 
4  5  





(  : ± 1   2 : =  二   一  
4  5   —

±   2  

2, r im 

( 口 , b )  

e 

n C 

0 C 



 

— 

(   竺 : ± 1   2 —  
3  2   口 C  ~

【 分析  】 可 以考虑利用单位根 的性质来 
证 明.  

 

题 4 平 面 内有 间 距 为 d的平 行 直 线  证明: 任意放 一针 l 与 直线相 交 的概 率为 
p 一


证明 设( 口 , b ):d , 口= d a 0 , b =d b 0 ,   ( 口 0 , b 0 )=1 .  

旦 
丁 c   d‘  

则 寺 ,   a - I   a   ' l   e  


【 分析 】 这是著名的蒲丰投针问题. 关键 
是如何将其转化为几何概型.   证明   如图 1 , 设针的中点为 M, 用  表  示点 肘 与最近的一条平行线 的距离 , 用0 表  示 该平 行线 到针 f 的角.  

÷ (   0 ≤ m ≤ Ⅱ 一   ’ 。  + ∑a ∑ - I  1  
n=0   0《m《4一l nz0   a oI m 
t l— I  

,  

a o l m 
' :  

一 。∑ ∑1 = d = ( a , 6 ) .  
一   ’ 

0≤ 

一l  

a o I m 



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