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高一数学 等差数列求和


Xupeisen110

高中数学

高一数学 等差数列求和
教师: 学生: 时间: 年 月 日 学段:

授课目的与考点对点分析: 研究等差数列求和,以及求和公

授课内容: 数列前 n 项和用 : S n 即 :S n
? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n S n ?1 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n ?1

那么同理前 n-1 项和就为:

上面的两个等式相减你会发现什么呢?
S n ? S n ?1 ? a n

一、 引例:1+2+3+…+100=? 10 岁的高斯(德国)的算法: 首项与末项的和:1+100=101 第 2 项与倒数第 2 项的和:2+99=101 第 3 项与倒数第 3 项的和:3+98=101 ……………………………………… 第 50 项与倒数第 50 项的和:50+51=101 ∴101×(100/2)=5050 ㈠等差数列前 n 项和 S n = = an 2
? bn

n ( a1 ? a n ) 2

=

na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

a、b 为常数 (1) (2)

S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n S n ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a 1

Xupeisen110 (1)+ (2)得:
Sn ? n a1 ? a n 2

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二、公式的推导: 设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,即
S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n

= a 1 ? ( a 1 ? d ) ? ? ? ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 又Sn ∴ 2S n
? a n ? ( a n ? d ) ? ? ? ? a n ? ( n ? 1) d ? ? ( a1 ? a n ) ? ( a1 ? a n ) ? ? ? ( a1 ? a n )

= n (a1 ? a n )
? Sn ? n (a1 ? a n ) 2 ? ? ? ? (1)

此种方法称为倒序相加法 思考:由上面的推导过程中,你能判定下式 的关系: 在等差数列{ a n }中 a 1 ? a n 三、公式的应用:
Sn ? n (a1 ? a n ) 2 ....( 1)

? a 2 ? a n ?1 ? ?

S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d ...( 2 )

根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{ a n }的 S n (1) a 1 =5,
an

=95, n=10

(2) a 1 =100, d=-2, n=50 (3) a 1 =14.5, d=0.7,
an

=32

例 1.等差数列 2,6,10…前多少项和是 36?

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练习: (1)等差数列 1,2,3,4…前多少项的和 是 820? (2)求等差数列 13,15,17,…81 的各项和

例 2.在小于 100 的正整数中共有多少个被 3 除余 2,这些数的和是多少?
解 : 由 3 n ? 2 ? 100 , 得 n ? 32 2 3 ,

? n ? 0 ,1, 2 , ? 31 , 32

即有 33 个被 3 整除余 2 的数,这些数为: 2,5,8,…98
? Sn ? ( 2 ? 98 ) ? 33 2 ? 1650

例 3. 如图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下

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面一层多放一支,最上面一层放 120 支.这个 V 形架上共放着多少支铅笔?

思考题:如何求下列和? ①前 100 个自然数的和: 1+2+3+…+100= ; ;

②前 n 个奇数的和:1+3+5+…+(2n-1)=

③前 n 个偶数的和:2+4+6+…+2n=

.

§、本次课后作业: §、学生对本次课的评价: 特别满意 满意 一般 学生签字: §、教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: 好 好 较好 较好 一般 一般 差 差 差

教师签字:


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