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1.2.3 空间中的垂直关系(2)



1.2.3

空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直
自主学习

学习目标 1.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理,判定两个平面互相垂直. 2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能利用该定理作平面的垂线. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系. 自学导引 1. 如果两个相交平面的交线与第三个平面______, 又

这两个平面与第三个平面相交所得 的两条交线互相______,就称这两个平面互相垂直. 2.如果一个平面过另一个平面的__________,则两个平面互相垂直. 3. 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个 平面. 对点讲练 知识点一 面面垂直的证明 例1

如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点. 求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.

点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键,另外利用面面垂直的定义求二 面角的平面角是 90° (如例 1). 变式训练 1

如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别为 CD、DA 和 对角线 AC 的中点. 求证:平面 BEF⊥平面 BGD.

知识点二 面面垂直的性质定理的应用 例2

如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的 菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB.

点评 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,再一种方法是利用面面垂 直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定 理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平 面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.

变式训练 2 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠BCD=120° ,平 面 PCD⊥平面 ABCD,PC=a,PD= 2a,E 为 PA 的中点.求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.

知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例3

如图所示,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形.

点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面,有时需考虑多种情况 的综合. 在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法 是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线 线垂直. 变式训练 3 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,AB=BC.能否在侧棱 BB1 上 找到一点 E,使得截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C?若能找到,指出点 E 的位置;若不能找到,说 明理由.

1.面面垂直的证法 (1)定义法; (2)判定定理法. 2. 面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理. 至此判定线面垂直的方法主要 有以下五种: (1)线面垂直的定义;(2)线面垂直的判定定理; (3)面面垂直的性质定理; (4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面,
? a∥b? ?

a⊥α? ?

b⊥α. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面, α∥β? ?
? a⊥α ? ?

⊥β.

课时作业 一、选择题 1.平面 α⊥平面 β,直线 a∥α,则(

)

A.a⊥β B.a∥β C.a 与 β 相交 D.以上都有可能 2.若平面 α 与平面 β 不垂直,那么平面 α 内能与平面 β 垂直的直线有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.无数条 3.已知 m、n 为不重合的直线,α、β、γ 为不重合的平面,则下列命题中正确的是( A.m⊥α, ,m⊥ ⊥β B.α⊥γ,β⊥ ∥β C.α∥β,m⊥α,n∥ ⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥ ⊥β 4.

)

如图所示,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,则在平面 PAB、平面 PAD、平面 PCD、 平面 PBC 及平面 ABCD 中,互相垂直的有( ) A.3 对 B.4 对 C .5 对 D.6 对 5.

如图所示,在立体图形 D—ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列 命题中正确的是( ) A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题 6.已知 m、l 是直线,α、β 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于 α 内两条相交直线,则 l⊥α; ② , ,且 l⊥m,则 α⊥β; ③若 ,且 l⊥α,则 α⊥β; ④若 , ,且 α∥β,则 l∥m. 其中正确的命题的序号是________. 7.空间四边形 VABC 的各边及对角线均为 1,M 是 VB 的中点,则平面 ACM 与平面 VAB 的位置关系是________. 8.

如图所示,已知,PA 垂直于圆 O 所在平面.AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点.则图 中面面垂直的共有________对. 三、解答题 9.在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.求证:BC⊥AB.

10.

如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA.

【答案解析】 自学导引 1.垂直 垂直 2.一条垂线 3.交线 对点讲练 例 1 证明 连接 AC,设 AC、BD 交点为 F,连接 EF,

∴EF 是△SAC 的中位线, ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD. 又 平面 EDB, ∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 变式训练 1 证明 ∵AB=BC,CD=AD,G 是 AC 的中点,∴BG⊥AC,DG⊥AC, ∴AC⊥平面 BGD. 又 EF∥AC,∴EF⊥平面 BGD. ∵ 平面 BEF,∴平面 BDG⊥平面 BEF.

例 2 证明 (1)连接 PG,由题意知△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点,∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PG⊥平面 ABCD, ∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° , ∴△ABD 是正三角形,∴BG⊥AD. 又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD. 所以 AD⊥平面 PBG,所以 AD⊥PB. 变式训练 2 证明 设 AC∩BD=O,连接 EO, 则 EO∥PC.

∵PC=CD=a,PD= 2a, ∴PC2+CD2=PD2, ∴PC⊥CD. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, CD 为交线, ∴PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD.

又 平面 EDB, ∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 例 3 证明 (1)在平面 ABC 内取一点 D,作 DF⊥AC 于 F. ∵平面 PAC⊥平面 ABC,且交线为 AC,

∴DF⊥平面 PAC, 平面 PAC,∴DF⊥AP. 作 DG⊥AB 于 G. 同理可证 DG⊥AP. DG、DF 都在平面 ABC 内,且 DG∩DF=D, ∴PA⊥平面 ABC. (2)连接 BE 并延长交 PC 于 H. ∵E 是△PBC 的垂心,∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线,∴PC⊥AE. ∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PC∩PA=P,∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC,即△ABC 是直角三角形. 变式训练 3 解

假设能够找到符合题意的点 E.如图所示,作 EM⊥A1C 于点 M.因为截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C,所以 EM⊥侧面 AA1C1C.取 AC 的中点 N,连接 MN,BN,因为 AB=BC, 所以 BN⊥AC. 又因为 AA1⊥BN, 所以 BN⊥侧面 AA1C1C,所以 BN∥EM. 因为平面 BEMN∩平面 AA1C1C=MN, BE∥平面 AA1C1C,所以 BE∥MN∥A1A. 因为 AN=NC,所以 A1M=MC. 1 因为四边形 BEMN 为矩形,所以 BE=MN= A1A. 2 所以当 E 为 BB1 的中点时,平面 A1EC⊥侧面 AA1C1C. 课时作业 1.D 2.A [若存在 1 条,则 α⊥β,与已知矛盾.] 3.C

4.C [面 PAB⊥面 AC,面 PAB⊥面 PBC, 面 PAD⊥面 AC,面 PAD⊥面 PCD,面 PAB⊥面 PAD.] 5.C [∵AB=CB,且 E 是 AC 的中点, ∴BE⊥AC.同理有 DE⊥AC. ∴AC⊥平面 BDE.∵AC 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 BDE. 又 平面 ACD,∴平面 ACD⊥平面 BDE.] 6.①③ 7.垂直 8.3 9.

证明 在平面 PAB 内, 作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB. ∴AD⊥平面 PBC.又 平面 PBC,∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC, 平面 ABC,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAB. 又 平面 PAB,∴BC⊥AB. 10.证明 (1)如图所示,取 EC 的中点 F,

连接 DF. ∵EC⊥BC,DF∥BC, ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中, 1 ∵EF= EC=BD,FD=BC=AB, 2 ∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故 ED=DA. (2)取 CA 的中点 N,连接 MN、BN, 则 1 EC. 2

∴MN∥BD,∴N 点在平面 BDM 内. ∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BN.

又 CA⊥BN,∴BN⊥平面 ECA. ∵BN 在平面 MBD 内,∴平面 MBD⊥平面 ECA. (3)∵BD 1 1 EC,MN EC, 2 2

∴MNBD 为平行四边形. ∴DM∥BN.又 BN⊥平面 ECA, ∴DM⊥平面 ECA.又 平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA.



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