9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

宁夏固原一中2015届高考数学三模试卷(理科)



宁夏固原一中 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. 已知集合 A={x|x ﹣3x<0}, B={1, a}, 且 A∩B 有 4 个子集, 则实数 a 的取值范围是( ) A. (0,3) B. (0,1)∪(1,3) C. (0,1) D. (

﹣∞, 1) ∪ (3, +∞) 2.已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,e >1,则( ) A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧(?q)是假命题 D.命题 p∨(?q)是真命题
x 2

3.函数 y=log

(sin2xcos

﹣cos2xsin

)的单调递减区间是(

)

A. (kπ+ C. (kπ﹣

,kπ+ ,kπ+

) ,k∈Z ) ,k∈Z

B. (kπ+ D. (kπ+

,kπ+ ,kπ+

) ,k∈Z ) ,k∈Z

4.数列{an}是正项等比数列,{bn}是等差数列,且 a6=b7,则有( ) A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 大小不确定 5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

6.|

|=1,|

|=

, )

?

=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设

=m

+n

(m、

n∈R) ,则 等于( A.

B.3

C.

D.

7.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中|φ|< 需把 y=f(x)的图象上所有点( )

)的图象如图所示,为了得到 y=sinωx 的图象,只

A.向右平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向左平移

个单位长度 个单位长度

8. 若 A 为不等式组

表示的平面区域,则当 a 从﹣2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a

扫过 A 中的那部分区域的面积为( A. B.1

) C. D.2

9. 多面体 MN﹣ABCD 的底面 ABCD 矩形, 其正 (主) 视图和侧 (左) 视图如图, 其中正 (主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则该多面体的体积为( )

A.

B.

C.

D.6

10.若两个正实数 x,y 满足 是( ) A. (﹣1,4) 0)∪(3,+∞)

,且不等式

有解,则实数 m 的取值范围

B. (﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)

C. (﹣4,1) D. (﹣∞,

11.已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交 ) D.4
2

2

于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为( A. B.5 C.

12.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,?x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x ,在(0,+∞)上 f′(x)<x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取值范围为( ) A. B.∪上存在 x0(a<x0<b) ,满足
2

,则称函数 y=f(x)

是上的“平均值函数”, x0 是它的一个均值点. 如 y=x 是上的平均值函数, 0 就是它的均值点. 现 3 有函数 f(x)=x +mx 是区间上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在 A 地侦察发现,在南偏 东 60°方向的 B 地,有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶,企图 抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民.此时,C 地位于中国海监船的南偏东 45°方向的 10 海里处, 中国海监船以每小时 30 海里的距离赶往 C 地救援我国渔民,能不能及时赶到?( ≈1.41, ≈1.73, ≈2.45)

18. 如图, 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB∥CD, AB⊥BC, AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (Ⅰ)求证:AB⊥DE; (Ⅱ)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC∥平面 FBD?若存在,求出 ;若不存在,说明理由.

19.某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练,从中抽出 N 名学生,其数学成绩的 频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间内的学生人数为 2 人. (1)求 N 的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数;

(2)学校从成绩在的三组学生中用分层抽样的方法抽取 12 名学生进行复试,若成绩在,且 + =a(m>0,n>0) ,求证:m+2n≥4.

宁夏固原一中 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. 已知集合 A={x|x ﹣3x<0}, B={1, a}, 且 A∩B 有 4 个子集, 则实数 a 的取值范围是( ) A. (0,3) B. (0,1)∪(1,3) C. (0,1) D. (﹣∞, 1) ∪ (3, +∞) 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 A 中不等式的解集确定出 A,根据 A 与 B 交集有 4 个子集,得到 A 与 B 交集有 2 个元素,确定出 a 的范围即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得:x(x﹣3)<0, 解得:0<x<3,即 A=(0,3) , ∵B={1,a},且 A∩B 有 4 个子集,即 A∩B 有两个元素, ∴a 的范围为(0,1)∪(1,3) . 故选:B. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,e >1,则( A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∧(?q)是假命题 D.命题 p∨(?q)是真命题
x 2

)

考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:利用函数的性质先判定命题 p,q 的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出. 解答: 解:对于命题 p:例如当 x=10 时,8>1 成立,故命题 p 是真命题; 对于命题 q:?x∈R,e >1,当 x=0 时命题不成立,故命题 q 是假命题; ∴命题 p∨ ¬q 是真命题. 故选:D. 点评:本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质,属于基础题.
x

3.函数 y=log

(sin2xcos

﹣cos2xsin

)的单调递减区间是(

)

A. (kπ+ C. (kπ﹣

,kπ+ ,kπ+

) ,k∈Z B. (kπ+ ) ,k∈Z

,kπ+

) ,k∈Z ,kπ+ ) ,k∈Z

D. (kπ+

考点:两角和与差的正弦函数;复合函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 先确定定义域可得 2x﹣ 从而可得解. 解答: 解:∵sin2xcos 又∵函数 y=log ﹣cos2xsin =sin(2x﹣ )>0,∴2kπ+π>2x﹣ >2kπ, ≥2kπ, 按“同增异减”的原则, 确定 2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+ , k∈Z,

(sin2xcos

﹣cos2xsin

)单调递减,

∴由 2kπ<2x﹣

<2kπ+

, k∈Z 可解得函数 y=log

(sin2xcos

﹣cos2xsin

)的单调

递减区间是: (kπ+

,kπ+

) ,k∈Z

故选:B. 点评:求复合函数 y=f(g(x) )的单调区间的步骤一般为: (1)确定定义域; (2)将复合函 数分解成两个基本初等函数; (3)分别确定两基本初等函数的单调性; (4)按“同增异减”的原 则,确定原函数的单调区间.本题属于中档题. 4.数列{an}是正项等比数列,{bn}是等差数列,且 a6=b7,则有( A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 大小不确定 )

考点:数列的函数特性. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由于{bn}是等差数列,可得 b4+b10=2b7.已知 a6=b7,于是 b4+b10=2a6.由于数列{an} 是正项等比数列,可得 a3+a9= 解答: 解:∵{bn}是等差数列, ∴b4+b10=2b7, ∵a6=b7,∴b4+b10=2a6, ∵数列{an}是正项等比数列,∴a3+a9= ≥ =2a6, ≥ =2a6.即可得出.

∴a3+a9≥b4+b10. 故选:B. 点评:本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质,属于中档题. 5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

考点:循环结构. 专题:图表型. 分析:根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件就退 出循环,执行语句输出 k,从而到结论. 解答: 解:当输入的值为 n=5 时, n 不满足第一判断框中的条件,n=16,k=1,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=8,k=2,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=4,k=3,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=2,k=4,n 不满足第二判断框中的条件, n 满足第一判断框中的条件,n=1,k=5,n 满足第二判断框中的条件, 退出循环, 即输出的结果为 k=5, 故选 A. 点评:本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题.

6.|

|=1,|

|=

, )

?

=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设

=m

+n

(m、

n∈R) ,则 等于( A.

B.3

C.

D.

考点:向量的共线定理;向量的模. 专题:计算题;压轴题.

分析:将向量

沿



方向利用平行四边形原则进行分解,构造出三角形,由题目已知,

可得三角形中三边长及三个角, 然后利用正弦定理解三角形即可得到答案.此题如果没有点 C 在∠AOB 内的限制,应该有两种情况,即也可能为 OC 在 OA 顺时针方向 30°角的位置,请 大家注意分类讨论,避免出错. 解答: 解:法一:如图所示: = . = + = ,设 =x,则

∴ =

=3.

法二:如图所示,建立直角坐标系. 则 ∴ =(1,0) , =m +n n) , = , =(0, ) ,

=(m, ∴tan30°= ∴ =3. 故选 B

点评:对一个向量根据平面向量基本定理进行分解,关键是要根据平行四边形法则,找出向量 在基底两个向量方向上的分量,再根据已知条件构造三角形,解三角形即可得到分解结果.

7.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中|φ|< 需把 y=f(x)的图象上所有点( )

)的图象如图所示,为了得到 y=sinωx 的图象,只

A.向右平移

个单位长度 B.向右平移

个单位长度

C.向左平移

个单位长度 D.向左平移

个单位长度

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题. 分析:根据周期求出 ω,再由五点法作图求出?,从而得到函数 f(x)=sin2(x+ (x)的图象向右平移 个单位长度可得 y=sinωx 的图象,从而得出结论. × = ﹣ = ,∴ω=2. )=sin2 ) ,故把 y=f

解答: 解:由题意可得 再由五点法作图可得 2× (x+ ) .

+?=π,∴?=

,故函数 f(x)=sin(ωx+?)=sin(2x+

故把 y=f(x)的图象向右平移

个单位长度可得 y=sinωx 的图象,

故选 A. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin (ωx+?) 的部分图象求函数的解析式, 函数 y=Asin (ωx+?) 的图象变换,属于中档题.

8. 若 A 为 不等式组

表示的平面区域, 则当 a 从﹣2 连续变化到 1 时, 动直线 x+y=a

扫过 A 中的那部分区域的面积为( A. B.1

) C. D.2

考点:简单线性规划的应用. 专题:计算题;压轴题;数形结合.

分析:本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,再分析当 a

从﹣2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的形状,然后代入相应的公式, 求出区域的面积. 解答: 解析:作出可行域,如图, 则直线扫过的面积为

故选 C.

点评:平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平 面区域,然后结合有关面积公式求解. 9. 多面体 MN﹣ABCD 的底面 ABCD 矩形, 其正 (主) 视图和侧 (左) 视图如图, 其中正 (主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则该多面体的体积为( )

A.

B.

C.

D.6

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用三视图的数据,把几何体分割为 2 个三棱锥 1 个三棱柱,求解体积即可. 解答: 解:用割补法可把几何体分割成三部分,如图:棱锥的高为 2,底面边长为 4,2 的 矩形,棱柱的高为 2. 可得 故选:C. ,

点评:本题考查三视图复原几何体的体积的求法,考查计算能力.

10.若两个正实数 x,y 满足 是( )

,且不等式

有解,则实数 m 的取值范围

A. (﹣1,4) ∪(3,+∞)

B. (﹣∞,﹣1)∪(4,+∞)

C. (﹣4,1)

D. (﹣∞,0)

考点:基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:将不等式 有解,转化为求∴(x+ )min<m ﹣3m,利用“1”的代换的思
2

想进行构造,运用基本不等式求解最值,最后解出关于 m 的一元二次不等式的解集即可得到 答案. 解答: 解:∵不等式 ∴(x+ )min<m ﹣3m, ∵x>0,y>0,且 ∴x+ =(x+ ) ( 当且仅当 )= , +2=4,
2

有解,

,即 x=2,y=8 时取“=”,

∴(x+ )min=4, 故 m ﹣3m>4,即(x+1) (x﹣4)>0, 解得 x<﹣1 或 x>4, ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞) . 故选:B. 点评:本题考查了基本不等式在最值中的应用,不等式的有解问题.在应用基本不等式求最值 时要注意“一正、二定、三相等”的判断.运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积 为定值, 难点在于如何合理正确的构造出定值. 对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、 最值法、数形结合法求解.属于中档题.
2 2

11.已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交 ) D.4

于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为( A. B.5 C.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出双曲线的 a,b,c,求得焦点,判断三角形 PF1Q 为等腰三角形,PQ⊥x 轴,令 x=2, 求得|PQ|,再由勾股定理,求得|PF1|,即可求得周长. 解答: 解:双曲线 C: c= =2, ﹣y =1 的 a=
2

,b=1,

则 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 由于点 P 的横坐标为 2,则 PQ⊥x 轴, 令 x=2 则有 y = ﹣1= , 即 y= |PF1|= .即|PF2|= , = = . + +
2

则三角形 PF1Q 的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|= = .

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质, 考查直线与双曲线的关系, 考查运算能力, 属于基础题. 12.设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,?x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x ,在(0,+∞)上 f′(x)<x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取值范围为( ) A. B.∪上存在 x0(a<x0<b) ,满足
2 2

,则称函数 y=f(x)

是上的“平均值函数”, x0 是它的一个均值点. 如 y=x 是上的平均值函数, 0 就是它的均值点. 现 有函数 f(x)=x +mx 是区间上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是﹣3<m≤
3



考点:函数与方程的综合运用;函数的值. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析:函数 f(x)=x +mx 是区间上的平均值函数,故有 x +mx=
3 3

在(﹣1,

1)内有实数根,求出方程的根,让其在(﹣1,1)内,即可求出实数 m 的取值范围. 解答: 解: 函数 f (x) =x +mx 是区间上的平均值函数, 故有 x +mx= (﹣1,1)内有实数根. 由 x +mx= 又 1?(﹣1,1) ∴x +m+1+x=0 的解为: 3<m≤ . ? <m≤ .
2 3 3 3



?x +mx﹣m﹣1=0,解得 x +m+1+x=0 或 x=1.

3

2

,必为均值点,即

?﹣

∴所求实数 m 的取值范围是﹣3<m≤ 故答案为:﹣3<m≤ .

点评:本题主要是在新定义下考查方程根的问题.在做关于新定义的题目时,一定要先认真的 研究定义理解定义,再按定义解答. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在 A 地侦察发现,在南偏 东 60°方向的 B 地,有一艘某国军舰正以每小时 13 海里的速度向正西方向的 C 地行驶,企图 抓捕正在 C 地捕鱼的中国渔民.此时,C 地位于中国海监船的南偏东 45°方向的 10 海里处, 中国海监船以每小时 30 海里的距离赶往 C 地救援我国渔民,能不能及时赶到?( ≈1.41, ≈1.73, ≈2.45)

考点:解三角形的实际应用. 专题:应用题;解三角形. 分析: 过点 A 作 AD⊥BC, 交 BC 的延长线于点 D, 则△ ACD 是等腰直角三角形, 根据 AC=10 海里可求出 AD 即 CD 的长,在 Rt△ ABD 中利用锐角三角函数的定义求出 BD 的长进而可得 出 BC 的长,再根据中国海监船以每小时 30 海里的速度航行,某国军舰正以每小时 13 海里的 速度即可得出两军舰到达 C 点所用的时间,进而得出结论. 解答: 解:如图,过点 A 作 AD⊥BC,交 BC 的延长线于点 D. 因为∠CAD=45°,AC=10 海里, 所以△ ACD 是等腰直角三角形. 所以 AD=CD= AC= ×10=5 (海里) .

在 Rt△ ABD 中,因为∠DAB=60°, 所以 BD=AD×tan 60°=5 × =5 (海里) . 所以 BC=BD﹣CD=(5 ﹣5 )海里. 因为中国海监船以每小时 30 海里的速度航行, 某国军舰正以每小时 13 海里的速度航行, 所以中国海监船到达 C 点所用的时间 t1= 某国军舰到达 C 点所用的时间 t2= 因为 <0.4, 所以中国海监船能及时赶到. = = = (小时) , ≈ =0.4 (小时) .

点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三 角形,利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.

18. 如图, 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB∥CD, AB⊥BC, AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (Ⅰ)求证:AB⊥DE; (Ⅱ)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC∥平面 FBD?若存在,求出 ;若不存在,说明理由.

考点:用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定;向量语言表述线面的垂直、 平行关系. 专题:综合题;空间角. 分析: (Ⅰ)取 AB 中点 O,连接 EO,DO.利用等腰三角形的性质,可得 EO⊥AB,证明边 形 OBCD 为正方形,可得 AB⊥OD,利用线面垂直的判定可得 AB⊥平面 EOD,从而可得 AB⊥ED; (Ⅱ) 由平面 ABE⊥平面 ABCD, 且 EO⊥AB, 可得 EO⊥平面 ABCD, 从而可得 EO⊥OD. 建 立空间直角坐标系, 确定平面 ABE 的一个法向量为 利用向量的夹角公式,可求直线 EC 与平面 ABE 所成的角; (Ⅲ)存在点 F,且 时,有 EC∥平面 FBD.确定平面 FBD 的法向量,证明 =0 即 , ,

可. 解答: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O,连接 EO,DO. 因为 EB=EA,所以 EO⊥AB. … 因为四边形 ABCD 为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC, 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB⊥OD. … 因为 EO∩OD=O 所以 AB⊥平面 EOD. … 因为 ED?平面 EOD 所以 AB⊥ED. … (Ⅱ)解:因为平面 ABE⊥平面 ABCD,且 EO⊥AB,平面 ABE∩平面 ABCD=AB 所以 EO⊥平面 ABCD, 因为 OD?平面 ABCD,所以 EO⊥OD. 由 OB,OD,OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz. … 因为△ EAB 为等腰直角三角形,所以 OA=OB=OD=OE,设 OB=1,所以 O(0,0,0) ,A(﹣ 1,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0,1,0) ,E(0,0,1) . 所以 ,平面 ABE 的一个法向量为 . …

设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 θ,

所以



即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 (Ⅲ)解:存在点 F,且 证明如下:由 .



… … ,所以

时,有 EC∥平面 FBD. ,

设平面 FBD 的法向量为 =(a,b,c) ,则有

所以

取 a=1,得 =(1,1,2) .



因为

=(1,1,﹣1)?(1,1,2)=0,且 EC?平面 FBD,所以 EC∥平面 FBD. 时,有 EC∥平面 FBD. …

即点 F 满足

点评:本题考查线面垂直,考查线面平行,考查线面角,考查利用向量解决线面角问题,确定 平面的法向量是关键. 19.某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练,从中抽出 N 名学生,其数学成绩的 频率分布直方图如图所示.已知成绩在区间内的学生人数为 2 人. (1)求 N 的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数; (2)学校从成绩在的三组学生中用分层抽样的方法抽取 12 名学生进行复试,若成绩在内的 频率为 0.005×10 =0.05,即可求 N 的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数; (2)确定从这一小组中抽出的人数,依题意知 ,求出相应的概率,即可求

ξ 的分布列和数学期望. 解答: 解: (1)由频率分布直方图可知,成绩在区间内的频率为 0.005×10=0.05,所以 ,利用中值估算抽样学生的平均分: 45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72. 所以,估计这次考试的平均分是 7.

由频率分布直方图可知,成绩分布在间的频率最大,所以众数的估计值为区间的中点值 7… (注:这里的众数、平均值为估计量,若遗漏估计或大约等词语扣一分) (2)由(1)知,成绩在内的学生共有 40×(0.3+0.25+0.05)=24 人,成绩在 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设点 Q 的坐标为(x0,4) ,把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程,求得 x0= ,根 据|QF|= |PQ|求得 p 的值,可得 C 的方程. (Ⅱ)设 l 的方程为 x=my+1 (m≠0) ,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦 长公式求得弦长|AB|.把直线 l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得 |MN|.由于 MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|,由此求得 m 的值,可得直线 l 的方程. 2 解答: 解: (Ⅰ)设点 Q 的坐标为(x0,4) ,把点 Q 的坐标代入抛物线 C:y =2px(p>0) , 可得 x0= ,∵点 P(0,4) ,∴|PQ|= . 又|QF|=x0+ = + ,|QF|= |PQ|, ∴ + = × ,求得 p=2,或 p=﹣2(舍去) . 故 C 的方程为 y =4x. 2 (Ⅱ)由题意可得,直线 l 和坐标轴不垂直,y =4x 的焦点 F(1,0) , 设 l 的方程为 x=my+1(m≠0) , 代入抛物线方程可得 y ﹣4my﹣4=0,显然判别式△ =16m +16>0,y1+y2=4m,y1?y2=﹣4. ∴AB 的中点坐标为 D(2m +1,2m) ,弦长|AB|= y2|= =4(m +1) .
2 2 2 2 2 2

|y 1﹣

又直线 l′的斜率为﹣m,∴直线 l′的方程为 x=﹣ y+2m +3. 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点, 把线 l′的方程代入抛物线方程可得 y + y﹣4 (2m +3) =0, ∴y3+y4= 故线段 MN 的中点 E 的坐标为( +2m +3,
2 2 2

, y3?y4=﹣4 (2m +3) . |y3﹣

2

) ,∴|MN|=

y4|=



∵MN 垂直平分线段 AB,故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|, ∴ +DE = MN ,
2 2

∴4(m +1) +

2

2

+

= ×

,化简可得 m

2

﹣1=0, ∴m=±1,∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0,或 x+y﹣1=0. 点评:本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦 长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题. 21.己知 f(x)=e ﹣alnx﹣a,其中常数 a>0. (1)当 a=e 时,求函数 f(x)的极值; (2)若函数 y=f(x)有两个零点 x1, x2(0<x1<x2) ,求证: (3)求证:e
2x﹣2 x

<a;

﹣e

x﹣1

lnx﹣x≥0.

考点:利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出 a=e 的函数的导数,求出单调区间,即可求得极值; (2)先证明:当 f(x)≥0 恒成立时,有 0<a≤e 成立.若 ≥0 显然成立;若 在定理,即可得证; (3)讨论当 a=e 时,显然成立,设 大值,运用不等式的性质,即可得证. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , (1)当 a=e 时,f(x)=e ﹣elnx﹣e, 而
x

,则 f(x)=e ﹣a(lnx+1)

x

,运用参数分离,构造函数通过求导数,运用单调性,结合函数零点存

,求出导数,求出单调区间可得最



在(0,+∞)上单调递增,又 f′(1)=0,

当 0<x<1 时,f′(x)<f'(1)=0,则 f(x)在(0,1)上单调递减; 当 x>1 时,f′(x)>f'(1)=0,则 f(x)在(1,+∞)上单调递增, 则 f(x)有极小值 f(1)=0,没有极大值; (2)先证明:当 f(x)≥0 恒成立时,有 0<a≤e 成立. 若 若 ,则 f(x)=e ﹣a(lnx+1)≥0 显然成立; ,由 f(x)≥0 得 ,
x

令 令

,则 ,





得 g(x)在

上单调递增, 上为负,在(1,+∞)上为正,

又 g(1)=0,所以 φ′(x)在 因此 φ(x)在
a

上递减,在(1,+∞)上递增,即有 φ(x)min=φ(1)=e,
a

从而 0<a≤e.因而函数 y=f(x)若有两个零点,则 a>e,即有 f(1)=e﹣a<0, 由 f(a)=e ﹣alna﹣a(a>e)得 f'(a)=e ﹣lna﹣2, 则
a



则 f′(a)=e ﹣lna﹣2 在(e,+∞)上单调递增, e 2 即有 f′(a)>f'(e)=e ﹣3>e ﹣3>0, a 则有 f(a)=e ﹣alna﹣a 在(e,+∞)上单调递增, e 2 则 f(a)>f(e)=e ﹣2e>e ﹣2e>0,则 f(1)f(a)<0,则有 1<x2<a; 由 a>e 得 , 所以 ,综上得 .
x

,则

(3)证明:由(2)知当 a=e 时,f(x)≥0 恒成立,所以 f( x)=e ﹣elnx﹣e≥0, x 即 f(x)=e ﹣elnx≥e, 设 ,则 ,

当 0<x<1 时,h′(x)>0,所以 h(x)在(0,1)上单调递增; 当 x>1 时,h′(x)<0,所以 h(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以 所以 的最大值为 ,即
2x﹣2

,因而 ﹣e
x﹣1



,即 f(x)=e

lnx﹣x≥0.

点评:本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,主要考查函数的单调性的运用,以及 不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,属于中档题和易错题. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,【选修 4-1:几何证 明选讲】 22.如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已 知 AC=AB. (1)求证:FG∥AC; (2)若 CG=1,CD=4.求 的值.

考点:与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 专题:直线与圆;推理和证明. 2 2 分析: (1)由切割线定理得 AB =AD?AE,从而 AD?AE=AC ,进而△ ADC∽△ACE,由此能 证明 FG∥AC. (2)由题意可得:G,E,D,F 四点共圆,从而△ CGF∽△CDE,由此能求出 解答: (1)证明:∵AB 为切线,AC 为割线,∴AB =AD?AE, 2 又∵AC=AB,∴AD?AE=AC . ∴ ,又∵∠EAC=∠DAC,
2



∴△ADC∽△ACE,∴∠ADC=∠ACE, 又∵∠ADC=∠EGF,∴∠EGF=∠ACE, ∴FG∥AC. (2)解:由题意可得:G,E,D,F 四点共圆, ∴∠CGF=∠CDE,∠CFG=∠CED. ∴△CGF∽△CDE,∴ 又∵CG=1,CD=4,∴ = .

=4.

点评:本题考查两直线平行的证明,考查两线段比值的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意切割线定理的合理运用. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知椭圆 C: =1,直线 l: (t 为参数) .

(Ⅰ)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设 A(1,0) ,若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的坐标. 考点:椭圆的参数方程;直线与圆锥曲线的关系;参数方程化成普通方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)直接利用三角代换写出椭圆 C 的参数方程,消去此时 t 可得直线 l 的普通方程; (Ⅱ)利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式,通过椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距 离与其到直线 l 的距离相等,列出方程,即可求点 P 的坐标.

解答: 解: (Ⅰ)椭圆 C: (Ⅱ)设 P(2cosθ, P 到直线 l 的距离 d=
2 2

(θ 为为参数) ,l:x﹣

y+9=0.… =2﹣cosθ,

sinθ) ,则|AP|= = .

由|AP|=d 得 3sinθ﹣4cosθ=5,又 sin θ+cos θ=1,得 sinθ= ,cosθ=﹣ . 故 P(﹣ , ) .…

点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,参数方程的应用,点到直线的距离以及两点间距离公 式的应用,考查计算能力. 【选修 4-5:不等式证明】 24.设函数 f(x)=|x﹣a| (1)若 f(x)≥5﹣|x﹣1|的解集为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)≤1 的解集为,且 + =a(m>0,n>0) ,求证:m+2n≥4.

考点:绝对值不等式的解法;基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)利用绝对值的几何意义直接求出表达式的最值,通过绝对值不等式求解即可. (2)求出 a=1,推出 ,通过 ,利用基本不等式求出最值

即可. 解答: 解: (1)由已知可得|x﹣a|+|x﹣1|≥5 的解集为 R, 因为|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a)﹣(x﹣1)|=|a﹣1|, 所以|a﹣1|≥5,解得 a≥6 或 a≤﹣4.5 分 (2)证明:依题 f(x)≤1 可知|x﹣a|≤1?a﹣1≤x≤a+1,所以 a=1, 即 ∴ 当且仅当 , , , ,

即 m=2,n=1 时取等号.10 分 点评:本题考查基本不等式和绝对值不等式的解法,考查分析问题解决问题的能力.



更多相关文章:
宁夏固原市第一中学2015届高三三次模拟数学(理)试题
宁夏固原市第一中学2015届高三三次模拟数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。固原一中 2015 届高三年级第三次模拟数学(理)试卷 2015.5.27 本试卷分第Ⅰ卷(...
宁夏银川一中2015届高考数学三模试卷(理科)
宁夏银川一中2015届高考数学三模试卷(理科)_数学_...该程序框图共执行了 2013 次替换,虽然赋值 i=1,a...宁夏固原一中2015届高考... 暂无评价 19页 5下载券...
宁夏银川一中2015届高考数学三模试卷(理科)
宁夏银川一中2015届高考数学三模试卷(理科)_数学_...该程序框图共执行了 2013 次替换,虽然赋值 i=1,a...宁夏固原一中2015届高考... 暂无评价 19页 5下载券...
2015年宁夏固原一中高考化学三模试卷(Word版 含解析)_...
2015年宁夏固原一中高考化学三模试卷(Word版 含解析)_理化生_高中教育_教育专区。高考化学模拟试题 高考化学三模试卷一、选择题(共 7 小题,每小题 3 分,满分...
宁夏固原一中2015届高考化学三模试卷
宁夏固原一中 2015 届高考化学三模试卷参考答案与试题解析 一、选择题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 1. (3 分)下列说法正确的是() A.纤维素、...
宁夏固原市第一中学2015届高三第二次模数学(理)试题
宁夏固原市第一中学2015届高三第二次模拟数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。固原一中 2015 届高考数学(理科)模拟试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题...
2015年宁夏固原一中高考化学三模试卷_图文
2015年宁夏固原一中高考化学三模试卷_理化生_高中教育_教育专区。2015 年宁夏固原一中高考化学三模试卷一、选择题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 1. ...
宁夏固原一中2015届高三第一次综合考试数学(试卷
? a 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 宁夏固原一中 2015 届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题 13. 2 A 3...
宁夏固原市第一中学2015届高三数学第一次综合考试试题
宁夏固原市第一中学2015届高三数学第一次综合考试试题 理_数学_高中教育_教育专区。宁夏固原一中第一次模拟考试 理科数学试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...
宁夏固原市第一中学2015届高三数学第一次综合考试试题
文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 宁夏固原一中第一次模拟考试 理科数学试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图