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6.高中数学复习-函数的奇偶性与周期性



文科数学复习

函数的奇偶性与周期性
一.函数奇偶性的概念 1、如果一个函数图像关于原点对称,则它是 _____ _______ ;反过来,奇函数的图像关于 __ ;如果一个函数的图像关于 y 轴对称,则它是 对称,偶函数的图像关于 对称。

2、对于函数 y=f(x),定义域为 D.若________________,都有___

_________________,称 f(x)为偶函数. 若_____________________,都有__________________________,称 f(x)为奇函数。 3、函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的____________条件。 练习: 1、函数 y ? x ?

2 ( x ? 0) 是_______函数.(奇偶性) x
) C. f ( x) ? f (? x) ? 0 D. f ( x) ? f (? x) ? 0 B. f ( x) ? f (? x) ? 0

2、对于定义在 R 上的任何奇函数 f(x)都有( A. f ( x) ? f (? x) ? 0

二.函数奇偶性的判断 1、 利用图像判断: 考察函数图像是否关于 y 轴或者原点对称,由定义下结论; 2、利用解析式判断:①考察定义域是否关于原点对称;②考察 f(-x)与 f(x)的关系; 3、利用结论判断:奇+偶=______,偶+偶=_______,奇*奇=________,偶*偶=________,奇*偶=_______ 例 1.判断下列函数的奇偶性 ① f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

② y ? log 1 ( x ?
2

x 2 ? 1)

③ f ( x) ? ?

? x 2 ? x( x ? 0) 2 ?? x ? x( x ? 0)

(4) f ( x) ? x (

1 1 ? ) 2 ?1 2
x

三.函数奇偶性的应用 1、若函数 y=f(x)为奇函数且 f(0)有意义,则 f(0)=______________ 2、若 f(x)为______函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|),反之,也成立. 例 2、已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2)
5 3

练习:
7 5 3 1、已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? 5 ,其中 a.b.c.d.是常数.若 f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ? ___________

2、设 a>0,f(x)=

ex a ? 是 R 上的偶函数,则 a 的值为______________ a ex
2

例 3、已知定义在(-∞,+∞)上的函数 f(x)的图像关于原点对称,且当 x>0 时,f(x)=x -2x+2,求函数 f(x)的解析式。

2

练习: 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 x<0 时,f(x)=___________

例 4、设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围

四.函数的周期性 1. 周期函数定义: 若 T 为非零常数, 对于定义域内的任意 x, 使得 f(x+T)=f(x)恒成立, 则 f(x)叫做________, T 叫做这个函数的________;若 f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 f(x)的____________。 2.周期函数的性质:(1)若 T 是函数 f(x)的一个周期,则 kT (k∈Z,k≠0)也是它的一个周期; T? ? T? (2) 若函数 f(x)满足 f ? ?x+2?=f ?x-2?,则 f(x) 也是周期函数,且周期为___________; (3) 若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ωx)(ω≠0)也是周期函数,且周期为___________ 1 ,则 T=_______. f?x?

(4)对于 f(x)定义域内任一变量 x:若 f(x+a)=-f(x),则 T=______;若 f(x+a)=

3? 例 5、已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f ? ?x+2?,且 f(1)=2,则 f(2 014)=________.

练习: 若偶函数 f(x)是以 4 为周期的函数, f(x)在区间[-6, -4]上是减函数, 则 f(x)在[0,2]上的单调性是________

3

巩固练习: 1、函数 f ( x) ? x ? x 是( A.奇函数. B.偶函数 ) C.既是奇函数又是偶函数. ) C.y=x3+x-1 D.y=ln 1+x 1-x D.非奇非偶函数.

2、(2013· 肇庆二模)下列函数为奇函数的是( A.y=|sin x| 3、下列函数是偶函数的是( A、 C、f(x)=x +3x
3

B.y=|x| )

B、 D、f(x)=x +x+2 )
2

4、若 f(x)在[-5,5]上是奇函数,且 f(3)<f(1),则下列各式中一定成立的是( A、f(-1)<f(-3) 5、函数 y=lg|x|是( B、f(0)>f(1) ) C、f(2)>f(3)

D、f(-3)<f(5)

A.偶函数,在(-∞,0)上单调递增 C.奇函数,在(0,+∞)上单调递增 1 6、函数 f(x)= +x 的图象关于( x A.y 轴对称 )

B.偶函数,在(-∞,0)上单调递减 D.奇函数,在(0,+∞)上单调递减

B.直线 y=-x 对称

C.坐标原点对称

D.直线 y=x 对称 )

7、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)=( A.1 B.-1 11 C.- 4 11 D. 4

8、设 f(x)是 R 上的奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5



1 9、(2013· 山东卷)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)=___________ x 10、已知 f(x)=

1 ? a 为奇函数,则常数 a=___________. 3 ?1
x

11、已知 f(x)=ax ?bx ? 2 x ? 8 ,且 f (-1)=10,则 f(1)=________________.
4 2

12、已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x ? (0,+ ? )时,f(x)=x(1+ 3 x ),求 f(x)的解析式.

4



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