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高中数学选修(2-3)综合测试题



高中数学选修(2-3)综合测试题 一、选择题 1.已知 a ???1, 2, 3?,b ??0, 1 , 3, 4?,R ??1 , 2? ,则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 所表示的不同的圆的个数有 ( ) B.3×4+2=14 C.(3+4)×2=14 D.3+4+2=9

A.3×4×2=24 答案:A

2.乒乓球运动员 10 人,其中男女运动员各 5 人,从这 10 名运动员中选出 4 人进行男女 混合双打比赛,选法种数为( A. ( A52 )2 答案:D 3. (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ? A. Cn3?3 答案:D 4.从标有 1,2,3,?,9 的 9 张纸片中任取 2 张,数字之积为偶数的概率为( A.
1 2
? (1 ? x)n? 2 的展开式中 x2 的系数是(

) D. (C52 )2· A22

B. (C52 )2

C. (C52 )2· A42



B. Cn3?2

C. Cn3? 2 ? 1

D. Cn3?3 ? 1



B.

7 8

C. D.

8 9

11 18

答案:C 5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一 次摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( A.
3 5



B.

2 5

C.

1 5 D. 10 9

答案:D 6.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%, 乙厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285 )

第 1 页 共 9 页

答案:A 7.正态总体的概率密度函数为 f ( x) ? A.0,8 答案:D
2) B(2,, 3) C (3,, 4) D(4, 5) ,则 y 与 x 之间的回 8.在一次试验中,测得 ( x,y) 的四组值分别是 A(1,,

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

,则总体的平均数和标准差分别为(



B.0,4

C.0,2

D.0,2

归直线方程为( A. y ? x ? 1 答案:A

) B. y ? x ? 2 C. y ? 2x ? 1 D. y ? x ? 1

9.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在 两个奇数数字之间的五位数的个数是( A.48 答案:C 10.若随机变量η 的分布列如下:
?
?2

) D.20

B.36

C.28

?1

0 0 .2 .3 )

1 0 .1

2 0 .1

3 0

0
P

0 .2

.1

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 答案:C B.1≤x≤2

C.1<x≤2

D.1<x<2

11.春节期间,国人发短信拜年已成为一种时尚,若小李的 40 名同事中,给其发短信拜 年的概率为 1,0.8,0.5,0 的人数分别为 8,15,14,3(人) ,则通常情况下,小李应 收到同事的拜年短信数为( )
第 2 页 共 9 页

A.27 答案:A

B.37

C.38

D.8

12.已知ξ 的分布列如下:
?

1
1 4

2 3
1 3
1 6

4
1 4

P

并且 ? ? 2? ? 3 ,则方差 D? ? ( A. 179
36

) C. 299
72

B. 143
36

D. 227
72

答案:A 二、填空题 13. 某仪表显示屏上一排有 7 个小孔, 每个小孔可显示出 0 或 1, 若每次显示其中三个孔, 但相邻的两孔不能同时显示,则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 答案:80 14.空间有 6 个点,其中任何三点不共线,任何四点不共面,以其中的四点为顶点共可 作出个四面体,经过其中每两点的直线中,有 答案:15 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目 标相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? (0.1)4 . 其中正确结论的序号是 答案:①③
第 3 页 共 9 页

种.

对异面直线



(写出所有正确结论的序号) .

16.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1, 0.5;狙击手乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希 望大的是 答案:乙 三、解答题 17.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? 解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计 数原理,放法共有: 44 ? 256 种. (2)为保证“恰有一个盒子不放球” ,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,即将 4 个球分 成 2,1,1 的三组,有 C42 种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,
1 2 1 2 两个盒子,全排列即可.由分步乘法计数原理,共有放法: C4 · C4 · C3 · A2 ? 144 种.



(3) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此, “恰有一个盒内 放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法. (4)先从四个盒子中任意拿走两个有 C42 种,问题转化为: “4 个球,两个盒子,每盒必放 球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1) , (2,2)两类.第一类:可从 4 个球
1 中先选 3 个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 C43· C2 种放法;第二类:有 C42 种放法.因 1 3 ? C4 ? 14 种.由分步乘法计数原理得 此共有 C43· C2 “恰有两个盒子不放球”的放法有:C42·14 ? 84

种. 18.求 (1 ? x)2 (1 ? x)5 的展开式中 x 3 的系数.
第 4 页 共 9 页

解:解法一:先变形,再部分展开,确定系数.
(1 ? x)2 (1 ? x)5 ? (1 ? x2 )2 (1 ? x)3 ? (1 ? 2 x2 ? x4 )(1 ? 3x ? 3x2 ? x3 ) .

所以 x 3 是由第一个括号内的 1 与第二括号内的 ? x 3 的相乘和第一个括号内的 ?2 x 2 与第二个 括号内的 ? 3 x 相乘后再相加而得到,故 x 3 的系数为 1? (?1) ? (?2) ? (?3) ? 5 . 解法二:利用通项公式,因 (1 ? x)2 的通项公式为 Tr ?1 ? C2r· xr ,
(1 ? x)5 的通项公式为 Tk ?1 ? (?1)k C5k· xk ,

其中 r ??0, 1 , 2?,k ??0, 1 , 2, 3, 4, 5? ,令 k ? r ? 3 , 则? ?
k ?1 , ?k ? 2, ?k ? 3, 或? 或? , ?r ? 0. ?r ? 2, ?r ? 1

1 2 3 故 x 3 的系数为 ?C51 ? C2 · C5 ? C5 ?5.

19.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患 胃病 生活不 60 规律 生活有 20 规律 合计 80 460 40 根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗? 解:由公式得
k? ? 540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 320 ? 220 ? 80 ? 460

未患 胃病 260

合 计 3 20 2

200 20 5

540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? 9.638 . 2590720000 259072
第 5 页 共 9 页

∵ 9.638 ? 7.879 ,

∴我们有

99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关,即生活不规律

的人易患胃病. 20.一个医生已知某种病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否有效,把它给 10 个 病人服用,且规定若 10 个病人中至少有 4 个被治好,则认为这种药有效;反之,则认为 无效,试求: (1)虽新药有效,且把痊愈率提高到 35%,但通过实验被否认的概率; (2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率. 解:记一个病人服用该药痊愈率为事件 A,且其概率为 p,那么 10 个病人服用该药相当 于 10 次独立重复实验. (1) 因新药有效且 p=0.35,故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知,

实验被否定(即新药无效)的概率为:
0 0 10 1 1 9 2 2 x 3 3 7 P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? 0.514 .

(2)因新药无效,故 p=0.25,实验被认为有效的概率为:
P 10 (4) ? P 10 (5) ? ?P 10 (10) ? 1 ? ( P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3)) ? 0.224 .

即新药有效,但被否定的概率约为 0.514; 新药无效,但被认为有效的概率约为 0.224. 21. A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1,A2,A3 , B 队队员是
B1,B2,B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下:

对阵 队员
A1 对 B1

A 队队员胜的

A 队队员负的

概率
2 3

概率
1 3

第 6 页 共 9 页

A2 对 B2 A3 对 B3

2 5 2 5

3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别 为 ?,? . (1)求 ?,? 的概率分布列; (2)求 E? , E? .

解: (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0.
2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? . 3 5 5 25

由题意知 ? ? ? ? 3 , 所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?
P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? 28 ; 75 2 ; 5 3 . 25 8 ; 75

?

的分布列为
?

3
8 75

2
28 75

1
2 5

0
3 25

P

? 的分布列为
第 7 页 共 9 页

?

0
8 75

1
28 75

2
2 5

3
3 25

P

(2) E? ? 3 ?

8 28 2 3 22 , ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 15

因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ? 23 . 22.规定 Axm ? x( x ? 1)
( x ? m ? 1) ,其中 x ? R ,m

为正整数,且 Ax0 ? 1 ,这是排列数 Anm (n,m 是

正整数,且 m≤n)的一种推广. (1)求 A?315 的值; (2)排列数的两个性质:① Anm ? nAnm??11 ,② Anm ? mAnm ?1 ? Anm?1 (其中 m,n 是正整数).是否都能 推广到 Axm ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能, 则说明理由; (3)确定函数 Ax3 的单调区间. 解: (1) A?315 ? (?15) ? (?16) ? (?17) ? ?4080 ; (2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是 ① Axm ? xAxm??11 , ② Axm ? mAxm?1 ? Axm?1 ( x ? R,m ? N? ) . 事实上,在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? x , 右边 ? xAx0?1 ? x ,等式成立;
0 1 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? Ax ? x ? 1 ? Ax ?1 ? 右边,等式成立;

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)
? x( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 2)

( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]

m ? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) [( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右边,

因此② Axm ? mAxm?1 ? Axm?1 ( x ? R,m ? N? ) 成立. (3)先求导数,得 ( Ax3 )? ? 3x2 ? 6x ? 2 .
第 8 页 共 9 页

令 3x2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 3 ?
3? 因此,当 x ? ? ? ?∞, ? 3? 当 x ?? ? ? ? 3 ?

3

3

或 x ? 3?

3

3



3? ? 时,函数为增函数, 3 ? ?

3

? 时,函数也为增函数, , ? ∞? ? ?
3 3

令 3x2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得 3 ? 因此,当 x ? ? 3 ?
? ?

≤ x≤

3? 3 3



3 3? 3? , ? 时,函数为减函数, 3 3 ?

? ?3? 3 ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? 3 的增区间为 ? ? ∞? ∴函数 Ax ? ?∞, 3 ? ?,? ? 3 , ? ;减区间为 ? 3 , 3 ? ? ? ? ? ? ?

第 9 页 共 9 页



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