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1.2.1集合之间的关系


第一章:集合
1.2.1集合之间的关系

? 集合中的元素有多有少,你知道怎样用集合表示全班同

学与女同学之间的关系吗?

【问题提出】
1.集合有哪两种表示方法?
列举法,描述法

2.元素与集合有哪几种关系?
属于、不属于

3.集合与集合之间又存在哪些关系?

【学习目标】
? 1 . 理解掌握集合间的基本关系 -- 包含,真

包含关系,并能用韦恩图表示; ? 2 . 区别元素与集合,集合和集合间的关系; ? 3 . 了解子集、真子集的意义、性质并掌握 它们的符号表示。

考察下列各组集合: A={1,3}, B={1,3,5,6}; C={x|x是长方形} D={x|x是平行四边形} P={x|x是菱形} Q={x|x是正方形} 思考:上述各组集合中,集合A中的元素与集 合B中的元素、集合C中的元素与集合D中的 元素、集合P中的元素与集合Q中的元素有什 么关系?

【自主学习】
1、子集的定义及记法:
任意 一般地,如果集合A中______ 一个元素都是 集合 B 的元素,那么集合 A 叫作集合 B 的 子集 ________ ? A__ 记作__ A ? _ B__或__ B __ 读作__“A __ _B” 或___ “B包含 _ A” __ 包含于
思考1:符号“? ”与符号“? ”表达的含义相同么? 思考2:集合包含关系的符号与哪个不等关系的符号类似?

【自主学习】
1、子集的定义及记法: 注:(1)A ? B 有两种可能:
①A中所有元素是B中的一部分元素; ②A与B中的所有元素都相同; (2)A是B的子集,即判定“任意x ? A ? x ? B ”

【自主学习】
2、子集的性质:
(1)任何一个集合是它本身的子集; 记作

A?A



(2)空集是任何集合的子集; 记作

??A



【自主学习】
3、真子集的定义及记法:
如果集合A是集合B的子集,并且B中至少 有一个元素不属于A,那么集合A叫做集 合B的_ 真子集 _ ,记作 ?A ?B B A ? __ 记作__ __ ?_ __或__ 读作__“A __ _ B” 或___ “B真包含 _ __ 真包含于 A” 4、真子集的性质: ? ? 空集是任何非空集合的真子集,记作 ? A 。

【自主学习】
5、集合的相等:

一般地,如果集合A中的每一个元素都是集合 B的元素,反过来,集合B中的每一个元素都 是集合集合A的元素,那么我们就说集合A等 于集合B,记作 A ? B 。

由相等的定义: A=B ? A ? B且B ? A

我们经常用平面上封闭曲线的内部代表 集合,这种图称为维恩(venn)图,那么, 集合A是集合B的子集用图形如何表示?
6、集合的传递性
A
B

思考:如果 A ? B,且 B ? C ,则集合A与 集合C的关系如何? A?C 思考:如果 A ? B,且 B ? C ,则集合A与集 合C的关系如何? A? ?C

例1 写出集合A = {1, 2,3} 的所有子集和真 子集.
分析:如何一个不漏地写出集合A的所有子集? 按照子集中所含元素个数多少顺序来写,不要忘记 空集和集合A本身。

解:集合A的所有子集是: ?, {1}{2}{3}{1 , , ,,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}
注:在上述子集中,除去集合A本身,即{1,2,3} 剩下的都是A的真子集.

例2 说出下列每对集合之间的关系:

(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5}

(2)P={x|x 2 =1}, Q={x| x ? 1} (3)C ? {x | x是奇数},D ? {x | x是整数}

8、集合关系与其特征关系之间的关系

已知Q={x|x是有理数},R ={x|x是实数} 由Q ? R可知 “x是有理数 ?x实数”是真命题 反之,如果 “x是有理数 ?x实数”是真命题
那么

Q?R

由此可见,我们可以通过两个集合之间 的关系来判断他们的特征性质之间的关 系,或用集合特征性质之间的关系判断 集合之间的关系

一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果A ? B,则 x?A ? x?B 例3 判断下列集合A与B的关系:

于是 具有性质 p(x) ? x具有性质 q(x)    x (1)A={x|x 是 12的约数 },B={x|x 是36的约数} “ ? ”的意义 即 p(x) B={x|x>5} ? q(x) (2)A={x|x>3},

(3)A ={x|x 是矩形 }, B={x|x 是有一个角为直角的平行四边形 } 反之,如果 p(x) ? q(x) ,则 A一定是 B的子集
解:()因为 1 x是12的约数 ? x是36的约数 所以A ? B (2)因为x>5 ? x>3 所以B ? A (3)因为x是矩形 ? x是有一个角为直角的平行四边形 所以A=B

【小结】
1.子集和真子集的概念及性质; 2.两个集合相等; 3.集合的关系与其特征性质之 间的关系;


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