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正切函数的图像与性质第一课时教案-人教A版数学高一必修4第一章1.4.3



人教 A 版数学教案必修 4 第一章 1.4.3 第一课时

第一章

三角函数

1.4 三角函数的图象与性质

1.4.3 正切函数的图象与性质
一、学习目标
1.知识与技能 (1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象,会用描点法作正切函数的简图. (2)会用正切函数的图象研究

正切函数的性质. 2.过程与方法 (1)理解并掌握作正切函数图象的方法. (2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法.

二、重点、难点
重点:正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域);深 化研究函数性质的思想方法. 难点:正切函数图象作法及其性质应用.

三、教学方法 自学检测法 四、专家建议
通过对正切函数从性质到图象, 从图象到性质的探究学习, 培养学生探索精神和创新思维. 掌握利用图形之间的关系研究函数性质的方法。

五、教学过程
●新知探究 知识 1 正切函数的图象

我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数 y=tan x, ? π π? x∈?-2,2?的简图吗?怎样画. ? ? π π ?π ? ? π ? 【提示】 能.三个关键点:?4,1?(0,0),?-4,-1?,两条平行线:x=2,x=-2. ? ? ? ? π y=tan x(x∈R 且 x≠2+kπ,k∈Z)的图象

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知识 2

正切函数的性质 。

1.正切函数的定义域是 π x∈R,且 x≠2+kπ,k∈Z.

2.诱导公式 tan(π+x)=tan x 说明了正切函数的 周期性. 3.诱导公式 tan(-x)=-tan x 说明了正切函数的 奇偶性. 4.y=tan x 的性质 ? ? ? ? ? π (1)定义域是 ?x?x≠kπ+2 ,k∈Z?. ? ? ? ? ? (2)值域是 R,即正切函数既无最大值,也无最小值. (3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是 π. (4)奇偶性:正切函数是奇函数.

性质。

性质。

π π (5)单调性:正切函数在每一个开区间 kπ-2,kπ+2(k∈Z)内都是增函数.

●典例剖析
类型 1 与正切函数有关的定义域问题

【例 1】求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域. 【分析】 由函数定义,得关于“tan x”的不等式组,结合正切函数的性质,求 x 的取值范 围. 【解析】 ?tan x+1≥0 由题意得? ,即-1≤tan x<1. ?1-tan x>0

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? π π? ? π π? 在 x∈?-2,2?时,x 的范围为?-4,4?. ? ? ? ? 又 y=tan x 的周期为 π, π π? ? ∴函数的定义域为?kπ-4,kπ+4?,k∈Z. ? ? 【方法探究】 1.求三角函数参与构成的函数的定义域, 自变量必须满足以下几个方面: (1)若函数含有 tan π x,则 x≠2+kπ,k∈Z.(2)分式形式的分母不等于零.(3)偶次根式的被开方数不小于零.(4)对数式 中真数大于零. 2.此类问题常常归结为解三角不等式(组)问题,这时可以利用基本三角函数的图象或单位 圆中的三角函数线直观地求解集.

【跟踪训练 1】求下列函数的定义域: (1)y= 1 ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x 1 有意义, 1+tan x (k∈Z).

【解】(1)要使函数 y= 1+tan x≠0, ? ? 只需? π x≠ +kπ ? ? 2

? ? π π ∴函数的定义域为?x|x∈R,x≠kπ+2且x≠kπ-4,k∈Z? ? ?

(2)由 3-tan x>0,得 tan x< 3. π π 根据正切函数图象,得-2+kπ<x<3+kπ (k∈Z),
? ? π π ∴函数的定义域是?x|-2+kπ<x<3+kπ,k∈Z? ? ?

类型 2

正切函数的单调性及应用

【例 2】 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空): 2π 10π ①tan 7 ________tan 7 . 6π ? 13π? ②tan ________tan?- 5 ?. 5 ? ? 第 3 页共 3 页

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?π ? (2)求函数 y=3tan?4-2x?的单调区间. ? ? 【分析】 (1)首先把角转化到同一单调区间上,再根据单调性比较大小; (2)运用整体代

换的思想求单调区间. 【解析】 10 3 3 (1)①tan 7 π=tan(π+7π)=tan7π.

π? 2 3π π 2 3 2π 10π ? ∵0<7π< 7 <2,且 y=tan x 在?0,2?上单调递增,∴tan7π<tan7π.即 tan 7 <tan 7 . ? ? 6 π π ②tan π=tan(π+ )=tan , 5 5 5 2 2 ? 13 ? tan?- 5 π?=tan(-3π+5π)=tan5π. ? ? π? π 2π π ? ∵0<5< 5 <2且 y=tan x 在?0,2?上单调递增, ? ? π 2π 6 13π ∴tan5<tan 5 ,即 tan5π<tan(- 5 ). 【答案】 ①< ②<

π π (2)令 z= -2x,则 y=3tan( -2x)=3tan z. 4 4 π π π ? π ? 由于函数 y=3tan z 在?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上是增函数,且 z=4-2x 是减函数得:-2 ? ? π π π kπ 3π kπ +kπ<4-2x<2+kπ,k∈Z,即-8- 2 <x< 8 - 2 ,k∈Z. π kπ 3π ?π ? ? π kπ 3π kπ? 所以函数 y=3tan?4-2x?的单调减区间为?-8- 2 , 8 - 2 ?(k∈Z),也即(-8+ 2 , 8 + ? ? ? ? kπ 2 )(k∈Z),无单调增区间. 【方法探究】 1.比较正切函数大小的步骤: (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内; (2)运用单调性比较大小关系. 2.对于求函数 y=Atan(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数)的单调区间问题,可先由诱导公式把 x 的 π π 系数化为正值,再由 kπ-2<ωx+φ<kπ+2,求得 x 的范围即可. 跟踪训练 2:

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?π x ? (1)求函数 y=3tan?6-4?的单调区间及周期; ? ? ? 6π? ? 13π? (2)比较 tan?- 5 ?与 tan?- 7 ?的大小. ? ? ? ? π x π π 【解】 (1)由 kπ-2<4-6<kπ+2(k∈Z)? 4π 8π 4kπ- 3 <x<4kπ+ 3 (k∈Z), 4π 8π? ? x π? ? 3tan?4-6?在?4kπ- 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z)内单调递增, ? ? ? ? 4π 8π? ?π x ? ? ∴y=3tan?6-4?在?4kπ- 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z)内单调递减. ? ? ? ? π π ∵T=|ω|,∴T=1=4π,即周期为 4π. 4 π? ? 6π? ? ? π? (2)∵tan?- 5 ?=tan?-π-5?=tan?-5?, ? ? ? ? ? ? π? π ? 13π? ? tan?- 7 ?=tan?-2π+7?=tan7, ? ? ? ? ? π π? 又函数 y=tan x 在?-2,2?上是增函数, ? ? π π π π 而-2<-5<7<2. π ? π? ? 6π? ? 13π? ∴tan?-5?<tan7,即 tan?- 5 ?<tan?- 7 ?. ? ? ? ? ? ? 类型 3 正切函数图象的应用

【例 3】画出函数 y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 【分析】 【解析】 画 y=tan x 图象 → y=|tan x|图象 → 研究性质 由 y=|tan x|得, π kπ≤x<kπ+2?k∈Z?, π -2+kπ<x<kπ?k∈Z?,

? ?tan x, y=? ?-tan x, ?
其图象如图:

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由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数, 函数 y=|tan x|的周期 T=π. π? ? 函数 y=|tan x|的单调递增区间?kπ,kπ+2?(k∈Z), ? ? π ? ? 递减区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z). ? ? 【方法探究】 ? π ? ?π ? 1.可用“三点两线法”作正切函数的简图: “三点”是指点?-4,-1?,(0,0),?4,1?, “两 ? ? ? ? π π 线”是指直线 x=-2,x=2. 2.为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形、化简,在变形、化简过程中一定 要注意等价变形. 变式训练 3: 若把例题中“函数 y=|tan x|”改为“函数 y=tan|x|” ,请回答同样的问题. 【解】 f(x)=tan|x|化为

? ?tan x, f(x)=? ? ?-tan x,
如图所示:

π x≠kπ+2,x≥0?k∈Z? π x≠kπ+2,x<0?k∈Z?

根据 y=tan x 的图象,作出 f(x)=tan|x|的图象,

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π? ? π 3 ? ? 由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调增区间为?0,2?,?kπ+2,kπ+2π?(k∈N); ? ? ? ? 3 π? ? π ? ? 单调减区间为?-2,0?,?kπ-2π,kπ-2?(k=0,-1,-2,?). ? ? ? ?

●易错警示
误认为正切函数在定义域内是增函数致误 【典例】 关于正切函数的单调性,有下列命题: ①正切函数 y=tan x 是增函数; ②正切函数 y=tan x 在其定义域上是增函数; π ? π ? ③正切函数 y=tan x 在每一个开区间?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)内是增函数; ? ? π? ?π ? ? ④正切函数 y=tan x 在?0,2?∪?2,π?上是增函数. ? ? ? ? 其中正确的是________(填序号). 【错因分析】 不能正确理解每个区间段内递增,与整个定义域内是否为增函数的联系. 【易错警示】 π 正切函数的图象被直线 x= kπ +2 (k ∈ Z) 隔开,所以它的单调区间只在

π π? ? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)内,而不能说它在定义域内是增函数. ? ? π 5 【正解】 (1)正切函数在定义域内不是增函数, 如 x1= , x2= π, x1<x2, 但 tan x1=tan x2; 4 4 第 7 页共 7 页

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π 3 (2)正切函数在每一个开区间内图象从左向右是上升的,故③正确;(3)令 x1=4,x2=4π,虽有 x1<x2,但 tan x1>tan x2,故④错误.从而正确的命题只有③. 【答案】 ③

●课堂小结
1.正切函数的图象: π 正切曲线有无数多条渐近线, 渐近线方程为 x=kπ+2, k∈Z. 相邻两条渐近线之间都有一 支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质: π (1)函数 y=tan x 的定义域为{x|x≠kπ+2,k∈Z},值域为 R. π (2)函数 y=tan x 的最小正周期为 π,函数 y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期为|ω|. π ? π ? (3)正切函数在整个定义域内不具有单调性,但在?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上递增,正切函 ? ? 数无单调减区间.

六、板书设计
正切函数的图象与性质

学习目标
(1) 会用单位圆中的正切线 作正切函数的图象, 会用描点法 作正切函数的简图. (2) 会用正切函数的图象研 究正切函数的性质.

典例分析 知识点解析
1.正切函数的图象 2.正切函数的性质 注意问题: 例1 例2 例3 总结:

小结:

作业

当堂检 测反馈

七、当堂检测
1.f(x)=tan(x+π)是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 ) B.偶函数 D.非奇非偶函数

学生练习

【解析】 f(x)=tan(x+π)=tan x,由 tan(-x)=-tan x 知 f(x)为奇函数. 【答案】 A π? ? 2.(2014· 济南高一检测)函数 y=tan?2x+4?的图象的对称中心是( ? ? )

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π ? ? A.?kπ-4,0?,k∈Z ? ?

?kπ π ? B.? 2 -4,0?,k∈Z ? ?

?kπ π ? ?kπ π ? C.? 2 -8,0?,k∈Z D.? 4 -8,0?,k∈Z ? ? ? ? 【解析】 π? π kπ kπ π ? 由 2x+4= 2 (k∈Z),得 x= 4 -8(k∈Z).∴函数 y=tan?2x+4?的对称中心是 ? ?

?kπ π ? ? 4 -8,0?,k∈Z. ? ? 【答案】 D π? ? 3.函数 y=tan?2x+6?的最小正周期为( ? ? π A.6 π B.2 C.π D.2π )

π 【解析】知 T=2. 【答案】B π? ? 4.求函数 y=tan?3x-3?的定义域,并指出它的单调性. ? ? π π kπ 5π 【解】 令 3x-3≠kπ+2(k∈Z),得 x≠ 3 +18(k∈Z),
? ? ? ? ? kπ 5π ∴函数的定义域为 ?x?x∈R,且x≠ 3 +18,k∈Z?. ? ? ? ? ?

π π π 令 kπ-2<3x-3<kπ+2(k∈Z), kπ π kπ 5π 即 3 -18<x< 3 +18(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为?

?kπ- π ,kπ+5π?(k∈Z),无单调递减区间. ? ? 3 18 3 18?

八、课后延伸
? π π? 已知函数 f(x)=x2+2xtanθ-1,x∈[-1, 3],其中 θ∈?-2,2?. ? ? π (1)当 θ=-6时,求函数 f(x)的最大值与最小值. (2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. 【分析】 (1)转化为二次函数求最值;(2)先求出 tan θ 的取值范围,进而求出 θ 的取值范围. π 【解析】 (1)当 θ=-6时, 第 9 页共 9 页

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2 3 ? 3? 4 f(x)=x2- 3 x-1=?x- ?2-3, 3 ? ? x∈[-1, 3], 3 4 ∴当 x= 3 时,f(x)的最小值为-3; 2 3 当 x=-1 时,f(x)的最大值为 3 . (2)函数 f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2 θ 的图象的对称轴为 x=-tan θ. ∵y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ? π π? ∴-tan θ≤-1 或-tan θ≥ 3,即 tan θ≥1 或 tan θ≤- 3,又 θ∈?-2,2?, ? ? π? ?π π? ? π ∴θ 的取值范围是?-2,-3?∪?4,2?. ? ? ? ?

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