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2014年6月广东省高考压轴卷 理科数学 6月改正版含解析



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广东省高考压轴卷理科数学
一、 1、复数 选择题(每小题 5 分,共 40 分,把正确答案填写在答卷相应地方上)

1 的虚部是( ) ?2 ? i 1 1 A. ? B. ? i 5 5
A.{x|-1<x<2} B.{x|x>-1}

r />
C.

1 5

D. i

1 5

2、已知集合 A={x|x>1},B={x| | x | <2 },则 A∩B 等于 C.{x|-1<x<1} ) D.{x|1<x<2}

3、下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上单调递增的是( A. y ? x
3

B. y ? cos x

C. y ? tan x

D. y ? ln x )

4、在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos2B =( A.

6 3

B.

3 3

C.

1 3

D. ?

1 3


5、一空间几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为. ( A. 2 B.

2 3 15 16

C

4

D.

4 3 3 7 ?P? 4 8

6、 执行如图 1 所示的程序框图后, 输出的值为 5, 则 P 的取值范围 ( ) A.

7 15 ?P? 8 16

B.

P?

C.

7 15 ?P? 8 16
2 2

D.

7、由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1引切线,则切线长的 最小值为( A.1
?

) B. 2 2
?

C. 7
?
?

D. 3
?
?

8、称 d( a , b ) = a ? b 为两个向量 a , b 间距离,若 a , b 满足① b ? 1
? ?

?

?

?

图1

②a ? b
?

③ 对任意实数 t,恒有 d( a , t b ) ? d( a , b ) ,则(
? ? ?

?

?

?

?


?

A. ( a ? b ) ? ( a- b )

B . b ? ( a- b )

?

?

?

C. a ? b

?

D . a ? ( a- b )

?

?

?

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分,把正确答案填写在答卷相应地方上) 9、函数 f(x)= - 2x2 ? x ? 1 的定义域是 10、由三条直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为

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11、已知等比数列 {an } 的第 5 项是二项式 ? x ?

? ?

1 ? ? 展开式的常数项,则 a3a7 ? 3x ?

6



12、定义 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x) ,当 0<x≤1 时,f(x)=

2

x

,则 f(2015)=

?x ? 0 ? 13、 若关于 x, y 的不等式组 ? y ? x 表示的平面区域是一个锐角三角形, 则 k 的取值范围是______ ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
14、已知曲线 C1 的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 (t 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,设曲线 C1, ? y ? 2t ? 1

C2 相交于 A、B 两点,则|AB|的值为 三、解答题 16、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 面积 S ? (1) 求角 C 的大小; (2)设函数 f ( x) ?

3 ab cosC 2

x x x 3 sin cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值,及取得最大值时角 B 的值 2 2 2

17、某校高一年级 60 名学生参加数学竞赛, 成绩全部在 40 分至 100 分之间, 现将成绩分成以下 6 段: [40, 50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100],据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求成绩在区间[80,90)的频率; (2)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学生,其中成绩在[90,100]内的学生人数为 ξ,求 ξ 的分 布列与均值.

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18、 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC=

P

1 AD=1,CD= 3 . 2
Q A

M D C B

(1)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (2)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (3)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值

a ?a x2 ? a2 19、已知函数 f ( x) ? (a ? 0) ,数列{ an }满足 a1 ? 3a , an ?1 ? f (an ) ,设 bn ? n ( n ? N ? ) ,数 2x an ? a
列{ bn }的前 n 项和为 Tn . (1)求 b1 , b2 的值; (2)求数列{ bn }的通项公式; (3)求证:

T

n

?

7 8

20、已知焦点为 F ,准线为 l 的抛物线 ? : x ? 2 py( p ? 0) 经过点 (?2 3,3) ,其中 A, B 是抛物线上两个
2

动点, O 为坐标原点。 (1)求抛物线 ? 的方程。
0

(2)若 OA ? OB ,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程。

(3)若 ?AFB ? 90 ,线段 AB 的中点 M ,点 M 在直线 l 上的投影为 N ,求

MN AB

的最大值。

e ? 2.71828... 是自然对数的底数) 21、 已知函数 f ( x) ? ln x x? k( k 为常数, , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))

e

处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间;

(3)设 g( x) ? ( x 2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0 , g(x) ? 1 ? e?2 .

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广东省高考压轴卷理科数学参考答案
1、A 解析 2、D 解析 B={x| -2< x <2 },A∩B={x|1<x<2} 3、D 解析选项 A、C 都是奇函数,选项 B 在 ? 0, ?? ? 有增有减。选项 D 把对数函数 lnx 关于 y 轴对称 4、C 解析 由正弦定理得到 sinB= 5、A 6、A 解析 7、C 解析 圆心( 3,0 )到直线 x-y+1=0 的距离 d= 2 2 , 当直线上的点到圆心距离最短时,切线长最短为

1 -2-i 2 1 = =- ? i ?2 ? i 5 5 5

1 3 ,cos2B=1-2sin2B= 3 3

15 3 7 7 15 ? p 条件不成立 ? P条件成立 , S ? ,n ? 4; ? P条件成立 , S ? ,n ? 5; 16 4 8 8 16

d 2 ? r2 = 7 ,
8、B 解析 d( a , t b ) ? d( a , b ) 得 a ? t b ? a ? b ,即( a - t b )
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

2

? ( a- b)

?

?

2

2 整理得 t ? 2ab t ? 2ab ? 1 ? 0 恒成立, ? ? 4(ab ) 2 ? 4(2ab ? 1) ? 0,解得 a ? b =1, a ? b = b

??

??

??

??

?

?

?

?

?2

所以( a - b ) b =0,即. b ? ( a - b )

?

?

?

?

?

?

二、填空题 9、 [-

1 ,1] 2
2

解析 -2x ? x ? 1 ? 0 得10、 4

1 ? x ?1 2

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解析 11、 解析

2 3 ?0 x dx ?

1 4 x 4

2 0

=4

25 9

a ?C
5

2 6

x (?

4

1 2 5 25 ) = , a3a7 ? 3 9 3x

12、 -2 解析 T=3, f(2015)=f(3 ? 671+2)= f(2) = f(-1) = -f(1) = -2 13、 (-1,0) (0,1) 解析 如图 k=0

k=-1

14、

2 5 5
C1 普通方程为 y=2x+3 , C2 的方程为 x +y - 2y=0 ,圆心( 0,1 )半径 r=1, 则弦长 |AB| =
2 2

解析

2 r2 ? d 2 = 三解答题

2 5 5

16、解: (1)由 S=

1 1 3 absinC 及题设条件得 absinC= abcosC………………1 分 2 2 2

即 sinC= 3 cosC,? tanC= 3 ,……………………………………………………2 分

? 0<C< ? ,? C=
(2) f ( x) ?

? ……………………………………………………………………4 分 3
x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2
………………7 分

? 1 ? sin( x ? ) ? , ……………………9 分 6 2
∵ C=

2? ? ) ∴ B ? (0, 3 3



? ? 5? ? B? ? 6 6 6

(没讨论,扣 1 分) ………10 分

当B?

? ? ? 3 ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 …………………………………12 分 2 6 2 3
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17、解: (1)∵各组的频率之和为 1, ∴成绩在区间[80,90)的频率为 1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1,……………………………………………(3 分) (2)由已知和(1)的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有 60×0.1=6 人, 成绩在区间[90,100]内的学生有 60×0.005×10=3 人,…4 分 依题意,ξ 可能取的值为 0,1,2,3…5 分

5 , 21 15 2 1 3 P(ξ =1)= C 6 / C9 = , C3 28 3 2 3 P(ξ =2)= C 6 = , C32 / C9 14
3 3 P(ξ =0)= C6 = C9 3 3 P(ξ =3)= C3 / C9 =1 /84 ,

所以ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

5 21

15 28

3 14

1 84
……………………………………(10 分)

则均值 Eξ =0×5 21 +1×15 28 +2×3 14 +3×1 84 =1.

………………………………(12 分)

18、 (本小题共 14 分) 证明: (1)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ……………………1 分 ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD,即 BC // AQ. 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ……………………2 分

∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB,…………………3 分 ∴ PA // 平面 MBQ. (2)∵AD // BC,BC= ……………………4 分

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
……………………6 分 ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.
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∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90°

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又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC= …………………9 分 ……………………7 分 ……………………8 分

1 AD,Q 为 AD 的中点∴ BC // DQ 且 BC= DQ, 2
∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. …………………6

z P 分 M D Q C N B x y

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ ∵ ∠ADC=90°

∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.

……………………7 分 …………………8 分

……………………9 分

A

(3)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD.……………10 分 (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .………11 分
设 M ( x, y, z ) , 则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) ,∵ PM ? tMC ,

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ∴ ? 3t ? ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1 ? t ?

……………………12 分

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t
……………………13 分

∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30°,

cos 30? ?

n?m n m

?

t 3 ? 0 ? t2

?

3 ,∴ t ? 3 .……14 分 2

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19 解:(1) a1 ? 3a an ?1 ? f (an ) ? a 2 ? f (a1 ) ? , 由 bn ?

9a 2 ? a 2 5 ? a 6a 3 .

an ? a 1 1 (n ? N ? ) 得 b1 ? , b2 ? …………………………………………2 分 2 4 an ? a
an ? a 2 -a 2 an ? a 2 an ?1 ? a 2 an a ?a 2 2 ? bn ?1 ? ? 2 ?( n ) = bn …………4 分 ? 2 an ?1 ? a a n ? a an ? a 2an ?a 2 an
2

(2)? an?1

1 , 故对一切正整数 n,都有 bn ? 0 ,所以 lg bn ?1 =2lg bn 2 1 有 lg b1 =lg =-lg2 ? 0 ……………………………………5 分 2
又 b1 ? 所以数列{lg bn }是首项为-lg2,公比为 2 的等比数列。 lg bn =(-lg2) ? 所以 bn =(

2

n _1

=

2

n _1

lg(

1 ) 2

…………………6 分 …………………7 分

1 2n ?1 ) 2

1 1 2 1 4 1 2n?1 +( ) +( ) +…………+( ) 2 2 2 2 1 1 1 13 7 当 n ? 3 时,T n ? + + = < …………………8 分 2 4 16 16 8
(3)由(2)得 T n = 当 n>3 时, Tn =

1 1 2 1 4 1 2n?1 13 1 8 1 2n?1 +( ) +( ) +…………+( ) = +[( ) +…………+( ) ] 2 2 2 2 2 2 16

又当 n>3 时
1 2 2 n ?1 =(1+1) n ?1 > 1+ Cn ?1 + Cn ?1 = 1+ n-1+1= n+1

…………………10 分

所以

13 1 8 1 2n?1 13 1 5 1 6 1 n ?1 +[( ) +…………+( ) ]< +[( ) +( ) …………+( ) 2 2 2 2 2 16 16 1 1 [1 ? ( ) n?3 ] 13 32 13 1 1 n ?3 13 1 7 2 = + = + [1-( ) ]< + = . ………………13 分 1 2 16 16 16 16 16 8 1? 2 7 综上,T n < ………………14 分 8
Tn =

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20、解(1)由题可知 12=2p ? 3,解得 p=2 所以抛物线 ? 的方程为 x =4y
2

………………2 分 ………………3 分

(2)设点 P(x,y),由(1)可设 A(x 1 ,
2 2 ? x x ?2 y ? 1 ? 2 则? 4 4 , ?2 x ? x ? x 1 2 ?

x1 x )、B(x 2 , 2 ), 且 x 1 x 2 ? 0 4 4

2

2

………………5 分

解得 x 1 x 2 =2x -4y 因为∠AOB=90 得 OA ? OB =0,即 x 1 x 2 +
0

2

………………6 分
?

?

x 2 x1 =0,化简得 x 1 x 2 =-16 ………7 分 4 4
………8 分 ………9 分

2

2

1 2 x +4, 2 1 2 所以 p 的轨迹方程为 y= x +4. 2
所以 2x -4y=-16,即 y=
2

(3)在 Rt ? ABF 中, AF 即( AF

2

? BF

2

? AB
2

2

2 ? BF ) - 2 AF BF ? AB

………10 分

因为 AF BF

? (

AF ? BF 2

2 )

所以(

2 AF ? BF ) - AB ? ( 2

2

AF ? BF 2

2 )

………11 分

化简得 AF ? BF ?

2 AB
AF ? BF 2
………12 分

根据抛物线定义及梯形的中位线定理得 MN =

所以 2 MN ?

2 AB ,即

MN AB

?

MN 2 2 ,当 AF ? BF 时 的最大值为 . 2 2 AB

………14 分

1 ? ln x ? k 1- k x 21、解:(1) f ?( x) = 由题可得 f ?(1) ? =0,推出 k=1 x e e

………3 分

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1 ? ln x ? 1 x (2) f ?( x) = (x>0) ………4 分 ex 1 1 1 令 h(x)= ? ln x ? 1 , h ?( x ) =- 2 ? <0,所以 h(x)在(0,+ ? )单调递减 x x x
又 h(1)=0 所以,当 0<x<1 时,h(x)>0, f ?( x) >0,f(x)单调递增 当 x>1 时,h(x)<0, f ?( x) <0,f(x)单调递减 所以,增区间为(0,1) 减区间为(1,+ ? ) (3)g(x)=(x +x) f ?( x) =
2

………6 分

………7 分

………8 分

1? x 1? x (1-xlnx-x),先研究 1-xlnx-x,再研究 x x e e

①记 i(x)= 1-xlnx-x,x>0, i ? (x)= -lnx – 2 ,令 i ? (x)=0,得 x= 当 x ? (0, 当 x? (

e

-2

e
-2

-2

)时, i ? (x)>0,i(x)单调递增

e

,+ ? )时, i ? (x)<0,i(x)单调递减

所以 i(x)的最大值为 1+ ②记 j(x)=

e

-2

,即 1-xlnx-x ? 1+

e

-2

1? x x ,x>0, j? (x)= ? x < 0 ,所以 j(x)在(0,+ ? )单调递减 x e e 1? x 所以 j(x)<j(0)=1,即 x <1 e 1? x 1? x -2 -2 综合①②可知 g(x)= x (1-xlnx-x) ? (1+ e )<1+ e x e e

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