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第三章 直线与方程 3.2.3



3.2.3

直线的一般式方程

【课时目标】 1. 了解二元一次方程与直线的对应关系. 2. 掌握直线方程的一般式. 3. 根 据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系.

1.关于 x, y 的二元一次方程________________(其中 A, B ________________)叫做直线 的一般式方程,简称一般式. 2.比较直线方程的五种形式(填空) 各常数的 形式 方程 局限 几何意义 ( x0 , y0 ) 是直线上一定点, k 是斜率 点斜式 不能表示 k 不存在的直线 斜截式 两点式 截距式 不能表示 k 不存在的直线

k 是斜率, b 是 y 轴上的截距

x1 ? x2 , y1 ? y2
不能表示与坐标轴平行及过原 点的直线 无

( x1, y1 ),( x2 , y2 ) 是直线上两个定点 a 是 x 轴上的非零截距, b 是 y 轴上的非
零截距 当 B ? 0 时, ?

一般式

A C 是斜率, ? 是 y 轴上 B B
的截距

一、选择题 1.若方程 Ax ? By ? C ? 0 表示直线,则 A, B 应满足的条件为( A. A ? 0 C. A ? B ? 0
2

)

B. B ? 0 D. A ? B ? 0
2 2

2.直线 (2m ? 5m ? 2) x ? (m ? 4) y ? 5m ? 0 的倾斜角为 45 ,则 m 的值为( A. ? 2 B. 2 C. ?3 D. 3 3.直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与 (a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为( )
2
?

)

3 2 C. 0
A.

3 或0 2 D. ? 2 或 0 4.直线 l 过点 (?1, 2) 且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直,则 l 的方程是( ) A. 3 x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 3 x ? 2 y ? 7 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 5.直线 l1 : ax ? y ? b ? 0, l2 : bx ? y ? a ? 0(a ? 0, b ? 0, a ? b) 在同一坐标系中的图形
B. 大致是( )

6.直线 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) 在两坐标轴上的截距相等,则 a, b, c 满足( A. a ? b B. a ? b 且 c ? 0

)

C. a ? b 且 c ? 0

D. a ? b 或 c ? 0

二、填空题 7.直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 化为斜截式为________,化为截距式为________. 8 .已知方程 (2m2 ? m ? 3) x ? (m2 ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示直线,则 m 的取值范围是 ______________. 9.已知 A(0,1) ,点 B 在直线 l1 : x ? y ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,直线 AB 的一 般式方程为________. 三、解答题 10.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率为 3 ,且经过点 A(5,3) ; (2)过点 B(?3, 0) ,且垂直于 x 轴; (3)斜率为 4 ,在 y 轴上的截距为 ?2 ; (4)在 y 轴上的截距为 3 ,且平行于 x 轴; (5)经过 C (?1,5), D(2, ?1) 两点; (6)在 x 轴, y 轴上截距分别是 ?3, ?1 .

11. 已知直线 l1 : (m ? 3) x ? y ? 3m ? 4 ? 0, l2 : 7 x ? (5 ? m) y ? 8 ? 0 , 问当 m 为何值时, 直线 l1 与 l2 平行.

能力提升 12.将一张坐标纸折叠一次,使点 (0, 2) 与点 (4, 0) 重合,且点 (7,3) 与点 (m, n) 重合, 则 m ? n 的值为( )

34 C. 4 D. 11 5 13.已知直线 l : 5ax ? 5 y ? a ? 3 ? 0 . (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限;
A. 8 B. (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围.

1.在求解直线的方程时,要由问题的条件、结论,灵活地选用公式,使问题的解答变 得简捷. 2.直线方程的各种形式之间存在着内在的联系,它是直线在不同条件下的不同的表现 形式,要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化,如把一般式 Ax+By+C=0 化为截 距式有两种方法:一是令 x=0,y=0,求得直线在 y 轴上的截距 B 和在 x 轴上的截距 A;二 是移常项,得 Ax+By=-C,两边除以-C(C≠0),再整理即可. 3.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法: ①若一个斜率为零,另一个不存在则垂直.若两个都存在斜率,化成斜截式后则 k1k2 =-1. ②一般地,设 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,第二种方法可避免讨论,减小失误.

3.2.3 直线的一般式方程
知识梳理 1.Ax+By+C=0 不同时为 0 2.y-y0=k(x-x0) y=kx+b x y + =1 Ax+By+C=0 a b 作业设计 1.D y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

答案

2m2-5m+2 [由已知得 m2-4≠0,且 = 1, m2-4 解得:m=3 或 m=2(舍去).] 3.A 3 3 4.A [由题意知,直线 l 的斜率为- ,因此直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 2 2 即 3x+2y-1=0.] 5.C [将 l1 与 l2 的方程化为斜截式得: y=ax+b,y=bx+a, 根据斜率和截距的符号可得 C.] 6.D [直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形: (1)截距等于 0,此时只要 c=0 即可; c c (2)截距不等于 0,此时 c≠0,直线在两坐标轴上的截距分别为- 、- .若相等,则 a b c c 有- =- ,即 a=b. a b 综合(1)(2)可知, 若 ax+by+c=0 (ab≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等, 则 a=b 或 c=0.] 1 x y 7.y=- x-3 + =1 2 -6 -3 2.D

8.m∈R 且 m≠1 解析 由题意知,2m2+m-3 与 m2-m 不能同时为 0, 3 由 2m2+m-3≠0 得 m≠1 且 m≠- ; 2 由 m2-m≠0,得 m≠0 且 m≠1,故 m≠1. 9.x-y+1=0 解析 AB⊥l1 时,AB 最短,所以 AB 斜率为 k=1, 方程为 y-1=x,即 x-y+1=0. 10.解 (1)由点斜式方程得 y-3= 3(x-5), 即 3x-y+3-5 3=0. (2)x=-3,即 x+3=0. (3)y=4x-2,即 4x-y-2=0. (4)y=3,即 y-3=0. y-5 x-?-1? (5)由两点式方程得 = , -1-5 2-?-1? 即 2x+y-3=0. x y (6)由截距式方程得 + =1,即 x+3y+3=0. -3 -1 11.解 当 m=5 时,l1:8x+y-11=0,l2:7x-8=0. 显然 l1 与 l2 不平行,同理,当 m=-3 时,l1 与 l2 也不平行. 7 -?m+3?= m-5 当 m≠5 且 m≠-3 时,l1∥l2? , 8 3m-4≠ 5-m

? ? ?

∴m=-2. ∴m 为-2 时,直线 l1 与 l2 平行. 12.B [点(0,2)与点(4,0)关于直线 y-1=2(x-2)对称,则点(7,3)与点(m,n)也关于直线 y-1=2(x-2)对称, n+3 ?m+7 ? ? ? 2 -1=2? 2 -2? 则? n-3 1 ? ?m-7=-2 34 故 m+n= .] 5 13.

?m=5 ,解得? 31 ? n= 5

3



3 1 (1)证明 将直线 l 的方程整理为 y- =a(x- ),∴l 的斜率为 a, 5 5 1 3 且过定点 A( , ). 5 5 1 3 而点 A( , )在第一象限,故 l 过第一象限. 5 5 ∴不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限.

3 -0 5 (2)解 直线 OA 的斜率为 k= =3. 1 -0 5 ∵l 不经过第二象限,∴a≥3.



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