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高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:数列 第6课时等差数列的前n项和(1)(教师版)


第 6 课时等差数列的前 n 项和(1)
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学习要求
1.掌握等差数列前 n 项和公式及其推导过程. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题

【自学评价】
1. 等差数列的前 n 项和: 公式 1: S n ?

n(a1 ? an ) 2

公式 2: S n ? na1 ?

n(n ? 1) d; 2

2.若数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn,则数列{an}为 等差数列 .

?S n ? S n ?1 (n ? 2) 3.若已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an 可用 Sn 表示: an ? ? (n ? 1) ?S1

【精典范例】
【例 1】 在等差数列{an}中, (1)已知 a1 ? 3 , a50 ? 101 ,求 S 50 ; (2)已知 a1 ? 3 , d ?

1 ,求 S10 . 2

【解】 (1)根据等差数列前n项和公式,得

S 50 ?

3 ? 101 ? 50 ? 2600. 2 10 ? 9 1 105 ? ? . 2 2 2 1 3 15 , a n ? , S n ? ? ,求 a 1 及 n. 2 2 2

(2)根据等差数列前n项和公式,得

S10 ? 10 ? 3 ?

【例2】 在等差数列{an}中,已知 d ?

-1-

听课随笔 【解】由已知,得 由②,得

代入①后化简,得

点评:

在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有 a 1 ,d,n, a n , S n 五个量,只要

已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量. 【例 3】在等差数列{an}中,已知第1项到第 10 项的和为 310,第 11 项到第 20 项的和为 910,求第 21 项到第 30 项的和. 【解】



解得

思维点拔
? 数列{an}是等差数列,前 n 项和是 Sn ,那么 Sm , S2m ? Sm ,?, S? k ?1?m ? Skm ,? k ? N 仍成等

?

?

差数列,公差为 m d ( m 为确定的正整数) 【例 4】根据数列{an}的前 n 项和公式,判断下列数列是否是等差数列. (1)Sn=2n2-n (2)Sn=2n2-n+1 【解】 (1)a1=S1=1

2

-2-

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)] =2(2n-1)-1=4n-3 ∵n=1 时也成立, ∴an=4n-3 an+1-an=[4(n+1)-3]-[4n-3]=4∴{an}成等差数列 (2)a1=S1=2 a2=S2-S1=5 a3=S3-S2=9 ∵a2-a1≠a3-a2 ∴{an}不是等差数列. 点评: 已知 Sn,求 an,要注意 a1=S1,当 n≥2 时 an=Sn-Sn-1, 因此 an= ?

? S1 ?S n ? S n ?1

(n ? 1) (n ? 2)

.

【追踪训练一】 :
1.在等差数列{an}中,若 S12=8S4,则 A.

a1 等于( A ) d

9 10

B.

10 9

C.2

D.

2 3

2.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前 100 项的和为 ( D ) A.0 B.100 ? C.1000 D.10000 3.一个等差数列的第 5 项等于 10,前 3 项的和等于 3,那么( A ) A.它的首项是-2,公差是 3 B.它的首项是 2,公差是-3 ? C.它的首项是-3,公差是 2 D.它的首项是 3,公差是-2 ? 4. 在等差数列{an}中,已知 a11=10,则 S21=___210___ 5. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=4n2 -n+2,则该数列的通项公式为( B ) A.an=8n+5(n∈N*) B.an= ?

?5 ?8n ? 5

(n ? 1), (n ? 2, n ? N *).

C.an=8n+5(n≥2) D.an=8n-5(n≥1).

【选修延伸】
【例 5】设 {an } 是等差数列,求证:以 bn ? 是等差数列。 【证明】设等差数列的公差为 d ,前 n 项的和为 Sn ,则 S n ?

a1 ? a2 ? ? ? an (n ? N ? ) 为通项公式的数列 {bn } n n(a1 ? an ) 。 2

-3-

? bn ? bn ?1 ?

听课随笔 a1 ? a2 ? ? ? an n a ? a ? ? ? an ?1 1 d ? (an ? an ?1 ) ? (常数) ? 1 2 2 2 n ?1 n(a1 ? an ) (n ? 1)(a1 ? an ?1 ) ? ? 2n 2( n ? 1)

( n ? 2, n ? N ? ) 。?{bn } 是等差数列。 【例 6】已知等差数列{an}满足:Sp=q,Sq=p,求 Sp+q(其中 p≠q). 【解】由已知 Sp=q,Sq=p 得 pa1+

p( p ? 1) d ?q 2
q ( q ? 1) d? p ② 2



qa1+

①-②整理得?

2a1 ? ( p ? q ? 1)d =-1 ? 2

∴ S p ? q ? ( p ? q )a1 ?

2a ? ( p ? q ? 1)d ( p ? q)( p ? q ? 1) d =(p+q) 1 =-(p+q) 2 2
Sn } 成等差数列去求解. n

点评:本问题即是在 a1、d、n、an、Sn 中知三求二问题,但在解方程的过程中体现出了较高的 技巧;本题有多种解法,也可考虑设 Sn=An2+Bn 或 {

【追踪训练二】
1.等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n,那么它的通项公式是( C ) A.an=2n-1 C.an=4n-1 2.数列 1, B.an=2n+1 D.an=4n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , ,…的前 100 项的和为( A ) 2 2 3 3 3 4 4 4 4 9 11 1 3 A.13 B.13 C.14 D.14 14 14 14 14

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+5,则 a6+a7+a8=__45____. 4. 一个等差数列,前 n 项的和为 25,前 2 n 项的和为 100,求前 3n 项的和. 【解】 【答案】前 3n 项的和为 225 听课随笔

【师生互动】

学生质疑

-4-

教师释疑


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