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作业基本不等式及应用



基本不等式及应用
一、选择题 1.(2011 年杭州市第二次教学质量检测)若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( 1 1 A. + 有最大值为 4 a b C. a+ b有最大值 2 1 B.ab 有最小值 4 D.a2+b2 有最小值 2 2 )

a2+b2 ?a+b?2-2ab 1 1 1 a+b 解析:由基本不等式,得 ab≤ = ,所以

ab≤ ,故 B 错; + = 2 2 4 a b ab a+ b 1 = ≥4,故 A 错;由基本不等式得 ≤ ab 2 a+b = 2 1 ,即 a+ b≤ 2,故 C 正 2

1 1 确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2× = ,故 D 错,故选 C. 4 2 答案:C 1 1 2.已知 x< ,则函数 y=2x+ 的最大值是( 2 2x-1 A.2 B.1 C.-1 )

D.-2

1 1 1 解析:y=2x+ =-[(1-2x)+ ]+1,由 x< 可得 1-2x>0,根据基本不等式 2 2x-1 1-2x 可得(1-2x)+ 答案:C 3.在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( 1 A.y=x+ x 1 π B.y=cosx+ (0<x< ) cosx 2 C.y= x2+3 x2+2 ) 1 1 ≥2,当且仅当 1-2x= ,即 x=0 时取等号,取 ymax=-1. 1-2x 1-2x

4 D.y=ex+ x-2 e 解析:选项 A 中,x>0 时,y≥2,x<0 时,y≤-2; 选项 B 中,cosx≠1,故最小值不等于 2; 选项 C 中, x2+3 = x2+2 x2+2+1 1 = x2+2+ 2 , 2 x +2 x +2

3 2 当 x=0 时,ymin= . 2 答案:D 4.(2010 年重庆高考)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 9 C. 2 解析:∵x+2y+2xy=8,
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)

B.4 11 D. 2

x+2y 2 ∴(x+2y)+( ) ≥8,解得 x+2y≥4. 2 ∴x+2y 的最小值为 4. 答案:B 1 5.若直线 2ax-by+2=0(a>0, b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 + a 4 的最小值是( b A.5 C.8
2 2

) B.6 D.9

解析:圆的方程可化为(x+1) +(y-2) =4,其半径为 2. 因为直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)截圆所得的弦长为 4,恰好是圆的直径, 故该直线经过圆心(-1,2),所以 a+b=1. 1 4 1 4 b 4a b 4a 于是, + =( + )(a+b)=5+ + ≥9,当且仅当 = ,即 b=2a 时等号成立. a b a b a b a b 答案:D xz 6.已知 x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则 2 的( y A.最小值为 8 1 C.最小值为 8 )

B.最大值为 8 1 D.最大值为 8

xz xz xz 1 1 解析: 2= = = ≤ . y ?x+2z?2 x2+4xz+4z2 x 4z 8 + +4 z x 答案:D 二、填空题 1 4 7.若正数 a、b 满足 + =2,则 a+b 的最小值为________. a b 1 4 1 2 解析:由 + =2,得 + =1, a b 2a b 1 2 a+b=(a+b)×1=(a+b)( + ) 2a b 1 b 2a 1 9 = +2+ + ≥ +2+2= . 2 2a b 2 2 9 答案: 2 x 8. (2010 年山东高考)若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立, a 的取值范围是________. 则 x +3x+1 x 1 1 1 1 解析:当 x>0 时, 2 = ≤ = ,∴a≥ . 1 5 x +3x+1 2+3 5 x+ +3 x 1 答案:[ ,+∞) 5 9.(2010 年浙江高考)若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 解析:由 x>0,y>0,2x+y+6=xy,得
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xy≥2 2xy+6(当且仅当 2x=y 时,取“=”), 即( xy)2-2 2 xy-6≥0, ∴( xy-3 2)· xy+ 2)≥0. ( 又∵ xy>0,∴ xy≥3 2,即 xy≥18. ∴xy 的最小值为 18. 答案:18 三、解答题 10.(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; ?x+5??x+2? (2)设 x>-1,求函数 y= 的最值. x+1 解:(1)∵x>0,a>2x, 1 ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x) 2 1 2x+?a-2x? 2 a2 ≤ ×[ ]= 2 2 8 a a2 当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . 4 8 (2)∵x>-1,∴x+1>0. 设 x+1=z>0,则 x=z-1 ?z+4??z+1? z2+5z+4 4 ∴y= = =z+ +5 z z z ≥2 4 z·+5=9. z

当且仅当 z=2,即 x=1 时上式取等号. ∴x=1 时,函数 y 有最小值 9,无最大值. a2 b2 ?a+b? 11.(1)已知 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证: + ≥ ,并指出 x y x+y
2

等号成立的条件. 2 9 1 (2)求函数 f(x)= + ,x∈(0, )的最小值,指出取最小值时 x 的值. x 1-2x 2 解:(1)证明:∵a,b,x,y 都是正数, a2 b2 b2x a2y ∴( + )(x+y)=a2+b2+ + ≥a2+b2+2ab=(a+b)2, x y y x b2x a2y 当且仅当 = ,即 bx=ay 时取“=”. y x a2 b2 ?a+b? ∴ + ≥ ,当且仅当 bx=ay 时等号成立. x y x+y
2

1 (2)∵0<x< ,∴0<1-2x<1. 2 ?2+3?2 4 9 由(1),知 f(x)= + ≥ =25, 2x 1-2x 1 当且仅当 3· 2x=2· (1-2x),
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1 1 即 x= ∈(0, )时取“=”. 5 2 1 ∴x= 时, f(x)的最小值为 25. 5 12. (2011 年江苏新海中学 3 月份调研)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色 的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影 部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为 2 米,如图所示,池塘所占面积为 S 平方米, 其中 a∶b=1∶2.

(1)试用 x,y 表示 S; (2)若要使 S 最大,则 x,y 的值各为多少? 解:(1)由题可得:xy=1800,b=2a,则 y=a+b+6=3a+6 y-6 16 S=(x-4)a+(x-6)×b=(3x-16)a=(3x-16) =1832-6x- y 3 3 16 (2)解法一:S=1832-6x- y≤1832-2 3 16 6x× y=1832-480=1352 3

16 当且仅当 6x= y,即 x=40,y=45 时,S 取得最大值 1352. 3 16 1800 9600 解法二: S=1800-6x- × +32=1832-(6x+ )≤1832-2 3 x x -480=1352. 9600 1800 当且仅当 6x= ,即 x=40 时取等号,S 取得最大值.此时 y= =45. x x 9600 解法三:设 S=f(x)=1832-(6x+ )(x>0) x 6?40-x??40+x? 9600 f ′(x)= 2 -6= x x 令 f ′(x)=0 得 x=40 当 0<x<40 时, f ′(x)>0,当 x>40 时, f ′(x)<0. ∴当 x=40 时,S 取得最大值,此时 y=45. [热点预测] 1 1 13.(1)若正数 x,y 满足 log2(x+y)=-1,则 log1( + )有( y 2 x A.最大值-3 C.最小值 1 B.最小值-3 D.最大值 1
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9600 6× =1832 x

)

(2)函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上, 1 1 则 + 的最小值为________. m n x+y x+y 1 1 1 y x 解析:(1)由 log2(x+y)=-1,得 x+y= ,于是 + =2( + )=4+2( + )≥4+ 2 x y x y x y 1 1 1 4=8,当且仅当 x=y= 时,“=”成立.故 log1( + )的最大值为 log18,即-3,故选 A. 4 y 2 x 2 (2)因为 a0=1,令 1-x=0 得 x=1,y=1,所以函数 y=a1 x(a>0,a≠1)过定点 A(1,1), 1 1 1 1 m n 将 A(1,1)代入 mx+ny-1=0(mn>0)得 m+n=1,所以( + )×1=( + )(m+n)=2+ + m n m n n m 1 1 1 ≥2+2=4.当且仅当 m=n= 时, + 取最小值 4. 2 m n 答案:(1)A (2)4 【备选题】 a2+4 1.(2011 年东北三省六校联考)若 M= (a∈R,a≠0),则 M 的取值范围为( a A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4] C.[4,+∞) D.[-4,4] a2+4 4 解析:∵M= =a+ ,当 a>0 时,M≥4;当 a<0 时,M≤-4,∴M 的取值范围为 a a (-∞,-4]∪[4,+∞),故选 A. 答案:A 2.(2011 年河南五市联考)已知 a、b、c 都是正实数,且满足 log9(9a+b)=log3 ab,则 使 4a+b≥c 恒成立的 c 的取值范围是( 4 A.[ ,2) 3 C.[2,23) ) B.[0,22) D.(0,25] )




解析:因为 a、b 都是正数,log9(9a+b)=log3 ab,所以 log3(9a+b)=log3(ab),故 9a 9 1 9 1 36a b +b=ab,即 + =1,所以 4a+b=(4a+b)( + )=13+ + ≥13+2 b a a a b a 36a b ·=25,当 b a

36a b 5 且仅当 = ,即 b=6a(a= ,b=15)时等号成立.而 c>0,所以要使 4a+b≥c 恒成立, b a 2 则 0<c≤25. 答案:D 1+z 3. (2011 年唐山二模)已知正数 x、 z 满足 x2+y2+z2=1, S= y、 则 的最小值为( 2xyz A.3 C.4 3? 3+1? B. 2 D.2( 2+1) )

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1+z 1+z 1 1 1 解析: 2+y2=1-z2≥2xy, ∵x ∴S= ≥ = = = ≥4, 2xyz ?1-z2?z ?1-z?z -z2+z 1 1 -?z- ?2+ 2 4 1 6 ∴当 z= ,x=y= 时,Smin=4. 2 4 答案:C 4.(2011 年山西运城教学检测)记 min{a,b}为 a,b 两数的最小值,当正数 x, 变化时, y y t=min{x, 2 2}也在变化,则 t 的最大值为( x +y 3 A. 2 C. 3 2 B. 2 2 )

D.2 y y xy 1 2 ,则 t=x,t2=x2≤x·2 2≤ = .故 t≤ ,当且 2 x2+y2 x +y 2xy 2

解析:由题意可得,①若 x≤ 仅当 x=y= t≤ B. 答案:B

2 y y y xy xy 1 时取“=”;②若 2 2≤x,则 t= 2 2,t2=( 2 2)2≤ 2 2≤ = ,故 2 2xy 2 x +y x +y x +y x +y

2 2 2 2 ,当且仅当 x=y= 时取“=”.综上可知,当 x=y= 时,t 取最大值为 .故选 2 2 2 2

x z 5.(2011 年南通二调)若实数 x,y,z,t 满足 1≤x≤y≤z≤t≤10000,则 + 的最小值 y t 为________. x z 1 y 解析:依题意得 + ≥ + ≥2 y t y 10000 1 y 1 1 y × = ,当且仅当 x=1, = ,即 y 10000 50 y 10000

x z 1 y=z=100,t=10000 时取等号,因此 + 的最小值是 . y t 50 答案: 1 50 .

6.(2011 年重庆一诊)定义“*”是一种运算,对于任意的 x,y,都满足 x*y=axy+b(x+ y),其中 a,b 为正实数,已知 1]

答案:1

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