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微积分3-1



第三章 导数与微分
一、导 数 的 概 念 二、导 数 的 运 算 三、微 分

§3.1 导数概念
一、引例 1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图,
求 t 0 时刻的瞬时速度 ,

取一邻近于
平均速度

t 0的时刻 t , 运动时间
v ? ?s ?t


? s ? s0 t ? t0

?t,

t0

?t

?

g 2

( t 0 ? t ).

t

当 t ? t 0时 ,

取极限得
g (t 0 ? t) 2
t ? t0

瞬时速度

v ? lim

? gt 0 .

2. 变速直线运动的速度 变速直线运动:路程对时间的瞬时速度.
v ( t ) ? lim ?s ?t ? ds dt .

?t ? 0

交流电路:电量对时间的导数为电流强度.

i ( t ) ? lim

?q ?t

?t ? 0

?

dq dt

.

3.切线问题 割线的极限位置——切线位置

播放

y

如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN ? 0 , ? NMT ? 0.

y ? f (x)

N
T

C
?

M
?

o

x0

x

x

设 M ( x 0 , y 0 ), N ( x , y ).

割线 MN 的斜率为
沿曲线 C

tan ? ?

y ? y0 x ? x0

?

f (x) ? f (x0 ) x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

,

N ? ? ? ? M , x ? x0 , ?

切线 MT 的斜率为

k ? tan ? ? lim

x ? x0

.

二、导数的定义
定义 设函数
相应地函数 y ? f ( x ) 在点 x 0的某个邻域内有定义 , 当自 )时 , 变量 x 在 x 0 处取得改变量 y 取得改变量

? x ( 点 x 0 ? ? x 仍在该邻域内

? y ? f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?y 如果 ? y 与 ? x 之比 当 ? x ? 0 时的极限存在 , ?x ?y f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) 即 lim ? lim Δx ? 0 ? x Δx ? 0 ?x 存在 , 则称函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导 , 并称这个极限为
函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数 , 记为 y?
x? x0

,

df ( x ) dx

x? x0

,

f ?( x 0 )

dy |x ? x dx

0

d f ( x ) |x ? x dx

0

y?

x ? x0

? lim

?y ?x

?x? 0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

?x? 0

其它形式

f ? ( x 0 ) ? lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) h
f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0 .

h? 0

.

f ? ( x 0 ) ? lim

x ? x0

关于导数的说明:



点导数是因变量在点

x 0 处的变化率

,它

反映了 因变量随自变量的变化 慢程度 .

而变化的快



如果函数

y ? f ( x ) 在开区间

I 内的每点 I 内可导 .

处都可导

, 就称函数

f ( x ) 在开区间

★ 对于任一

x ? I , 都对应着

f ( x ) 的一个确定的 f ( x ) 的导函数 .

导数值 .这个函数叫做原来函数 记作 y ? , f ? ( x ), dy dx 或 df ( x ) dx .

即 y ? ? lim

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x f ( x ? h) ? f ( x ) h .

?x ? 0

或 f ? ( x ) ? lim

h? 0

注意: 1 . f ? ( x ) ? f ? ( x ) 0

x ? x0

.

三、由定义求导数
步骤:
( 1 ) 求增量 ? y ? f ( x ? ? x ) ? f ( x );

( 2 ) 算比值 ( 3 ) 求极限

?y ?x

?

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?y ?x ?x .

;

y ? ? lim

?x ? 0

例1 解

求函数

f ( x ) ? C ( C 为常数 ) 的导数 .
f ( x ? h) ? f ( x ) h
(C )? ? 0 .

f ? ( x ) ? lim


h? 0

? lim

C ?C h

? 0.

h? 0

例2 解

设函数

f ( x ) ? sin x , 求 (sin x ) ? 及 (sin x ) ?
sin( x ? h ) ? sin x h
h 2 sin )? h 2 h 2
? cos x .

x?

? 4

.

(sin x ) ? ? lim

h? 0

? lim cos( x ?
h? 0



(sin x ) ? ? cos x .

? (sin x ) ?

x?

? 4

? cos x

x?

? 4

?

2 2

.

例3 解

求函数
n

y ? x ( n 为正整数
n

) 的导数 .

( x ) ? ? lim

( x ? h) ? x
n

n

h? 0
n?1

h

? lim [ nx
h? 0

?

n( n ? 1) 2!
n?1

x

n?2

h?? ? h

n?1

] ? nx

n?1



( x ) ? ? nx
n ?

.
? ?1

更一般地 例如,
(

( x )? ? ? x
x )? ?
?1

.

(? ? R )

1 2

1

?1

x

2

? 2
?1?1

1 x

. 1 x
2

(x

)? ? ( ? 1) x

? ?

.

例4 解

求函数
x

f ( x ) ? a ( a ? 0 , a ? 1 ) 的导数 .
x

( a ) ? ? lim

a

x?h

?a h

x

h? 0

? a
? a

x

lim

a

h

?1 h

h? 0

x

ln a .
x



( a )? ? a
x

ln a .

( e )? ? e .
x x

例5

求函数
y ? ? lim

y ? log

a

x ( a ? 0 , a ? 1 ) 的导数 .
a



log a ( x ? h ) ? log

x

h h log a ( 1 ? ) 1 x ? lim ? h? 0 h x
x

h? 0

?

1 x

lim log
h? 0

(1 ? a

h x

x

)h ?

1 x

log

a

e.



(log

a

x )? ?

1 x

log

a

e.

(ln x ) ? ?

1 x

.

四、导数的几何意义

1.几何意义
f ? ( x 0 ) 表示曲线 y ? f (x) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 )) 处的 切线的斜率 ,即 (? 为倾角 )

y
y ? f (x)

T

M
?

f ? ( x 0 ) ? tan ? ,

o

x0

x

切线方程为 法线方程为

y ? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ).

y ? y0 ? ?

1 f ?( x 0 )

( x ? x 0 ).

例7

1 1 在点 ( , 2 ) 处的切线的 x 2 斜率 , 并写出在该点处的切线 方程 . 求等边双曲线 y?

解 由导数的几何意义, 得切线斜率为

k ? y?

x?

1 2

? (

1 x

)?

x?

1 2

? ?
1

1 x
2
2 x? 1 2

? ?4.

所求切线方程为 y ? 2 ? ? 4 ( x ? ),

即 4 x ? y ? 4 ? 0.

例7. 问曲线 的切线与直线 解:
?

哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.
1 3 x
?
2 3

? y?

x?0

? ? ,

故在原点 (0 , 0) 有铅直切线

1 3
3

1 x
2

?

1 3

,

得 x ? ? 1 , 对应 y ? ? 1 ,

则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即
?1

y 1

O
?1

1

x

五、单侧导数(左、右导数)
1.左导数:
f ?? ( x 0 ) ?
x ? x0 ? 0

lim

f (x) ? f (x0 ) x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

?x ? ?0

;

2.右导数:
f ?? ( x 0 ) ?
x? x0 ? 0

lim

f (x) ? f (x0 ) x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

?x ? ?0

;



函 数 f ( x ) 在 点 x 0 处 可 导 ? 左 导 数 f ?? ( x 0 ) 和 右 导 数 f ?? ( x 0 ) 都 存 在 且 相 等 .

例6


讨论函数

f ( x ) ? x 在 x ? 0 处的可导性
? h h
y

.
y ? x

?

f (0 ? h) ? f (0) h

,

lim
h? 0

f (0 ? h) ? f (0)
?

? lim
h? 0

h
?

? 1,

h f (0 ? h) ? f (0)

h ? h
? ?1.

o

x

lim
h? 0

?

? lim
h? 0

h

?

h

即 f ?? ( 0 ) ? f ?? ( 0 ),

? 函数 y ? f ( x ) 在 x ? 0 点不可导

.

5. 设 都存在 , 并求出

, 问 a 取何值时,



解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
? f ? ( 0 ) ? lim

sin x ? 0
?

x? 0

? f ? ( 0 ) ? lim

x?0 ax ? 0 x?0

?1
? a

x? 0

?

故 a ?1 时

此时



都存在,

六、可导与连续的关系
定理


凡可导函数都是连续函数.
设函数
lim ?y ?x

f ( x ) 在点 x 0 可导 ,
? f ?( x 0 ) ?y ?x ? f ?( x 0 ) ? ?

?x? 0

? ? 0
?x ? 0

(?x ? 0)
?x ? 0

? y ? f ?( x 0 ) ? x ? ? ? x

lim ? y ? lim [ f ? ( x 0 ) ? x ? ? ? x ] ? 0

? 函数 f ( x ) 在点 x 0 连续 .

注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例
1 . 函数 f ( x ) 连续 , 若 f ?? ( x 0 ) ? f ?? ( x 0 ) 则称点 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导
y
2
y ? x
2

x0 .

例如,
?x , f (x) ? ? ? x, x ? 0 x ? 0 ,

y ? x

0

x

在 x ? 0 处不可导

, x ? 0 为 f ( x )的角点 .

2 . 设函数 lim ?y ?x

f ( x ) 在点 x 0 连续 , 但 ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
?x? 0

?x? 0

? ?,

称函数

f ( x ) 在点 x 0 有无穷导数

. ( 不可导 )
y ?
3

例如,
f (x) ?
3

y
x ? 1,
0

x ?1

在 x ? 1处不可导

1

x

.

4 . 若 f ? ( x 0 ) ? ? , 且 在 点 x 0的 两 个 单 侧 导 数 符 号 相 反 , 则 称 点 x 0 为 函 数 f ( x )的 尖 点 ( 不 可 导 点 ) .
2

f ( x ) ? x 3, x ? ( ?? , ?? ).
2

由于

lim x 3 ? 0 ? f ( 0 ),故 f ( x ) 在 x ? 0 连续 . 但是:
x? 0
2 2 3

? f ? ( 0 ) ? lim

?x
?

?x? 0

?x

? lim

1
?

?x? 0

1

? ?? ,

f ? ( 0 ) ? lim

?

?x 3
?

?x? 0

?x

? lim

1
?

?x? 0

1

? ?? .
y
2

?x

3

?x 3

y
即 故
f (x)
2

f ? ( 0 ) ? ? , 不存在 . f ( x ) 在 x ? 0 不可导 .

y ? x3

然而, f ( x ) ? x 在点 x ? 0 处
3

o

x

y

存在切线

x ? 0, 即 y轴 .

o

x

例8

讨论函数

1 ? ? x sin , f (x) ? ? x ? 0, ?

x ? 0 x ? 0 .
1 x ? 0

,

在 x ? 0 处的连续性与可导性



? sin

1 x

是有界函数

,

? lim x sin
x? 0

? f ( 0 ) ? lim f ( x ) ? 0
x? 0

但在 x ? 0 处有

? f ( x ) 在 x ? 0 处连续 . 1 ( 0 ? ? x ) sin ?0 1 ?y 0 ? ?x ? sin ? ?x ?x ?x

当 ? x ? 0时 ,

?y ?x

在 ? 1 和 1 之间振荡而极限不存在
.

.

? f ( x ) 在 x ? 0 处不可导

小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2.
f ? ( x 0 ) ? a ? f ?? ( x 0 ) ? f ?? ( x 0 ) ? a ;

3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
不连续,一定不可导.

6. 判断可导性
连续

直接用定义;

看左右导数是否存在且相等.

? 幻灯片 5



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