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2017《教与学》第二轮第38课 综合型问题



近年来,各地中考试卷中出现的综合型压轴题,常以数学 主干知识——代数的核心知识(函数、方程、不等式)和几何的 核心知识(用运动变换的观点研究三角形、四边形和圆的基本 性质),结合重要的数学思想方法加以设计,重视数学分类讨 论、数形结合、运动变化、建模、化归(转化)等基本思想的考 核和数学观察、实验探究等感知能力,归纳类比等合情推理以 及演绎推理能力水平的考查.近年来,主要有以下

几种类型: (1)函数、方程(或不等式)综合问题. (2)几何型综合问题. (3)函数、方程(或不等式)、几何综合问题. 综合型问题一般难在数学思想方法和数学推理等思维能 力的要求上,而不是难在解题技巧上,导向性非常明确.

类型一 函数、方程(或不等式)综合问题
函数与方程虽然是两个不同的数学概念,但它们之间 相互联系,相互渗透.一个函数若有表达式,则这个表达 式就可以看成是一个方程 ,它的两边可以分别看成函 数.因此,许多有关方程的问题可用函数的方法解决;反 之, 许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决. 同理, 不等式与函数一样可以借助图象和坐标建立联系.

点拨

函数、 方程(或不等式)综合问题, 常常以函数为主线,

一般需要先建立函数模型并求出函数表达式, 重点考查函数 的图象及性质和方程及不等式的有关知识的综合. 解题时要 注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化, 数形结 合,充分利用函数思想和方程思想.例如:函数图象与 x 轴 交点的横坐标即为相应的方程的根; 点在函数图象上即点的 坐标满足函数的表达式等.

【典例 1】 (2015·浙江丽水)如图 38?1,某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练, 出球口在桌面中线端点 A 处的正上方,假设每次发出的乒乓球的运动路线固 定不变,且落在中线上.在乒乓球运行时,设乒乓球与端点 A 的水平距离为 x (m),与桌面的高度为 y(m),运行时间为 t(s),经多次测试后,得到如下表所 示数据:

图 38?1 t(s) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … x (m) 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … y(m) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … (1)当 t 为何值时,乒乓球达到最大高度? (2)乒乓球落在桌面时,与端点 A 的水平距离是多少? (3)乒乓球落在桌面上弹起后,y 与 x 满足 y=a(x -3)2+k . ①用含 a 的代数式表示 k . ②球网高度为 0.14 m , 球桌长(1.4×2)m.若球弹起后, 恰好有唯一的击球点, 可以将球沿直线扣杀到点 A ,求 a 的值.

【点评】

本题是一道二次函数与方程 ( 组 ) 综合的压轴

题,主要考查用待定系数法求函数表达式、二次函数的实 际应用、曲线上点的坐标与方程的关系、一元二次方程根 的判别式的应用.读懂题意,正确求出函数表达式,并将 函数与方程联系起来(根的判别式)是解题的关键.

【解析】 以点 A 为原点,桌面中线为 x 轴,乒乓球水平 运动方向为正方向,建立平面直角坐标系.

(1)由表格中的数据,可得 t=0.4. 答:当 t 为 0.4 s 时,乒乓球达到最大高度.
(2)由表格中的数据,可画出 y 关于 x 的图象,根据图象的 形状,可判断 y 是 x 的二次函数. 可设 y=a(x -1)2+0.45. 1 将点(0,0.25)的坐标代入,可得 a=- , 5 1 ∴y=- (x -1)2+0.45. 5 5 1 当 y=0 时,x 1= ,x 2=- (不合题意,舍去), 2 2 5 ∴乒乓球与端点 A 的水平距离是 m. 2

?5 ? ?5 ? (3)①由(2)可得, 当乒乓球落在桌面上时, 对应的点的坐标为?2,0?.将点?2,0? ? ? ? ? ?5 ?2 1 的坐标代入 y=a(x-3) +k,得?2-3? a+k=0,化简、整理,得 k=- a. 4 ? ?
2

1 ②由题意可知,扣杀路线在直线 y= x 上. 10 1 由①,得 y=a(x-3)2- a. 4 1 1 令 a(x-3)2- a= x,整理,得 20ax2-(120a+2)x+175a=0. 4 10 当 Δ=(120a+2)2-4×20a×175a=0 时符合题意, -6+ 35 -6- 35 解方程,得 a1= ,a2= . 10 10 120a+2 1 当 Δ=0 时,原方程的解为 x= =3+ . 40a 20a -6+ 35 35 当 a1= 时,求得 x=- ,不符合题意,舍去; 10 2 -6- 35 35 当 a2= 时,求得 x= ,符合题意. 10 2 -6- 35 答:当 a= 时,能恰好将球扣杀到点 A. 10

类型二 几何型综合问题
1.几何证明型综合题常以四边形、相似形、圆等知识为背景,综 合其他几何知识出题.证明时常采用综合法来证,在解答过程 中,也可以采用分析法来逆向寻找条件.个别情况下,还会用 到反证法.顺利证明几何问题取决于下列因素: ①熟悉各种常 见问题的基本证明;②能准确添加基本辅助线;③对复杂图形 能进行恰当的分解与组合;④善于选择证题的起点并转化问题.

2.几何计算型综合题中,几何计算是以几何推理为基础的几何量 的计算,主要包含线段和弧的长度的计算,角的三角函数值的 计算,以及各种图形面积的计算等.其中以线段的计算最为常 见,线段的计算通常是通过勾股定理、锐角三角函数、全等三 角形对应边相等、相似三角形对应边成比例所提供的等式进行 的,这些等式可以根据不同的已知条件转化为方程或方程组.

点拨
几何型综合题,常用相似与圆的有关知识作为考查重点,并 贯穿几何、代数、三角函数等知识,以证明、计算等题型出 现.解几何型综合题,应注意以下几点: (1)注意数形结合思想等数学思想方法的运用, 多角度、 全方

位观察图形,挖掘隐含条件,寻找数量关系和相等关系. (2)注意将推理和计算相结合, 力求解题过程规范, 简洁明了. (3)熟练掌握常规的证题思路,常见的辅助线添法.

【典例 2】 (2016· 浙江台州)定义:有三个内角相等的四 边形叫三等角四边形.

图 38-2 (1)在三等角四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C, 求∠A 的取值范围. (2)如图 38-2,折叠平行四边形纸片 DEBF,使顶点 E, F 分别落在边 BE,BF 上的点 A,C 处,折痕分别 为 DG,DH.求证:四边形 ABCD 是三等角四边形. (3)在三等角四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C.若 CB =CD=4,则当 AD 的长为何值时,AB 的长最大? 其最大值是多少?并求此时对角线 AC 的长.

【点评】

本题是一道以新定义为背景的几何型综合压

轴题,主要考查对新定义的理解、平行四边形的性质与判 定、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识.理解新 定义,注意分类讨论是解题的关键.

【解析】 (1)∵∠A=∠B=∠C,∴3∠A+∠ADC=360° , ∴∠ADC=360° -3∠A. ∵0<∠ADC<180° ,∴0° <360° -3∠A<180° , ∴60° <∠A<120° .

(2)∵四边形 DEBF 为平行四边形, ∴∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180° . ∵DE=DA,DF=DC,∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF. ∵∠DAE+∠DAB=180° ,∠DCF+∠DCB=180° ,∠E+∠EBF =180° , ∴∠DAB=∠DCB=∠ABC, ∴四边形 ABCD 是三等角四边形.

(3)①当 60° <∠A<90° 时,如解图①,过点 D 作 DF∥AB 交 CB 于 点 F,DE∥BC 交 AB 于点 E, 则四边形 BEDF 是平行四边形,∠DFC=∠B=∠DEA, ∴EB=DF,DE=FB. ∵∠A=∠B=∠C,∠DFC=∠B=∠DEA, ∴△DAE∽△DCF,AD=DE,DF=DC=4. 设 AD=x,AB=y,则 AE=y-4,CF=4-x. AE AD ∵△DAE∽△DCF,∴ = , CF CD y- 4 x 1 1 ∴ = ,∴y=- x2+x+4=- (x-2)2+5, 4 4 4-x 4 ∴当 x=2 时,y 的最大值是 5, 即当 AD=2 时,AB 的长最大,最大值是 5.

②当∠A=90° 时,三等角四边形是正方形, ∴AD=AB=CD=4.

③当 90° <∠A<120° 时,∠D 为锐角,如解图②. 同①可得 AE=4-AB>0,∴AB<4. 综上所述,当 AD=2 时,AB 的长最大,最大值是 5.

(典例 2 解②) (典例 2 解③) 此时 AE=1,如解图③,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M,过点 D 作 DN⊥AB 于点 N. 1 1 ∵DA=DE,DN⊥AB,∴AN= AE= . 2 2 ∵∠DAN=∠CBM,∠DNA=∠CMB=90° , AD AN ∴△DAN∽△CBM,∴ BC=BM, ∴BM=1,∴AM=4,CM= BC2-BM2= 15, ∴AC= AM2+CM2= 16+15= 31.

类型三 函数、方程(或不等式)、几何综合问题
近几年中考试题中的综合题大多以代数、几何综合题的形式 出现.代数几何综合题从内容上来说,是把代数中的数与式、方 程与不等式、函数、几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质, 以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合 在一起,同时也融入了开放性、探究性等问题,如探究条件、探 究结论、探究存在性等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考 查考生计算能力的同时,考查考生的阅读理解能力、动手操作能 力、抽象思维能力、建模能力,力求引导考生将数学知识运用到 实际生活中去.近年来,最常考查的题型主要有坐标系中的几何 问题(一般都是与函数结合的几何问题),以及图形运动过程中求 函数表达式问题等.

点拨

解决代数几何综合题的关键是运用方程、函数的思

想,借助几何图形帮助分析,数形结合,由形导数,以数促 形,综合运用代数和几何知识解题.一般思路如下:第一, 认真审题,分析、挖掘题目的隐含条件,将其转化为显性条 件;第二,将复杂问题分解为基本问题,逐个击破;第三, 将以上得到的显性条件进行恰当地组合、联想和转化,进一 步得到新的结论.灵活运用分析法和综合法、方程与函数的 思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点 等数学思想方法,能更有效地解决问题.

【典例 3】 (2016· 浙江绍兴)如图 38-3, 在矩形 ABCO 中,O 为坐标原点,点 B 的坐标为(4,3),点 A,C 在坐标轴 上,点 P 在 BC 边上,直线 l1:y=2x +3,直线 l2:y=2x-3. (1)分别求直线 l1 与 x 轴、直线 l2 与 AB 的交点坐标. (2)已知点 M 在第一象限, 且是直线 l2 上的点, 若△APM 是等腰直角三角形,求点 M 的坐标. (3)我们把直线 l1 和直线 l2 上的点所组成的图形称为图 形 F.已知矩形 ANPQ 的顶点 N 在图形 F 上,Q 是 坐标平面内的点,且点 N 的横坐标为 x,请直接写 出 x 的取值范围(不用说明理由).

【点评】

本题是一道一次函数与方程(不等式)、几何相

结合的综合型压轴题,主要考查坐标上点的坐标特征、等 腰直角三角形的性质、矩形的性质,注意分类讨论思想和 数形结合思想的应用是解题的关键.

【解析】 (1)把 y=0 代入直线 l1:y=2x+3,得 2x+3 3 =0,解得 x=- , 2 ? ? 3 ? ∴直线 l1 与 x 轴的交点坐标为?-2,0? ?. ? ? 把 y=3 代入直线 l2:y=2x-3,得 2x-3=3,解得 x=3, ∴直线 l2 与 AB 的交点坐标为(3,3).

(2)①当点 A 为直角顶点时,连结 AC,如解图①,∠APB>∠ACB >45° ,∴△APM 不可能是等腰直角三角形,∴此时点 M 不存在.

(典例 3 解) ②当点 P 为直角顶点时,如解图②,过点 M 作 MN⊥CB,交 CB 的延长线于点 N, 则 Rt△ ABP≌Rt△ PNM,∴AB=PN=4,PB=MN. 设点 M(x,2x-3),则 PB=MN=x-4, ?14 19? 14 ∴2x-3=4+3-(x-4),解得 x= ,∴点 M 的坐标为? 3 , 3 ?. 3 ? ?

③当点 M 为直角顶点时,如解图③, 过点 M1 作 M1G1⊥OA,交 y 轴于点 G1 , 交 BC 于 点 H1 , 则 Rt△ AM1G1≌Rt△ M1PH1. 设点 M1(x1 , 2x1 - 3) ,易得 △ AM1G1 与 △ PM1H1 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 , ∴M1H1=AG1=3-(2x1-3), ∴x1+[3-(2x1-3)]=4,解得 x1=2, ∴点 M1 的坐标为(2,1). 设点 M2(x2,2x2-3),同理可得 x2+[(2x2-3)-3]=4, ?10 11? 10 ? 解得 x2= ,∴点 M2 的坐标为? 3 , 3 ? ?. 3 ? ? ?14 ?10 19? 11? ? ? ? 综上所述,点 M 的坐标为? 3 , 3 ?或(2,1)或? 3 , 3 ? ?. ? ? ? ?

(3)当点 N 在直线 l1 上时, 如解图④. 过点 C 作 l1 的垂线,交 l1 于点 N1, 过点 B 作 l1 的垂线,交 l1 于点 N2, 当点 N 在 N1N2 上(除点 A 外)时,存 在矩形 ANPQ, ? 2 11? ? 易得点 N1 的坐标为 ?-5, 5 ? ? ,点 ? ? ?4 23? ? N2 的坐标为?5, 5 ? ?, ? ? 2 4 ∴- ≤x<0 或 0<x≤ . 5 5

当点 N 在直线 l2 上时,如解图⑤. 取 AB 的中点 O1, 以点 O1 为圆心,AO1 长为半径画圆,交 l2 于点 N1,N2, 连结 AN1, BN1, AN2, BN2, 则∠AN1B=∠AN2B =90° . 连结 AC,取 AC 的中点 O2,以点 O2 为圆心, AO2 长为半径画圆, 交 l2 于点 N3, N4, 连结 AN3, CN3,AN4,CN4,则∠AN3C=∠AN4C=90° . 当点 N 在 N1N3 和 N2N4 上时,存在矩形 ANPQ. 11+ 31 18 易得在 N1N3 上时,x 的取值范围为 ≤x≤ ; 5 5 11- 31 在 N2N4 上时,x 的取值范围为 ≤x≤2. 5 2 4 11+ 31 18 综上所述, x 的取值范围为- ≤x < 0 或 0 < x≤ 或 ≤x≤ 或 5 5 5 5 11- 31 ≤x≤2. 5

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