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4.8正弦、余弦函数的图像、定义域、值域(1)


第四章 三角函数 4.8 正弦、余弦函数的图像、定义域、值域 正弦、余弦函数的图像、定义域、

选择题

2m ? 3 1.α 在第三、四象限,sinα= 4 ? m ,则 m 的取值范围是 (



A. (-1,0)

1 B. (-1, 2 )

3 C. (-1, 2 )

D. (-1,1)

2.函数 f(x)=Msin(ωx+ ? ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M, f (b)=M,则函数 g(x)=Mcos(ωx+ ? )在[a,b]上( A.是增函数 C.可以取得最大值 M )

B.是减函数 D.可以取得最小值-M

解答题
3.已知方程 sinx+cosx=k,在 0≤x≤π上有两解,求 k 的取值范围. 4.作出函数 y=|sinx|+|cosx|.x∈[0,π]的图象,并写出函数的值域.

3 1 5.设函数 f(x)=A+Bsinx,若 B<0 时, f(x)的最大值是 2 ,最小值是- 2 ,则 A
=_____,B=_____.

1 6.x∈(0,2π)且 cosx<sinx< 2 ,则 x 的取值范围是_____.
7.求函数 y = sin x + cos x 的值域。 8.求函数 y =

3 cos x ? sin x 的值域。
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9.求函数 y = 3 ? 4sin x ? 4cos 2 x 的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的 x 的值。 10.求函数 y = sin x + cos x + sin x ? cos x 的值域。 11.(2003 年高考·北京)已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

π
(Ⅱ)若 x∈[0,

2 ] f(x)的最大值、最小值. ,求

· 答案解析 ·

?2m ? 3 < 0 ? ?4 ? m > 0 2m ? 3 ? 1.【解析】应-1< 4 ? m <0 得: ?m ? 4 < 2m ? 3 ?2 m ? 3 > 0 ? ?4 ? m < 0 ? 或 ?2 m ? 3 < m ? 4 3 解①得-1<m< 2



② 解②得 ? . 【答案】C

2.【解析】由题意可知-M<M,∴M>0 又由 f(x)|min=f(a)=-M; f(x)|max=f(b)=M.

知 a≤x≤b 时,-1≤sin(ωx+ ? )≤1

π
故 2kπ-

2 ≤ωx+ ? ≤2kπ+ 2 ,得 0≤cos(ωx+ ? )≤1,

π

∴g(x)=Mcos(ωx+ ? )在[a,b]上可取得最大值 M. 【答案】C

π
3.【解】原方程 sinx+cosx=k ?

2 sin(x+ 4 )=k 在同一坐标系内作函数 y1= 2 sin

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π
(x+ 令 x=0,得 y=1. 故当 k∈[1,

π

4 )与 y2=k 的图象.对于 y= 2 sin(x+ 4 ) ,

2 ]时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解.
π x ∈ [0, ] 2 π x ∈ ( , π] 2 如下图:

π ? ? 2 sin( x + 4 ). ? ? ? 2 sin( x ? π ) 4 ? 4.【解】原式= ?

函数的值域为[1,

2] .

3 ? A? B = ? ? 2 ? 1 ?A + B = ? 1 ? 2 可得结论. 【答案】 2 5.【解析】根据题意,由 ?

-1

?sin x > cos x ? 1 ? ?sin x < 2 5 5 ? ( π, π) ?0 < x < 2π 借助函数图象或三角函数线可知:x∈ 6 4 6.【解析】依题意得 ?
5π 5π , ) 4 【答案】 6 (
7.解: y = sin x + cos x = ∵ ?1 ≤ sin( x +

π

2 sin( x + ) , 4

π

) ≤ 1 ,∴ ? 2 ≤ 2 sin( x + ) ≤ 2 , 4 4

π

所以,函数 y = sin x + cos x 的值域是 [ ? 2, 2] . 8.解: y =

3 cos x ? sin x = 2(

3 1 π cos x ? sin x) = ?2sin( x ? ) 2 2 3

∵ ?1 ≤ sin( x ?

π

) ≤ 1 ,∴ ?2 ≤ ?2sin( x ? ) ≤ 2 , 4 4 3 cos x ? sin x 的值域为 [?2, 2] .

π

所以,函数 y =

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9.解: y = 3 ? 4 sin x ? 4cos x = 4 sin x ? 4sin x ? 1 = 4(sin x ? ) ? 2 ,
2
2

1 2

2

令 t = sin x ,则 ?1 ≤ t ≤ 1 , ∴ y = 4(t ? ) ? 2 ( ?1 ≤ t ≤ 1 ) ,
2

∴当 t =

1 π 5π ,即 x = + 2kπ 或 x = + 2kπ ( k ∈ Z )时, ymin = ?2 , 2 6 6 3π 当 t = ?1 ,即 x = + 2kπ ( k ∈ Z )时, ymax = 7 . 2

1 2

t 2 ?1 10.解:令 sin x + cos x = t ,则 sin x ? cos x = , 2
又∵ t = sin x + cos x =

2 sin( x + ) ,∴ ? 2 ≤ t ≤ 2 , 4

π

当 t = ?1 时, ymin = ?1 , 当t =

1 1 1 2 时, ymax = × ( 2) 2 + 2 ? = + 2 , 2 2 2

所以,函数 y = sin x + cos x + sin x ? cos x 的值域为 [ ?1, 2 + 2] . 11.(Ⅰ) 【解】因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x

π
(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= =(cos2x+sin2x)

2 cos(2x+ 4 ) ,

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.
5 (Ⅱ) 【解】因为 0≤x≤ 2 ,所以 4 ≤2π+ 4 ≤ 4 π.

π

π

π

2 当 2x+ 4 = 4 时,cos(2x+ 4 )取得最大值 2 ;

π π

π

π

π π

当 2x+

4 =π 时,cos(2x+ 4 )取得最小值-1.

所以 f(x)在[0,

2 ]上的最大值为 1,最小值为- 2

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