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2014课标1理科数学



2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标Ι 理科数学
第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =

A .[-2,-1]
2.<

br />
B .[-1,2) C .[-1,1]

D .[1,2)

(1 ? i )3 = (1 ? i ) 2

A . 1 ? i B . 1 ? i C . ?1 ? i D . ?1 ? i
3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数
4.已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为
2 2

A . 3 B .3

C . 3m D . 3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A.

1 3 5 7 B. C . D. 8 8 8 8

6.如图, 圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 16 7 15 C . D. B. 3 5 2 8

8.设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?
9.不等式组 ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P B . p1 , p4 C . p1 , p2 D . p1 , P 3 3
10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个焦点,若 FP ? 4FQ , 则 | QF | =

??? ?

??? ?

A.

7 5 B . C .3 2 2

D .2

3 2 11.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,

若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为

A .(2,+∞) B .(-∞,-2) C .(1,+∞) D .(-∞,-1)
12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长 度为

A . 6 2 B . 4 2 C .6

D .4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个 考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y) 的展开式中 x y 的系数为.(用数字填写答案)
8 2 2

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为. 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

????

? ? ???? ??? ? ??? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为. 2

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面 积的最大值为.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

18.(本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分 布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 (同一组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x ,
2

? 2 近似为样本方差 s 2 .
(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件 数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.
2

19.(本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ)证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=Bc,求二面角

A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)已知点 A(0, -2) , 椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 是椭圆的焦点, 直线 AF 2 a b 2

的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

be x ?1 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 .(Ⅰ) x
x

求 a, b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题 目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角 形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab . a b

3 3 (Ⅰ)求 a ? b 的最小值;

(Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.



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