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高一数学数列求和9


数列求和专题

授课教师:崔晓刚

即直接用有求和公式,求列的前n和S 1.公式法:

n

n(a1 + an ) n(n ? 1) S = na1 + d ①等差数列的前n项和公式: n = 2 2

②等比数列的前n项和公式 1 ③ 1 + 2 + 3 + ? + n = n(n + 1)
2
2 2 2 2

?na1 (q = 1) ? S n = ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q = 1 ? q (q ≠ 1) ?

1 ④1 + 2 + 3 + ? + n = n(n + 1)(2n + 1) 6
? n ( n + 1) ? ⑤ 1 + 2 + 3 +? + n = ? ? 2 ? ?
3 3 3 3 2

例1:若实数a,b满足:

4a2 + 9b2 ? 4a ? 6b + 2 = 0 求: a + a2b + a3b2 +?+ a100b99

分析:通过观察,看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a,公比
为ab,因此由题设求出a,b,再用等比数列前n项和公式求和。

解:由已知可得:
(4 a
2

? 4 a + 1) + (9 a

2

? 6 b + 1) = 0

即 : ( 2 a - 1 )2 + ( 3 b ? 1 ) 2 = 0 ? ∴ ? ? ∴ a 1 ? a = ? 2a ? 1 = 0 ? 2 解 得 : ? 3b ? 1 = 0 ?b = 1 ? 3 ? + a 2b + a 3b 2 + ? + a 100b
100

99

a ?1 ? ( a b ) ? = 1 ? ab

? ? =

1 ? 1 ? 1 ? ( )100 ? 1 2 ? 6 ? ? = 3 (1 ? 1 5 600 1 ? 6

2

)

2.分组求和法: 若数列{an} 的通项可转化为 an = bn + cn
的形式,且数列 {bn }{cn }可求出前n项和
s n = a1 + a 2 + ? + a n = ( b1 + c 1 ) + ( b 2 + c 2 ) + ? + ( b n + c n )

sb s c



= ( b1 + b 2 + ? + b n ) + ( c 1 + c 2 + ? + c n ) = sb + sc
例2.求下列数列的前n项和 1 (1) 1 1 1
2 , 4 , 6 ,? , 2n + n +1 4 8 16 2

(2) x + 1 ), ( x 2 + 1 )2 ,? , ( x n + 1 ) 2 ( x x2 xn

解(1):该数列的通项公式为

an = 2n +

1 2n +1

1 1 1 1 ∴ sn = 2 + 4 + 6 + ? + (2n + n+1 ) 4 8 16 2
1 1 1 = (2 + 4 + 6 + ? + 2 n ) + ( + + ? + n +1 ) 4 8 2
1 ? 1 ? 1 ? n (2 + 2 n ) 4 ? 2 2 ? ? ? = + 1 2 1 ? 2 1 1 = n (n + 1) + ? 2 2 n +1

1 2 1 2n ∵ ( x + n ) = x + 2n + 2 x x 1 1 1 ∴ s n = ( x 2 + 2 + 2) + ( x 4 + 4 + 2) + ? + ( x 2 n + 2 n + 2) x x x 1 1 1 2 4 2n = ( x + x + ? + x ) + ( 2 + 4 + ? + 2n ) + 2n x x x
n

x =±1:  = n + n + n = n sn 1 1 (1? 2n ) 2 2n 2n 2n+2 2 x (1? x ) x x = (x ?1)(x +1) + 2n x ≠ ±1: sn = + 2 1 1? x x2n (x2 ?1) 1? 2 x 4n( x = ±1)

? ? 2n ∴ sn = ? ( x ?1)( x2n+2 + 1) + 2n( x ≠ ±1) 2n 2 ? x ( x ? 1) ?

规律概括:如果一个数列的通项可分成两项之和(或三项 之和)则可用分组求和法:在本章我们主要遇到如下两种 形式的数列. 其一:通项公式为:a = An + Bq n + C
n

其二:通项公式为: n a

= Ap + Bq + C
n n

练习:下列数列的前n项和

(1).1,1 + 2,1 + 2 + 3,? ,1 + 2 + 3 + ? + n (2).1× 2, 2 × 3,3 × 4,? , n × (n + 1)
答案: (1 ) : 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
6 1 n ( n + 1)( n + 2 ) (2) : 3

例3、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
[分析 这是一个等差数列{n}与一个等比数列 n-1}的对应 分析] 分析 这是一个等差数列 与一个等比数列{x 的对应 与一个等比数列 相乘构成的新数列,这样的数列求和该如何求呢? 相乘构成的新数列,这样的数列求和该如何求呢?

Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ② (1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 n项
这时等式的右边是一个等比 数列的前n项和与一个式子的 数列的前 项和与一个式子的 和,这样我们就可以化简求 值。

nxn

例3、求和Sn =1+2x+3x2+ …… n-1 (x≠0,1) +nx
解:∵ Sn =1

+ 2x +3x2 + …… +nxn-1 ∴xSn = x + 2x2 + …… + (n-1)xn-1+nxn ∴ ① -②,得: (1-x) Sn =1+x+x2+ … + xn-1 - nxn 1-xn -… n nx = 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 = 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 ∴ Sn= (1-x)2

3.错位相减法:设数列 {a } 是公差为d的等差数列
n

(d不等于零),数列 {bn } 是公比为q的等比数列(q不 c 等于1),数列 {cn } 满足: n = an bn 则 {cn } 的前n项和 为:

s n = c1 + c 2 + c 3 + ? + c n

= a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ? + a n b n ? ? ?
q s n = a 1b 2 + a 2 b 3 + ? + a n ?1b n + a n b n +1 ? ? ? (1 ? q ) s n = a 1 b1 + d ( b 2 + b 3 + ? + b n ) ? a n b n + 1

d b 2 (1 ? q n ? 1 ) = a 1 b1 + ? a n b n +1 1? q ∴ sn a n bn +1 a 1 b1 d b 2 (1 ? q n ? 1 ) = + ? 2 1? q (1 ? q ) 1? q

练习: 求和Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n 答案:

2n+3 Sn =3n 2

例4、Sn = 、

1 1×3 ×

+

1 3×5 ×

+……+

1 (2n-1)×(2n+1) ×

[分析]:观察数列的前几项: 1 1 1 1 ) = ( 2 1 3 1×3 ×

1 1 1 1 = ( ? ) 3× 5 2 3 5
1

拆项相 消法

1 1 1 (2n-1)×(2n+1) = 2 ( 2n-1 - 2n+1 ) × 这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和, 这种方法叫什么呢?

例4、Sn = 、

1 1×3 ×

+

1 3×5 × 1

+……+

1 (2n-1)×(2n+1) ×

1 1 1 解:由通项an= = ( ) 2n-1 2n+1 2 (2n-1)×(2n+1) × 1 1 1 1 1 1 + +……+ ∴Sn= ( 2 1 3 3 5 2n-1 1 1 n = (1 )= 2 2n+1 2n+1 1 ) 2n+1

评:裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。

4.拆项相消法(或裂项法):若数列 { a n } 的通项公
a 式拆分为某数列相邻两项之差的形式即: n = bn +1 ? bn 或( an = bn ? bn ?1 )则可用如下方法求前n项和

sn .

sn = a1 + a2 + a3 + ? + an
= (b2 ? b1 ) + (b3 ? b2 ) + ? + (bn +1 ? bn )

= bn +1 ? b1

{b {b 设 { a n } 是公差不为零的等差数列, n } 满足 bn = {a



∴ sn = b1 + b2 + b3 + ? + bn
=

a n +1 ? a n 1 1 1 1 bn = = = ( ? ) a n a n +1 da n a n + 1 d a n a n +1

的前n项和

1 求: an an +1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) + ( ? ) +?+ ( ? ) d a1 a2 d a2 a3 d an an +1 1 1 1 1 1 1 1 n = ( ? + ? +? + ? ) = d a1 a2 a2 a3 an a n +1 a1a n +1

它的拆 项方法 你掌握 了吗?

常见的拆项公式有:
1 1 1 1. = ? n(n + 1) n n + 1
1 1 1 1 2. = ( ? ) n(n + k ) k n n + k

1 1 1 1 3. = ( ? ) (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

1 1 1 1 4. = [ ? ] n ( n + 1 )( n + 2 ) 2 n ( n + 1 ) ( n + 1 )( n + 2 )

1 1 5. = ( a ? b) a + b a ?b
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练习:(求和)
1 1 1 + +? + (1). s n = 1 + 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3+? + n 1 1 1 ( 2).sn = + +?+ 1+ 2 2+ 3 n + n +1
(1 . 答案:)a 1 2 2 2 = = 2( ? ) n 1 + 2 + 3 + ? + n n ( n + 1) n n +1 1 1 1 1 1 ∴ s n = 2 [( 1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? )] 2 2 3 n n +1 =
= 2 (1 ? 1 2n ) = n +1 n +1

( 2 ). ∵

1 n + n +1

=

n +1 ?

n

∴ sn = 2 ?1 + 3 ? 2 + ?+ n + 1 ? n = n + 1 ?1

2 例5.求等差数列200, 199 , ? 100的后400项的绝对值之和 ? 3
分析:将原数列反序排列仍构成等差数列其首项为-100,公差 为1/3,则只须求新数列的前400项绝对值之和

解:

设此数列为 { a n }, 则 a n = ? 100 + ( n ? 1)

依题意得,只须求等差 数列 2 2 ? 100 , 99 ? , , ? 199 , 200 的前 400 项的绝对值之和 3 3
n ? 301 令 a n ≥ 0 得: ≥ 0 , 解得: n ≥ 301 n 即: n }中当n < 301时, an < 0, 当n = 301时,a301 = 0 {a
1 n ? 301 = 3 3

当n > 301时,an > 0

∴ s =| a1 | + | a2 | + | a3 | + ? + | a400 | = ? ( a 1 + a 2 + ? + a 301 ) + ( a 301 + ? + a 400 )

注意 运算 技巧

301 × 300 1 100 × 99 1 = ? [ 301 × ( ? 100 ) + × ] + [100 × 0 + × ] 2 3 2 3

= 16700

作业:
(1 ). s n 1 1 1 1 = 1 + 4 + 7 + ? + [( 3 n ? 2 ) + n ] 2 4 8 2

( 2 ) s n = 1 + (1 + a ) + (1 + a + a 2 ) + ? + (1 + a + a 2 + ? + a n ?1 )

( 3 ). s n = x + 2 x 2 + 3 x 3 + ? + nx
1 2 1 1 (4).sn = + + +? + 1× 2 2 × 3 3 × 4 n(n + 1)

n

祝愿同学们学业有成,前途似锦! 祝愿同学们学业有成,前途似锦!



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