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高考数学复习专题-三角函数和解三角形(经典教案)



三角函数和解三角形
【知识导读】 弧长与扇形 面积公式 角度制与 弧度制 三角函数的 图象和性质 任意角的 三角函数 差 角 公 式 几个三角 恒等式 任意角 的概念 和 角 公 式 倍 角 公 式 诱 导 公 式 同角三角函 数关系 解斜三角形 及其应用

化简、 计算、 求值 与证明

正弦定理与 余弦定理 【方法点拨】

/>
三角函数是一种重要的初等函数,它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的 联系,同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法” .这一部分的内容,具有以下几个特 点: 1.公式繁杂.公式虽多,但公式间的联系非常密切,规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系, 是记住这些公式的关键. 2.思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终,类比的思维方 法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题, 将不同 名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等. 3.变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表 达形式的变换及一些常量的变换等,并且有的变换技巧性较强. 4.应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多,它是解决立体几何、解析几何及向量 问题的重要工具,并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用,比如在物理学、天文学、 测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.

第 1 课 三角函数的概念
【考点导读】 1. 理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算. 角的概念推广后,有正角、负角和零角;与 ? 终边相同的角连同角 ? 本身,可构成一个集合

1

S ? ? ? ? ? ? k ? 360 ? , k ? Z ;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧度的角,熟练掌握角
度与弧度的互换,能运用弧长公式 l ? ? r 及扇形的面积公式 S = 2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,在角的 终边上任取一点 P( x, y ) (不同于坐标原点) ,设 OP ? r ( r ? 定义为: sin ? ?

?

?

1 lr ( l 为弧长)解决问题. 2

x 2 ? y 2 ? 0 ) ? 的三个三角函数值 ,则

y x y , cos ? ? , tan ? ? . r r x

从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为 R;正切函数的定义域 为 {? | ? ? R, ? ? k? ?

?
2

, k ? Z} .

3. 掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值. 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全为正值) ,二 正弦(第二象限内只有正弦值为正) ,三切(第三象限只有正切值为正) ,四余弦(第四象限内只有余弦 值为正) .另外,熟记 0 、

? ? ? ? 、 、 、 的三角函数值,对快速、准确地运算很有好处. 6 4 3 2

4. 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念. 在平面直角坐标系中,正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线,并能运用正弦线、余弦线和 正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题.

基础自测 1. ?885 化成 2k? ? ? (0 ? ? ? 2? , k ? Z ) 的形式是
?

. .

2.已知 ? 为第三象限角,则

? 所在的象限是 2

3.已知角 ? 的终边过点 P(?5,12) ,则 cos? = 4.

, tan ? =



tan(?3)sin 5 的符号为 cos8



5.已知角 ? 的终边上一点 P(a, ?1) ( a ? 0 ) ,且 tan? ? ?a ,求 sin ? , cos? 的值.

【范例解析】 例 1.(1)已知角 ? 的终边经过一点 P(4a, ?3a)(a ? 0) ,求 2sin ? ? cos ? 的值; (2)已知角 ? 的终边在一条直线 y ?

3 x 上,求 sin ? , tan ? 的值.

例 2.(1)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 在第_____________象限.

2

(2)若角 ? 是第二象限角,则 sin 2? , cos 2? , sin

?
2

, cos

?
2

, tan

?
2

中能确定是正值的有____个.

例 3. 一扇形的周长为 20cm , 当扇形的圆心角 ? 等于多少时, 这个扇形的面积最大?最大面积是多少? 分析:选取变量,建立目标函数求最值.

作业
1.若 sin ? ? cos? 且 sin ? ? cos? ? 0 则 ? 在第_______象限. 2.已知 ? ? 6 ,则点 A(sin ? , tan ? ) 在第________象限. 3.已知角 ? 是第二象限,且 P(m, 5) 为其终边上一点,若 cos ? ? 4.将时钟的分针拨快 30min ,则时针转过的弧度为 5.若 4? ? ? ? 6? ,且 ? 与 ? . .

2 m ,则 m 的值为_______. 4

2? 终边相同,则 ? = 3

6.已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2,则这个圆心角所对的弧长是_______,这个圆心角所在的扇形的 面积是___________. 7. (1)已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形中心角是 1 弧度,求该扇形面积. (2)若扇形的面积为 8 cm ,当扇形的中心角 ? (? ? 0) 为多少弧度时,该扇形周长最小.
2

第 2 课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】 1.理解同角三角函数的基本关系式;同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系. 2.掌握正弦,余弦的诱导公式;诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律,起着变名,变 号,变角等作用. 【基础练习】 1. tan600°=______.

3

2. 已知 ? 是第四象限角, tan ? ? ?

5 ,则 sin ? ? ______. 12

3.已知 cos ?

3 ? ?? ? ?? ? ? ,且 ? ? ,则tan ? =______. 2 ?2 ? 2

4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=_____.

【范例解析】 例 1.已知 cos(? ? ? ) ?

8 ,求 sin(? ? 5? ) , tan(3? ? ? ) 的值. 17

例 2.已知 ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

1 ,求 tan ? 的值. 5

作业
1.已知 sin ? ? 2. n “s i

5 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为_____. 5

A?

1 ”是“A=30? ”的_____________条件. 2

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 x 的取值范围是__________ 4.已知 sin ? ? cos ? ? 5. (1)已知 cos ? ? ? (2)已知 sin( x ?

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4



2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 1 ? ,且 ? ? ? ? 0 ,求 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) 3 2

?
6

)?

1 5? ? ,求 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值. 4 6 3

6.已知 tan ? ? ?

4 ,求 3

4

6sin ? ? cos ? 的值; 3sin ? ? 2cos ? 1 (II) 的值. 2sin ? cos ? ? cos 2 ?
(I)

第 3 课 两角和与差及倍角公式(一)
【考点导读】 1.掌握两角和与差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系; 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换; 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角, 函数名称及次数三方面的差异及联系, 然后通过 “角变换” , “名称变换”“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系; , 4.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简,左右归一, 变更命题等方法将等式两端的“异”化“同” . 【基础练习】 1. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ___________.
? ? ? ?

2. 化简 2 cos x ? 6 sin x ? _____________. 3. 若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=___________ . 4.化简:

sin ? ? sin 2? ? ___________ . 1 ? cos ? ? cos 2?

【范例解析】

1 2 ; 例 .化简: (1) ? 2 ? 2 tan( ? x) sin ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

(1 ? sin ? ? cos ? )(sin
(2)

?

2 ? 2 cos ?

? cos ) 2 2 (0 ? ? ? ? ) .

?

作业
5

2sin 2? cos 2 ? 1.化简 . ? ? 1 ? cos 2? cos 2? ________________
2.若 sin x ? tan x ? 0 ,化简 1 ? cos 2x ? _________.

? ,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b,则 a 与 b 的大小关系是_________. 4 ? 4.若 sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? ) ,则 ? 的取值范围是___________. 2
3.若 0<α<β< 5.已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan ? = .

6.化简:

2 tan( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) 4 4

?

2 cos 2 ? ? 1

?



7.求证: sin 2 x ? 2cos x cos 2 x ? 2cos x .
2 2 2

8.化简: sin ? ? sin ? ? 2sin ? sin ? cos(? ? ? ) .
2 2

第 4 课 两角和与差及倍角公式(二)
【考点导读】 1.能熟练运用两角和与差公式,二倍角公式求三角函数值; 2.三角函数求值类型: “给角求值”“给值求值”“给值求角” . , , 【基础练习】 1.写出下列各式的值: (1) 2sin15? cos15? ? _________; (3) 2sin 15? ? 1 ? _________;
2

(2) cos 15? ? sin 15? ? _________;
2 2

(4) sin 15? ? cos 15? ? _________.
2 2

6

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) =_________. 2 5 4 1 ? tan15? ? 5? 3.求值: (1) (2) cos cos ? _______; ? _________. 1 ? tan15? 12 12 4.求值: tan10?? tan 20? ? 3(tan10? ? tan 20?) ? ________.
2.已知 ? ? ( 5.已知 tan

?

?
2

? 3 ,则 cos? ? ________.

1 cos 2? 2 2 6.若 ,则 cos ? ? sin ? ? _________. ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
【范例解析】 例 1.求值: (1) sin 40?(tan10? ? 3) ;

(2)

2sin 50? ? sin 80?(1 ? 3 tan10?) . 1 ? cos10?

例 2.设 cos(? ? ? ) ? ?

4 12 ? 3? , cos(? ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? ? ? ( , 2? ) ,求 cos 2 , ? 5 13 2 2

cos 2? .

例 3.若 cos(

?
4

? x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x 3 17? 7? , ,求 的值. ?x? 1 ? tan x 5 12 4

作业
7

3 ? ,则 2 cos( ? ) =__________. ? 2 5 4 4 ? ? ? 3 2.已知 tan =2,则 tanα 的值为_______,tan (? ? ) 的值为___________ . 4 2
1.设 ? ? (0,

?

) ,若 sin ? ?

3.若 sin?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =___________. ?6 ? 3 ? 3 ?


1 3 , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? tan ? ? 5 5 1 1 5.求值: ? ? _________. sin 20? tan 40?
4.若 cos(? ? ? ) ? 6.已知 cos? ? ?

? ?

??

3 ? 3? ?? ? .求 cos? 2? ? ? 的值 ? ? , ?? ? 4? 5 2 2 4? ?

王新敞
奎屯

新疆

第 5 课 三角函数的图像和性质(一)
【考点导读】 1.能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像,借助图像理解正弦函数,余弦函数在 [0, 2? ] ,正切函 数在 (?

? ?

, ) 上的性质; 2 2

2.了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义,能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像; 3.了解函数的周期性,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 1. 已知简 谐运 动 f ( x) ? 2sin(

?
3

x ? ? )( ? ?

?
2

) 的图 象经 过点 (0 , 1) ,则该 简谐 运动的 最小 正周期

T ? _________;初相 ? ? __________.

? -x)=1 的解集为_______________________. 2 ? 3. 函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ? , x ? R) 的部分图象如图 2
2. 三角方程 2sin( 所示,则函数表达式为 ______________________. 第3题

8

4. 要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? 【范例解析】 例 1.已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) .

? ?

?? ? 的图象向右平移__________个单位. ??

(Ⅰ)用五点法画出函数在区间 ? ? ? , ? ? 上的图象,长度为一个周期; ? 2 2? ? ? (Ⅱ)说明 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) 的图像可由 y ? sin x 的图像经过怎样变换而得到.

例 2.已知正弦函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图像如图所示. (1)求此函数的解析式 f1 ( x ) ; (2)求与 f1 ( x ) 图像关于直线 x ? 8 对称的曲线的解析式 f 2 ( x) ; (3)作出函数 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的图像的简图. y x=8

2
-2 O 2 x

作业
x ? 1.为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x , x ? R 的图像上所有的点 3 6 ? 1 ①向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 6 3 ? 1 ②向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 6 3

9

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ; 6 ? ④向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) . 6 其中,正确的序号有___________.
③向左平移 2.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移____个单位长度. ? )的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 , 2

3.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ?R (其中 ? ? 0 , ? ? 则 ? ? ______; ? ? __________.

4.在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为____________________.

5.下列函数: ① y ? sin ? x ?

? ?

??

?; 6?

② y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?; 6?

③ y ? cos ? 4 x ?

? ?

??

?; 3?

④ y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?
第5题

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有__________.

6.如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式.

第6题 7.如图,函数 y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数 0 的最小正周期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π 2

(2)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, 0

?π ?2

? ?

y
3

P

当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

O

A

x

第7题

10

第 6 课 三角函数的图像和性质(二)
【考点导读】 1.理解三角函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的性质,进一步学会研究形如函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质; 2.在解题中体现化归的数学思想方法,利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究. 【基础练习】 1.写出下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ?

sin

x 的定义域是______________________________; 3

sin 2 x 的定义域是____________________. cos x
2

2.函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________. 3.函数 (x) sin(x ? f ? 4. 函数 y=sin(2x+

?

? )的图象关于点_______________对称. 3 ? ? 5. 已知函数 y ? tan ? x 在(- , )内是减函数,则 ? 的取值范围是______________. 2 2
【范例解析】 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ?

的最小正周期是_______. ) sin(x ? ) ? 2 4 4

?

sin x (2) y ? 2 ? log 1 x ? tan x . ? 2sin x ? 1 ; tan x 2

例 2.求下列函数的单调减区间: (1) y ? sin(

?
3

? 2 x) ;

(2) y ?

2 cos x ; ? x sin( ? ) 4 2

11

例 3.求下列函数的最小正周期: (1) y ? 5 tan(2 x ? 1) ; (2) y ? sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? . 3? ? 2?

作业
1.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为 _____________.
4 2

2.设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R ) ,则 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调递减区间为___________________. 3?

3.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[ ??,0]) 的单调递增区间是________________. 4.设函数 f ( x) ? sin 3x? | sin 3x | ,则 f ( x) 的最小正周期为_______________. 5.函数 f ( x) ? cos x ? 2cos
2 2

x 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是_______________. 2

π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 6.已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ?

3 ,求 f (? ) . 5

7. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像

?
8



王新敞
奎屯

新疆

12

第 7 课 三角函数的值域与最值
【考点导读】 1.掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题; 2.求三角函数值域与最值的常用方法: (1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有界性或单调 性求解; (2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像法求解; (3)借助直线 的斜率的关系用数形结合求解; (4)换元法. 【基础练习】 1.函数 y ? sin x ?

3 cos x 在区间 [0, ] 上的最小值为 2 1 2.函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2
3.函数 y ? tan( 4.当 0 ? x ?

?

. .

?

2

? x) (?

?

4

?x?

?

4

且 x ? 0) 的值域是___________________.

?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值为 sin 2 x



【范例解析】 例 1.(1)已知 sin x ? sin y ?

1 2 ,求 sin y ? cos x 的最大值与最小值. 3

(2)求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值.

例 2.已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

13

【反馈演练】 1.函数 y ? 2 sin( 2.当 0 ? x ? 3.函数 y ?

?

? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值等于___________. 3 6
cos 2 x 的最小值是______ _______. cos x sin x ? sin 2 x

?

?
4

时,函数 f ( x) ?

sin x 的最大值为_______,最小值为________. cos x ? 2
.

4.函数 y ? cos x ? tan x 的值域为

5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于_________. , ? 3 4? ?

6.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R . , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

第8课 解三角形
【考点导读】 1.掌握正弦定理,余弦定理,并能运用正弦定理,余弦定理解斜三角形; 2.解三角形的基本途径:根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理,然后通过化边为角或化角为边, 实施边和角互化. 【基础练习】 1.在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= .

2.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5: 7 :8 ,则 ?B 的大小是______________. 3.在 △ABC 中,若 tan A ?

1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3



14

【范例解析】 例1. 在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,已知 a ? c ? 20 , C ? 2 A , cos A ? (1)求

3 . 4

c 的值; (2)求 b 的值. a

例 2.在三角形 ABC 中,已知 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) ,试判断该三角形的形状.
2 2 2 2

例 3.如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明: sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? . β B 例4 D C A α

15

作业
1.在 ?ABC 中, AB ?

3, A ? 45 0 , C ? 75 0 , 则 BC =_____________.

2. ABC 的内角∠A, ∠B, 的对边分别为 a, c, a, c 成等比数列, c ? 2a , c ∠C b, 若 b, 且 则o ? s 3.在 ?ABC 中,若 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,则 ?ABC 的形状是_______三角形.
2

B ? _____.

2 ,则 sin A ? cos A = 3 4 5.在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5
4.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?



? ?

?? ? 的值. 6?

6.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

7.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

16

第 9 课 解三角形的应用
【考点导读】 1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题,深化对三角公式和基础知识的理解,进一步提高三 角变换的能力. 【基础练习】 1.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为_________ m . 2.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好 3 km,那么 x 的值为_______________ km. 3.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km.

4.如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 B,D,已知 ?ABD 为边长等于 a 的正三角形,当目 标出现于 C 时,测得 ?BDC ? 45 , ?CBD ? 75 ,求炮击目标的距离 AC
? ?

C

D

B

A 第4题 【范例解析】 例 .如图, 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航 北 行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相 距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 分析:读懂题意,正确构造三角形,结合正弦定理或余弦定理求解.
? ?

120?
B2

A2

105?
甲 例 1(1)

A1

B1


17

作业
1.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45? 和 30? ,而且两条船与炮台 底部连线成 30? 角,则两条船相距____________m. 2.有一长为 1km 的斜坡,它的倾斜角为 20? ,现要将倾斜角改为 10? ,则坡底要伸长_______km. 3.某船上的人开始看见灯塔在南偏东 30? 方向,后来船沿南偏东 60? 方向航行 45 海里后,看见灯塔在 正西方向,则此时船与灯塔的距离是__________海里. 4.把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ,且 ?ABC ? 120? , 则第三条边 AC 的最小值是____________cm. 5.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是该港口某一 天 从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin ( )

?

?

6

t , t ? [0,24] t , t ? [0,24]

B. y ? 12 ? 3 sin( t ? ? ), t ? [0,24]

?

6

12

D. y ? 12 ? 3 sin(

t ? ), t[0,24] 12 2

?

?

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