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分段函数及映射



第2课时

分段函数及映射

1.通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解决 实际问题中的应用; 2.了解映射的概念及表示方法;

3.会判断一个对应关系是否是映射;
4.体会由特殊到一般的思维方法,理解函数是一种特殊 的映射.
2

1.你能画出函数 y? x

的图象吗? 在它的定义域中, 对于自变量的不同 取值范围,对应关 系不同。

?x y?? ?? x
y

x ? 0, x ? 0.

5 4 3 2 1

-3 -2 -1 0

1

2

3

x
3

探究点1 分段函数
所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分, 有不同的对应关系的函数. 注意 (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各 段 值域的并集.
4

练习: 以下叙述正确的有( C )

(1)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段
值域的并集. (2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系,但

它是一个函数.
(3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值 域,则D1∩D2 ≠φ 也能成立. (4)若D1 、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的定义 域,则D1∩D2 ≠φ 也能成立.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个
5

1.求分段函数的函数值:
x+2, (x≤-1); 例1 已知函数f(x)= x2, (-1<x<2); 2x, (x≥2).

?1? (1)求 f ? 3? ,f ? ? ,f ? ?5 ? 的值; ?2? (2)若f(x)=3,求x的值.

1? 1 解:(1)f ? 3? ? 6,f ? ? ? ? ,f ? ?5? ? ?3 ?2? 4 (2)x ? 3
6

2.画分段函数的图象 ? x 2 ? 4x ? 4, ? x ? 2 ? ? y ? ? x 例2 画出函数 图像. ? 1, x ? 2 ? ? ? ? 2

y

y ? x 2 ? 4x ? 4

x
x y? ?1 2

O

2

7

3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:

(1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里 的按5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价 与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

8

解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量x 的取值范围是(0,20] 由“招手即停”公共汽车票价的制定规定,可得到以下 y 函数解析式: 5 ○ 2, 0<x ≤ 5 4 3, 5 < x ≤ 10 ○ y= 4, 10 < x ≤ 15 3 ○ 5, 15 < x≤20 2○ 根据这个函数解析式, 1 可画出函数图象, 如右图:

0

5

10 15 20
9

x

?x ? 3 1.已知 f ( x) ? ? ? f [ f ( x ? 4)]

( x ? 9) ( x ? 9)

求 f ?15 ? , f ? 7 ? 的值. 解: f ?15 ? ? 12,f ? 7 ? ? 6

10

v/cm·s-1 2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30 是时间t的函数,它的图象如右图, 用解析式表示出这个函数. t+10, (0 ≤ t<5) 10 30 t/s

解:v(t)=

3t,(5 ≤ t<10) 30,(10 ≤t <20)

O

10

20

-3t+90,(20 ≤ t≤30)

11

探究点2 映射
观察下列对应 (1)开平方 3 -3 2 -2 1 -1 (2)求正弦

9

30? 45? 60? 90?

4
1

1 2 2 2 3 2 1

12

映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合

B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B
为从集合A到集合B的一个映射。 注意 若对应f:A→B 是映射,必须满足两个条件: (1)A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。

(2)A在B中所对应的元素是唯一的 。 不一定有 (3)B中的某元素在A中一定有元素与之对应吗? 思考: (4)若B中某元素在A中有元素与之对应,可以有几个? 一个或多个
13

例4

以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?

(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; 是 (2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B= {(x,y) | x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应;是 (3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应

关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;是
(4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新 华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的

学生. 不是
14

1.判断下列对应是否为映射?

a b c

e
f

a b

e

a
b c

e f

f
g

c
d 不是

g
d

g





15

2.设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图中,能表示f:A→B 的函数( D ). y 2 A 2 y B

0 2

x
y 2 C x

0 2

y

2 D

x

0

2

0

2

x
16

3.判断下列对应是不是从A到B的映射:
(1)A=N,B=N*,f:x→|x-2|;
1 (2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},f:x→y= x; 2 (3)A={x|x≥3,x∈N},B={a|a≥0,a∈Z},

f:x→a= x 2 ? 2x ? 4 ;

解:(1)集合A中的元素2在对应关系下B中没有元素与
之对应,故不是映射. (2)A中元素6在对应关系下B中没有元素与之对应,故

不是映射.
(3)是映射.
17

思 考

你能说出函数与映射之间的异同吗?

(1)函数是特殊的映射,映射不一定是函数,映射是函数 的推广; (2)函数是非空数集A到非空数集B的映射,而对于映射,

A和B不一定是数集。

18

回顾本节课你有什么收获
图像 解析式

分段函数的概念
映射的 概念 核心概念 分段函数 的函数值
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