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2012届高三数学复习课件(广东文)第1章第1节


考纲要求 ①了解集合、全集、空集的含义及元 素与集合的“属于”关系.②理解集 合之间包含与相等的含义,理解集合 交、并、补的含义.③会求并集、交 集、补集,能识别子集,能用自然语 言、图形语言、集合语言描述问题, 能用韦恩图表达集合的关系及运 算 . ④ 了 解 逻 辑 联 结 词 “或”“且”“非”的含义.⑤理解 充分条件、必要条件、充要条件的意 义.⑥理解全称量词与存在量词的意 义,能正确地对含有一个量词的命题 进行否定.

高考展望

1. 以 考 查集 合 的运 算 为 主,以命题的真假判断 为切入点,注重知识的 相关性和逻辑性. 2. 在试 题 立意 上 会 选择 不等式、函数和方程进 行知识的包装,来考查 学生最常用的“数形结 合”“分类讨论”等基 本的数学思想和方法.

1.已知a ∈ {?1,a ,1},则实数a的值为( B A. ? 1 B.0 C.1 D. ? 1或0或1
2

)

解析:根据集合的元素的互异性,知a ≠ ±1,于是, 由a=a 2,得a=0.

={x | x=a b,a ∈ A,b ∈ A},则集合B=( C ) A. {0,1} B. {0,1, 4} C. {0,1, 2, 4}

  2.已知集合A={0,1, 2}.定义集合运算B=A ⊕ A D. {0,1, 2}

解析:当a或b为0时,∈ B;又a b可以为1、、,故选C. 0 24

3.已知集合M={x | y= x },N={ y | y=2 x-1}, 则集合M I N=( C ) A.? C.{x | x ≥ 0} B.{(1,1)}

D.{x | x ≥ -1}

解析:集合M 的元素为x,所以M={x | x ≥ 0};集合N 的元素为y,所以N={ y | y ≥ -1}.因为它们都是数集, 所以M I N=M ,故选C.

4.有如下集合: ①{ y | y ≥ 1}; ②{ y | y=x +1,x ∈ R};
2

③{x | y= x ? 1}; ④{x | ( x 2+x+1)3 ( x-1) ≥ 0}. 这些集合中,与集合{x | x ≥ 1}相等的集合 ①②③④  有  .

解析: ①为数集[1,+∞),显然符合要求. ②表示的是函数y=x 2 +1的值域,显然为数集[1,+∞); ③表示的是函数y= x ? 1的定义域,也是数集[1,+∞); ④表示不等式( x 2 +x+1)3 ( x-1) ≥ 0的解集. 1 2 33 由于( x +x+1) =[( x+ ) + ] > 0, 2 4 故不等式可等价转化为x-1 ≥ 0,
2 3

显然其解集也是[1,+∞). 故本题答案为①②③④.

5.对任意两个正整数m与n,定义某种运算 ⊕ : ( m与n同为奇数或者同为偶数 ) ?m + n , m ⊕ n= ? ( m与n一个为奇数,一个为偶数 ) ?mn 则集合P={(a,b) | a ⊕ b=8,其中a,b ∈ N*}中 元素的个数为  9   .
解析:当m与n同为奇数或同为偶数时, m ⊕ n=m+n=1+7=2+6=3+5=4+4; 当m与n一个为奇数,一个为偶数时, m ⊕ n=mn=1× 8. 由于(a,b)有序,故集合P中共有元素4 × 2+1=9(个).

集合元素的特征

b 例题1:设a、b ∈ R,A={1,a+b,a},B={0, ,b}. a 若A=B,求a、b的值.

解析:因为相等集合的元素完全相同, 又a ≠ 0,所以a+b ≠ b,所以a +b=0, b 则a=-b,故 =-1,所以a=-1,从而b=1. a 所以符合题意的a、b的值为a=-1、b=1.

反思小结: 本题考查集合相等的概念和集合中元素 的互异性特征.对于含有参数的元素的集合的相等 问题,除了对元素之间的正确分类外,还要注意元 素的互异性特点.一般来讲,首先考虑元素间的分 类,来求出元素可能的取值,再采取排除法确定元 素的值.

拓展练习:已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}. 若1∈A,求实数a的值. 解析:若a+2=1,则a=-1; 若(a+1)2=1,则a=-2或0; 若a2+3a+3=1,则a=-2或-1. 当a=-1或-2时,不符合题意,所以a=0.

集合间的基本关系

例题2:已知集合M={x|x>1},N={x|ax>1}.若 求实数a的取值范围.

N?M,

解析: 解析:集合N 表示不等式ax > 1的解集. 由于a ∈ R,所以集合N 是不确定的集合. 又N ? M ,所以首先应考虑N=?的情况, 然后讨论N ≠ ?时,a的取值范围.

(1)当N=?时,易知a=0; ( 2 )当N ≠ ?时,
1 1 ①若a > 0,则N={x | x > }.由N ? M ,有 ≥ 1, a a 解得0 < a ≤ 1; 1 ②若a < 0,则N={x | x < },此时不可能有N ? M 成立. a 综上,实数a的取值范围为[ 0,1].

反思小结:对于以含参不等式的解为元素的集合, 也是不确定的集合,需要对参数进行分类处理.分 类讨论的一般程序为:①依题目信息确定分类标准; ②在这个标准下合理分类;③逐类讨论;④综合求 解.在这类集合问题中,如果不确定的集合是某集 合的子集,应当先考虑空集的情况,如果不确定的 集合包含一个非空集合,显然不需要考虑空集.本 题中,若把N?M换成N?M,则考虑空集就没有必 要了.

x?a 拓展练习:记关于x的不等式 < 0的解集为P,不等 x +1 式 | x-1|≤ 1的解集为Q.

(1) 若P ? Q,求实数a的取值; ( 2 ) 若Q ? P,求实数a的取值范围.

解析:

(1) 集合Q={x | 0 ≤ x ≤ 2}.
因为P ? Q,只有当P为空集时成立,所以a=-1.

( 2 )当a > -1时,集合P={x | -1 < x < a}.
由于Q ? P,所以a > 2(等号不成立); 当a < -1时,集合P={x | a < x < -1},不合题意. 所以,当Q ? P时,a ∈ (2,+∞).

集合的基本运算

例题3:设集合A={x | x 2-3x+2=0}, B={x | x 2+2(a+1) x+(a 2-5)=0}.

(1) 若A I B={2},求实数a的值; ( 2 ) 若A U B=A,求实数a的取值范围; ( 3) 若U=R,A I (?U B)=A,求实数a的取值范围.

解析:A={x | x 2-3x+2=0}={1, 2}. 1)因为A I B={2},所以2 ∈ B,故a 2+4a+3=0, ( 解得a=-1或a=-3. 当a=-1时,B={-2, 2},满足条件; 当a=-3时,B={2},满足条件. 综上,a=-1或-3;

( 2 ) 对于集合B,?=4(a+1)2-4(a 2-5)=8(a+3).
因为A U B=A,所以B ? A. ①当?<0,即a<-3时,B=?,满足条件; ②当?=0,即a=-3时,B={2},满足条件;

③当?>0,即a>-3时,B=A={1, 2} 才能满足条件, 2 ?1 + 2 = ?(a + 1) 由根与系数的关系得 ? , 2 ?1× 2 = a ? 5 5 ? ?a = ? 即? 2 ,矛盾. ?a 2 = 7 ? 综上,实数a的取值范围是(-∞,-3].

( 3)因为A I (痧B)=A,所以A ? U B,所以A I B=?. U ①若B=?,则由( 2 ) 知a<-3; ②若B ≠ ?,则由( 2 ) 知,当a=-3时,B={2},不合题意;
当a>-3时,需1? B且2 ? B, ?a ≠ ?1 ± 3 ? a 2 + 2a ? 2 ≠ 0 ? 故? 2 ,即 ? . ?a ≠ ?1且a ≠ ?3 ? a + 4a + 3 ≠ 0 ? 综上,实数a的取值范围是 (-∞,-3) U (-3,-1- 3) U (-1- 3,-1) U(-1,-1+ 3) U (-1+ 3,+∞).

反思小结: 解决含参数的集合运算问题,需要理清 题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类 讨论、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊 集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导 致错解.

拓展练习:已知集合A={x | x -6x+8<0},
2

B={x | ( x-a)( x-3a )<0}.

(1) 若A ? B,求实数a的取值范围; ( 2 ) 若A I B=?,求实数a的取值范围; ( 3) 若A I B={x | 3<x<4},求实数a的取值范围.

(1) 若A ? B,则当a=0时,B=?,不成立;

解析: ={x | x 2 -6x+8<0}={x | 2<x<4}= ( 2, 4 ). A

?a ≤ 2 4 当a>0时,B=(a,3a ),应有 ? ,得 ≤ a ≤ 2; 3 ?3a ≥ 4 ?3a ≤ 2 当a<0时,B=(3a,a ),应有 ? ,得a ∈ ?. ?a ≥ 4 4 综上,实数a的取值范围是[ ,. 2] 3

( 2 ) 要满足A I B=?,
当a=0时,B=?,满足条件; 当a>0时,B=(a,3a ),应有a ≥ 4或3a ≤ 2, 2 所以0<a ≤ 或a ≥ 4; 3 当a<0时,B=(3a,a ),应有a ≤ 2或3a ≥ 4, 所以a<0. 2 综上,实数a的取值范围是(-∞, ] U [4,+∞). 3 ( 3) 要满足A I B={x | 3<x<4},显然a=3.

集合的应用

例题4:向50名学生调查对A、B两事件的态度, 有如下结果:赞成A的人数是总人数的五分之 三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人, 其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生 人数比对A、B都赞成的学生人数的三分之一多 1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生 各有多少人?

解析:画出韦恩图直观地表示出 各个数量关系: 3 赞成A的学生人数为50 × =30, 5 则赞成B的学生人数为30+3=33. 如右图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件 A的学生全体为集合A,赞成事件B的学生全体为 集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则 x 对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不 3 赞成B的学生人数为30-x,赞成B而不赞成A的学 生人数为33-x.

x 依题意, -x)+(33-x)+x+( +1)=50, (30 3 x 解得x=21,故 +1=8. 3 所以对A、B都赞成的学生有21人,都不赞成的有8人.

反思小结:在解决集合问题时,常常需采用数形结 合思想,如韦恩图常用来解决有关有限集的问题; 数轴常用来解决几个数集取交集或并集的问题;而 平面直角坐标系,则常用来解决与点集有关的问 题.在用韦恩图解决有关集合的元素个数的应用题 时,常将题中的各个集合分割成互不“重叠”的区 域,并根据题中条件将各区域所含元素个数标出, 元素个数不知道的区域(尤其是各集合的公共区域) 用未知数表示(注意,引入的未知数要尽可能少), 然后依题意列方程求解.

拓展练习:开运动会时,高一某班共有28名同学 参加比赛.其中有15人参加游泳比赛,有8人参加 田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳 和田径比赛的有3人,同时参加游泳和球类比赛 的也有3人,没有人同时参加三项比赛.问同时 参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳 一项比赛的有多少人?

解析: 设同时参加田径和球类比赛 的为x人.因同时参加这三项比赛 的为0人,根据题设条件,易得到 各互不“重叠”的区域中的元素个数如右图所示. 又参加这三项比赛的共有28人, 从而9+3+3+0+(5-x)+x+(11-x)=28,解得x=3. 所以,同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游 泳一项比赛的有9人.

本节内容主要从两方面考查,一是对集合思想的认识 和理解水平,即集合的表示法,元素与集合、集合与 集合的关系,集合中的元素及其所具有的性质,集合 元素的“确定性”“互异性”“无序性”;二是考查集合的 运算能力,包括使用数学语言的能力,使用数形结合、 分类讨论思想解决问题的能力.

(1) 集合元素的互异性
对于4 ? {1,a,a 2 },根据元素的互异性有a ≠ 0,a ≠ ±1. 又a ≠ 4,a 2 ≠ 4,从而可确定a的取值范围为{a ∈ R | a ≠ ±1, 0, ±2, 4}.

( 2 ) 集合的元素是什么对于A={x 2-x=0},B={x | x 2-x=0},
C={x | y=x 2-x},D={ y | y=x 2-x},E={( x,y ) | y=x 2-x}, 分别有:A是单元素集,方程x 2-x=0就是该集合的唯一元素; B是方程x 2-x=0的解集,所以B={0,1};C、D分别表示函数 1 y=x -x的定义域、值域,故C=R,D={ y | y ≥ - }; 4 E为函数y=x 2-x的图象上的所有的点组成的集合.
2

( 3) 集合与集合的关系中,不要忘了空集
对于A={x | 3x 2-2x-1=0},B={x | ax-1=0},若B ? A, 求实数a的值.当你求出了a=-3或1时,不要忘了B=? 时,还有a=0. 在集合知识的应用中,一方面要熟练掌握集合的概念和 集合运算的基本性质,另一方面还应掌握研究集合问题 的基本思想方法.

(1) 数形结合
认清集合的特征,准确地将其转化为图形关系,借助于 图形的分析,能使问题得到直观具体的解决,这就是数 形结合的思想.

①数轴的应用:如A={x | x > -1},B={ x | x < a}, 求A I B时,利用数轴易知:) a ≤ -1,则A I B=?; ⅰ若 ( 若a > -1,则A I B=(-1,a); ②转化为几何图形:如A={( x,y ) | y ≤ x},B={( x,y ) | x 2 +( y-a ) 2 ≤ 2}.若B ? A,求实数a的取值范围时,将其 转化为平面区域图形.易知集合A表示直线y=x下方的区 域(含边界),集合B表示圆心在(0,a ),半径为 2的圆面

(含边界).由B ? A,得a < 0.又圆心到直线y=x的距离不 |0?a| 小于 2,即 ≥ 2,所以a ≤ -2; 2 ③运用Venn图.

( 2 ) 分类讨论
当集合的元素含有参数时,需要根据题意对参数进行分 类讨论.

1.(2010 北京卷)集合P={x ∈ Z | 0 ≤ x < 3},M={x ∈ Z | x 2 ≤ 9},   则P I M=(    ) A. 2} {1, B.{0,1, 2} C. 2,3} {1, D.0,1, 2,3} {

所以P I M={0,1, 2}.答案:B

解析:因为集合P={0,1, 2},集合M={-3,-2,-1, 0,1, 2,3},

x2 y 2 2.(2010 湖北卷)设集合A={( x,y ) | + =1}, 4 16 B={( x,y ) | y=3x },则A I B的子集的个数是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析:两个集合均为点集,画出图象,可以发现 两曲线仅有两个交点.因此,A I B仅有两个元素,
故其子集个数为22=4.答案:A

  3.(2010 四川卷)设S为实数集R的非空子集.若对任意 x,y ∈ S,都有x+y,x-y,xy ∈ S,则称S为封闭集. 下列命题: ①集合S={a+b 3 | a,b为整数}为封闭集; ②若S为封闭集,则一定有0 ∈ S; ③封闭集一定是无限集; ④若S为封闭集,则满足S ? T ? R的任意集合T 也是封闭集. 其中的真命题是 ________ . (写出所有真命题的序号)

解析:①正确,任取x=a1+b1 x-y=(a1-a2 )+(b1-b2 ) 3 ∈ S,

3,y=a2+b2

3,

则x+y=(a1+a2 )+(b1+b2 ) 3 ∈ S, xy=(a1a2+3b1b2 )+(a2b1+a1b2 ) 3 ∈ S, 所以集合S为封闭集. ②正确.因为S 是封闭集,取x=y ∈ S,则x-y=0 ∈ S; ③错误.因为封闭集也可以是有限集,如S={0}. 取x=y=0,则x+y=x-y=xy=0 ∈ S,故S 是封闭集. ④错误.取S={0},T={0,1},显然满足S是封闭集 且S ? T .任取x=0,y=1,则x-y=-1 ? T,所以T 不 是封闭集.答案:①②

选题感悟:高考试题中,集合内容最常考的三种类型为: 1.考查集合元素的基本特征,集合间的关系与运算; 2.以集合为载体考查方程、不等式及函数的有关知识,并 因含参而涉及分类讨论; 3.定义集合的某种新运算,考查学生学习新知识的能力.


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