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第九节 函数模型及应用



考纲要求: 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直 线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1.几类常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型(a,b,c 为常数, a≠0) 函数解析式 f(x)=ax+b(a、

b 为常数,a≠0) k f(x)=x+b(k,b 为常数且 k≠0) f(x)=ax2+bx+c 指数函数模型(a,b,c 为常数, b≠0,a>0 且 a≠1) 对数函数模型(a,b,c 为常数, b≠0,a>0 且 a≠1) 幂函数模型 f(x)=bax+c f(x)=blogax+c f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0) 2.三种基本初等函数模型的性质 函数性质 在(0,+∞)上 的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 y=ax(a>1) 单调 递增 越来越快 y=logax(a>1) 单调递增 越来越慢 y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳 随 x 的增大,逐渐 随 x 的增大,逐渐 随 n 值变化而各有 表现为与 y 轴 平行 表现为与 x 轴 平行 不同 存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax [自我查验] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y= 2x 的函数值在 (0,+∞) 上一定比 y = x2 的函数值 大.( ) (2)在(0,+∞)上,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超 过并远远大于 y=xα(α>0)的增长速度.( ) (3)“指数爆炸”是指数型函数 y=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增 长速度越来越快的形象比喻.( ) (4)幂函数增长比直线增长更快.( ) (5)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较 大的实际问题中.( 答案:(1)× ) (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组 实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些 数据的规律,其中最接近的一个是( ) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y=2x 1 2 C.y= (x -1) 2 B.y=log2x D.y=2.61cos x 答案:B 3.某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y=alog3(x+ 1),设这种动物第 2 年有 100 只,则到第 8 年它们发展到的只数 为________. 答案:200 [典题 1] 为了保护环境, 发展低碳经济, 某单位在国家科 研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳 转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少 为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨) 1 2 之间的函数关系可近似地表示为:y= x -200x+80 000,且 2 每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元.则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果 不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? [听前试做] 设该单位每月获利为 S, 则 ?1 S=100x-y=100x-?2x2-200x+80 ? ? 000? ? 1 2 =- x +300x-80 00


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