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数序的扩充与复数



高二数学

第十六讲
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数序的扩充与复数
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【学习目标】1、掌握复数的定义及有关概念
2、理解复数的模长并学会运用 3、掌握复数的四则运算

【知识要点】
1、虚数:(1)它的平方等于 ? 1,即i 2 ? ?1.

i 的周期性: i 4 n ? 1 , i 4n?1 ? i , i 4 n? 2 ? ?1 , i 4n?3 ? ?i (n ? N * ) .
2、复数的概念:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数,记作: z ? a ? bi(a, b ? R) ;其中:a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部. 3、复数的分类

z ? a ? bi(a, b ? R) : 若 a ? bi 为实数, 则b ? 0; 若 a ? bi 为虚数, 则b ? 0; 若 a ? bi
为纯虚数,则 a ? 0且b ? 0 . 4.复数集: 全体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示;复数集与其它数集之间的 关系: 5、复数相等的充要条件 相等复数:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.即: 如 果 a, b, c, d ? R , 那 么 a ? bi ? c ? di ? a ? b且c ? d , 特 别 地 :.

a ? bi ? 0 ? a ? 0且b ? 0
6 、共轭复数:两个复数的实部相等,而且虚部相反,那么这两个复数叫做共轭复数 .

z ? a ? bi 的共轭复数记作: z ? a ? bi ? a ? bi ( a, b ? R ).
7、复数的几何表示 (1)坐标表示:在复平面内以点 Z (a, b) 表示复数 z ? a ? bi(a, b ? R) ; ( 2 ) 向 量 表 示 : 以 原 点 O 为 起 点 , 点 Z (a, b) 为 终 点 的 向 量 OZ 表 示 复 数
?

z ? a ? bi(a, b ? R) ;
(3)复数的模长:向量 OZ 的长度叫做复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 的模,记作 a ? bi .即
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?

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z ? a ? bi ? a 2 ? b 2
注: (1)向量 OZ 与点 Z (a, b) 以及复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 一一对应; (2)当两个复数不全为实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 8.复数加减乘除法的运算. (1)复数的加法: z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i (2)复数的减法: z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i (3)复数的乘法: z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i (4)复数的除法:
?

z1 a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd) ? (bc ? ad)i ? ? ? z 2 c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2

【典型例题】
例 1、复数

(1 ? i ) 2 等于( 1? i
B. 1 ? i

) C. ? 1 ? i =- 2i ,则 a 等于( D. ? 1 ? i )

A. 1 ? i

例 2、若 a 为实数,

2 ? ai 1 ? 2i

A

2

B ?

2

C 2 2

D ?2 2 )

例 3、复数 z1 ? 3 ? i , z 2 ? 1 ? i ,则 z ? z1 ? z 2 在复平面内的对应点位于 ( A.第一象限 C.第三象限
2

B.第二象限 D.第四象限 . )

例 4、已知复数 z 与 ?z ? 2? ? 8i 均是纯虚数,则 z =

例 5、若 z ? C 且 | z ? 2 ? 2i |? 1, 则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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2

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例 6、在复数范围内解方程 | z | ? ( z ? z )i ?
2

3?i ( i 为虚数单位) 2?i

例 7、在复平面内,若复数 z 满足 | z ? 1|?| z ? i | ,求复数 z 所对应的点的轨迹方程.

例 8、已知复数 z1 ? cos? ? i , z 2 ? sin ? ? i 求 z1 ? z 2 的最大值和最小值.

【经典练习】
1、复数 (A)0

1? i 3 ? i 的值是( 1? i
(B)1 (C)-1

) (D)1 )

2 2、若 z ? cos ? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则 z ? ?1 的 ? 值可能是(

( A)

? ? ? (B) (C) 6 4 3

(D)

? 2
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3、如果复数 (m2 ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? ( A. 1 4、复数 B. ? 1 C. 2

) D. ? 2

2 ? i3 1 ? 2i

= (



( A) i

(B) ? i (C) 2 2 ? i

(D) ? 2 2 ? i

5、在复平面内,把复数 3 ? 3i 对应的向量按顺时钟方向旋转 ( ) (B) ? 2 3i (C) 3 ? 3i (D)3+ 3i ) (D)3

? ,所得向量对应的复数是 3

(A)2 3

6、已知复数 z 的模为 2,则 z ? i 的最大值为:( (A)1 (B)2 (C) 5

7、若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 8、 m 取何实数值时,复数 z= 纯虚数.

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2



m2 ? m ? 6 + (m 2 ? 2m ? 15)i 为: (1)实数; (2)虚数; (3 ) m?3

2 9、已知复数 z ? 1 ? i ,求实数 a, b ,使 az ? 2bz ? (a ? 2z)

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10、设 z1 , z 2 为共轭复数,且 ( z1 ? z2 ) 2 ? 3z1 z2i ? 4 ?12i ,求 z1 的模长。

【课后作业】
1、复数 A

1 等于( (1 ? i) 2

) B ?

2、若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数)则 b =( A. ? 2 3、已知复数 z 满足 A. -

1 2

1 2

C

1 i 2

D ?

1 i 2



?

1 1 C. 2 2 3 ? 3i z ? 3i ,则 z =( )
B. ?

D. 2

?

3 2

3 i 2

B.

3 3 - i 4 4

C.

3 3 + i 2 2


D. + )

3 4

3 i 4

4、若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z 3 ?

A. ?2 2 B. ?2 2 C. ?2 2i D. ?2 2i 5、在复平面内,复数 6 ? 5i , ? 2 ? 3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是 ( ) (A) 4 ? 8i (B) 8 ? 2i (C) 2 ? 4i (D) 4 ? i 6、 z1 ? (m ? m ? 1) ? (m ? m ? 4)i, m ? R. z2 ? 3 ? 2i. 则 m ? 1 是 z1 ? z2 的(
2 2



A 充分不必要条件 C 充要条件

B 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 .

7、若复数 z 同时满足 z ? z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z =

8、设复数 z 满足 z?2 ? 3i ? ? 6 ? 4i (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为_________. 9、 i 是虚数单位,

?5 ? 10i ? 3 ? 4i

. (用 a ? bi 的形式表示, a,b ? R )

10、已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 3i ,则复数
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i z2 = ? z1 5
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11、已知 z 为复数, (1 ? 3i) ? z 为纯虚数,且 z ? 10 ,求复数 z 。

12、已知复数 z 满足 | z ? 4 |?| z ? 4i |, 求复数 z 在复平面所对应的点的轨迹方程.

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