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数列经典例题2(含答案)


例 1 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n ? n ? 1) sn ? (n ? n) ? 0
2 2 2

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

n ?1 5 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 (n ? 2) a 64

例 2 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

例 3 错误! 未指定书签。 . 各项均为正数的等比数列{an}中, 已知 a2=8, a4=128,

bn=log2an

.

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn (3) 求满足不等式 (1 ?
2 2

1 1 1 1007 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 的正整数 n 的最大值 S2 S3 Sn 2013
2

2 (1)解:由 Sn ? (n ? n ? 1) Sn ? (n ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n ? n .
2

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n .
2 2

综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n (n ? 2) 2 ? ?

?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? . ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
例 2 【答案】.(1) 解:?

又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

?当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn ?1 ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1
? 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

? ?

an ?1 an ? ?1 n ?1 n

a ?a ? ?数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n2 ? n ? 2 ? n
? an ? n 2 , n ? N *
*

当 n ? 1 时,上式显然成立.
2

(3)证明:由(2)知, an ? n , n ? N ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,?原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,?原不等式亦成立. a1 a2 4 4
2

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ?? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

?当 n ? 3 时,,?原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

【答案】解: (1)∵ 等比数列{an}的各项为正,a2=8, a4=128

设公比为 q

∴ q2 ?
分)

a 4 128 n-1 ? ? 16 q=4 a1=2 ∴ an=a1q =2 × 4 n?1 = 2 2 n ?1 a2 8
2 n ?1

(4

(2)∵ bn ? log 2 a n ? log 2 2

? 2n ? 1

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn = 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? (3) ∵(1-

n ? (1 ? 2n ? 1) ? n2 2

(8 分)

1 1 1 1 1 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ( 1 - 2 )( 1- 2 ) ? ?( ? 1- 2 ) S2 S3 Sn 2 3 n

= ∴

1 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 1 = ? ? ? ? ? ? ??? n ?1 n ?1 n n 2n 2 2 3 5
∴n≤2013 ∴n 的最大值为 2013 (12 分)

n ? 1 1007 ? 2n 2013


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