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陕西省宝鸡市2013届高三上学期教学质量检测(一)数学(文)试题



陕西省宝鸡市 2013 届高三数学质量检测(一)

数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 15 考题为三 选一,其它题为必考题,考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.本试卷 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上

. 2. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体:工整、笔 迹清楚,将答案书写在答题卡规定的位置上. 3. 所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

(选择题共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.复数 z ? 1 ? i , 则
1 z ?z ?

( A.
3 2 ? 1 2 i


1 2 ? 3 2 i

B.

C.

3 2

?

3 2

i

D.

1 2

?

3 2

i

2.下列函数中,最小正周期为 π,且图像关于直线 x ? ( A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( 2 x ? ) B D

?
3

对称的是

?
3 )

)

y ? sin( 2 x ? y ? sin( x 2 ?

?
6

) )

?
6

?
6

3 .计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢二进一”,如 (1101) 2 表示二 进制的数,将它转化成十进制的形式是 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 13 ,那么将二进
3 2 1 0

制 11? 1 转换成十进制数的形式是 ?
16 位

( A. 2
17 ? 2



B.

2

17

?1

C

2

16

?1

D )

2

15

?1

4.若将集合 P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x∈R},则下列论断正确的是(

A.x ? P 是 x ? Q 的必要不充分条件 件。 C.x ? P 是 x ? Q 的充分必要条件 5.已知抛物线

B.x ? P 是 x? Q 的即不充分也不必要条 D.x ? P 是 x ? Q 的充分不必要条件

y

2

? 2 px 上一点 M(1,m)到其焦点的距离为 5,则抛物线的准线方程为

( ) A. x=-4

B.

x=-8

C.

x=4

D. x=8

? ? ? ? 6.已知 P 是△ ABC 所在平面内一点, PB ? PC ? 2 PA ? 0 ,现将一粒黄豆随机撒在△ ABC

内,则黄豆落在△ PBC 内的概率是 ( )
1 1 1
2

A. 4

B. 3

C. 2
C

D. 3

7.在三棱锥 D-ABC 中 ,AC=BC=CD=2,CD⊥平面 ABC,
? ACB ?

90

?

.若其主视图,俯视图如图所示,则其左视图 ( B. 2 D. 6
1
A

的面积为 A. 2 C. 3 8. 设函数 f ( x ) ?


D

主视图

B 俯视图

x 3

3

, 则实数 a 的取值范围 ( ? a x ? 5 x ? 6 在 区间 ?1, 3 ? 上单调递增,
2



A. [? 5 , 5 ] C. ( ?? , ? 3 ]

B. [ ? 5 , ?? ) D. ( ?? , ? 3 ] ? [ ? 5 , ?? )

9.设区间 [ 0 ,1] 是方程 f ( x ) ? 0 的有解区间,用二分法 算法求出方程 f ( x ) ? 0 在区间 [ 0 ,1] 上的一个 近似解的流程图如图,设 a,b∈ [ 0 ,1] , 现要求精确度为 ? ,图中序号 ①,②处应填入的内容为( A. a ?
a?b 2 ;b ? a?b
[来源:学科网]



2

B. b ? C. a ? D. b ?

a?b 2 b 2 a 2

;a ? a 2 b 2

a?b 2

;b ? ;a ?

10.在平面直角坐标系 xoy 中,过动点 P 分别作圆 c : 1

x

2

?

y

2

? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 和圆

c2 : x

2

?

y

2

(A,B 为切点) 若 PA ? PB , OP 的 , 则 ? 4 x ? 6 y ? 9 ? 0 的切线 PA,PB ( )
3 4

最小值为

5

A.

2

B. 2

C. 5

D. 5

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分, 满分 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上(必做题 11—14 题,选做题 15 题) 11.统计某校 1000 名学生的数学会 考成绩,得到样本频率分布直方图 如右图所示,规定不低于 60 分为 及格,不低于 80 分为优秀, 则及格人数是 ; , 优秀率 。
[来源:学科网]

x ?1 ? ? y ? 2 12.在约束条件 ? ?x ? y ?1 ? 0 ?

下,目标函数 z ?

3 4

x ? by ( b ? 0 )的 最大值是 1,则 b= 1 2 ) ? 2 ,则



13.已知是 g ( x ) 定义在 R 上的奇函数, f ( x ) ? g ( x ?
f (sin
2

1)?

o

f (sin

2

2

o

) ? ... ? f (sin

2

89

o

)?

。 为集

14.若集合 A1 ,

A 2 ... A n 满足 A 1 ∪ A 2 ∪…∪ A n ? A ,则称 A 1 , A 2 ,… A n A 2 = {a 1 , a 2 , a 3} 时,A 有 3
3

合 A 的一种拆分。已知: ①当 A ∪ 1 种拆分;

4 ②当 A ∪ A ∪ A = { a , a , a , a } 时,A 有 7 种拆分; 2 3 1 1 2 3 4

③当 A ∪ 1 ……

A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 = {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5} 时,A 有15

5

种拆分;

由以上结论,推测出一般结论; 当 A1 ? A2 ? ? ? An = { a , a , a ,... a
1 2 3 } ,A 有 n ?1

种拆分。

15.选做题(请在下列 3 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) ; A. (不等式选讲)若不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a ? 1 对 任意 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围 . B A

B. (几何证明选做题)如图,△ ABC 是 ? O 的内接三角形, PA 是 ? O 的切线,PB 交 AC 于点 E,交 ? O 于点 D,若 PA=PE, ? ABC ?

.O E
C

D P

60

?

,PD=1,PB=9,则 EC=

第 15B 题图

C . 坐标 系 与参 数 方程选 做 题 ) 已 知 在平 面直角 坐 标系 xoy 中圆 C 的 参 数方 程 为 (

? x ? 3 ? 3 cos ? ( ? 为参数) ,以 OX 为极轴建立极坐标系,直线 l 极坐标方程为 ? y ? 1 ? 3 cos ? ?

? cos( ? ?

?
6

) ? 0 , 则圆 C 截直线 l 所得弦长为



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤。 ) 16. (本小题 12 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c ,且 b cos C ? 3 a cos B ? c cos B . (1)求 cos B 的值
? ? (2)若 BA ? BC ? 2 , 且 b ? 2 2 求 a 和 c 的值。

17. (本小题 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC ,P、Q 分别 为线段 AB、CD 的中点, EP ? 平面 ABCD (1)求证: A Q∥ 平 面 C E P (2)求证: 平面 AEQ ? 平面 DEP

(3)若 EP ? AP ? 1 ,求三棱锥 E ? AQC 的体积

18. (本小题 12 分) 投掷一个质地均匀,每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面的 数字是 0,两个面的数字是 2,两个面的数字是 4.此玩具连续抛掷两次,以前后两次 朝上一个面出现的数字分别作为点 p 横坐标和纵坐标。
2 (1)求点 P 落在区域 C: x ?

y

2

? 10 上的概率;

(2)若以落在区域 C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机 撒一粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率。

19. (本小题 12 分) 设等比数列

?a n ? 的前项和为 s n ,已知 a n ? 1 ? 2 s n ? 2 , ( n ? N *) ?a n ? 的通项公式;
n ?1

(1)求数列 (2)在 a

n

与a

之间插入 n 个数,使这个 n ? 2 数组成公差为 d

n

的等差数列,求

? 1 ? ? ? 数列 ? ? 的前 ?d n? ? ?

n

项和 T

n

20. (本小题 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,有一条长为 3 的线段 MN,点 M 在 x 轴上运动,点 N 在 y 轴上运动,且保持线段长度不变,线段 MN 上的点 P 满足 MP
? ?

2 PN .

?

(1)求 P 点的轨迹满足的方程 (2)若直线 l : y ? kx ? 1, 与 x 轴,y 轴分别交于两点 E,F,交 P 的轨迹于两点
? ? C.D,当 CE ? FD 时,求直线 l 的方程。

21. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

2a x?
x

2 ? a ln x ( a ? R )

(1)讨论函数 y ? f ( x ) 的单调区间; (2)设 g ( x ) ?

x

2

? 2 bx ? 4 ? ln 2 ,当 a ? 1 时,若对 任意的 x , x ? ?1, e ? (为自然 1 2
1 2

对数的底数) ,都有 f ( x ) ? g ( x ) ,求实数 b 的取值范围。

参考答案
题号 A卷 B卷 1 D A 2 A B 3 C C 4
[来源:学科网]

5 D A

6 B B A

7 A
[来源:学科网]

8 C C

9 B B

10 B B
[来源:学+科+网]

B D

二、填空题: 11. 800,20%; 12. 15. A. [-2,4] B .4 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由正弦定理得 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C , 则 2 R sin B cos C ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B ,………2 分 故 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B 可得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3 sin A cos B ………4 分 即 sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B ,可得 sin A ? 3 sin A cos B 又 sin A ? 0 ,因此 cos B ?
1 3 . ………6 分

1 8



13.178;

14 (2 n ? 1) n ?1 ;

C. 4 2

(2)解:由 BA ? BC ? 2, 可得 ac cos B ? 2 , 又 cos B ?
2 2

1 3

,故 ac ? 6
2

………8 分

由 b ? a ? c ? 2 ac cos B , 可得 a 2 ? c 2 ? 12 ………10 分 所以 ( a ? c ) 2 ? 0 ,即 a ? c 所以 a ? c ?
6.

………12 分

17. (本小题满分 12 分) 【文科】证明: ⑴ 在矩形 ABCD 中, ∵AP=PB, DQ=QC, ∴AP CQ. ∴AQCP为平行四边形. ………2 分 ∴CP∥AQ. ∵CP ? 平面 CEP, AQ ? 平面 CEP, ∴AQ∥平面 CEP. ………4 分

⑵ ∵EP⊥平面 ABCD, AQ ? 平面 ABCD, ∴AQ⊥EP.………5 分 ∵AB=2BC, P 为 AB 中点, ∴AP=AD. 连 PQ, ADQP 为正方形. ∴AQ⊥DP. …………6 分 又 EP∩DP=P, ∴AQ⊥平面 DEP. ∵AQ ? 平面 AEQ. ∴平面 AEQ⊥平面 DEP. ……………………8 分 ⑶解:∵ E P ⊥平面 ABCD ∴EP 为三棱锥 E ? AQC 的高 所以
? 1 6 ? 1? 1? 1 ? VE ? 1 6 ? 1 3 S? ? EP ? 1 1 ? C? Q 3 2 AD ? EP

A Q C

A Q C

.………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 【文】解: (1)点 P 的坐标有: (0,0)(0,2)(0,4)(2,0)(2,2)(2,4)(4,0)(4,2)(4,4) , , , , , , , , , 共 9 种, 其中落在区域 C : x ? y ? 10 上的点 P 的坐标有 : ( 0 , 0 ), ( 0 , 2 ), ( 2 , 0 ), ( 2 , 2 ), 共
2 2

4 种.故点 P 落在区域 C : x 2 ? y 2 ? 10 上的概率为

4 9

.

………………6 分

(2)区域 M 为一边长为 2 的正方形,其面积为 4,区域 C 的面积为 10 ? ,则豆子 落在区域 M 上的概率为 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)由 a n ?1 ? 2 S n ? 2( n ? Z*) 得 a n ? 2 S n ?1 ? 2( n ? Z*, n ? 2 ) ,…………………………2 分 两式相减得: a n ?1 ? a n ? 2 a n , 即 a n ?1 ? 3 a n ( n ? Z*, n ? 2 ) ,………………………………4 分 ∵ { a n } 是等比数列,所以 a 2 ? 3 a1 ; 又 a 2 ? 2 a1 ? 2, 则 2 a 1 ? 2 ? 3 a 1 ,∴ a1 ? 2 , ∴an ? 2 ? 3
n ?1

2 5?

. ……………………12 分

…………………………6 分
n ?1

(2)由(1)知 a n ? 2 ? 3

,则 a n ? 1 ? 2 ? 3

n

∵ a n ?1 ? a n ? ( n ? 1) d n , ∴ d n ?
1 d1 1 d2 1 d3 1 dn

4?3

n ?1

n ?1

…………………8 分

∵ Tn ?

?

?

? …?

∴Tn ?
1 3 Tn ?

2 4?3 2
0

? ?

3 4?3 3
1

? ?

4 4?3 4
2

?? ? ?? ?

n ?1 4?3 n
n ?1


? n ?1
n

4?3 4?3 4?3 4?3 4?3 2 2 1 1 1 1 n ?1 ①-②得 T n ? ? ? ? ?? ? ? 0 1 2 3 n ?1 n 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3
1 2 3

n ?1

②…………………10 分

1? 1 ? ? 1 ? n ?1 ? 1 1 3? n ?1 5 2n ? 5 3 ? ? ? ? ? ……………………11 分 ? ? n n 1 2 4 4?3 8 8?3 1? 3

∴Tn ?

15 16

?

2n ? 5 16 ? 3
n ?1

………………………12 分
???? ????

20. (本小题满分 13 分) 解: (1)设 P(x,y), M ( x 0 , 0) , N (0, y 0 ) , 由 M P ? 2 P N 可得 x 0 ? 3 x , y 0 ? 分 又由 M N ? 3 得 x 0 ? y 0 ? 9 . ……4 分
2 2

3 2

y ……2

? (3 x ) ? (
2

3 2

y) ? 9
2

即点 P 的轨迹方程为 x ?
2

y

2

?1

.……6 分

4

(2) 【文】设 C ( x1 , y1 ), D ( x 2 , y 2 )
?4 x2 ? y2 ? 4 2 2 由? , 得 (4 ? k ) x ? 2 kx ? 3 ? 0, ? y ? kx ? 1 ? ? 4 k ? 12(4 ? k ) ? 16 k ? 48,
2 2 2

…………8 分

4?k 1 由已知 E ( ? , 0 ), F ( 0 ,1) k
2

x1 ? x 2 ? ?

2k

, x1 x 2 ?

?3 4?k
2

又 CE ? ED ,所以 ( ? 所以 ? 所以
1

1 k

? x1 , y1 ) ? ( x 2 , y 2 ? 1) .……10 分 1 k

k ? 2k 4?k

? x1 ? x 2 ,即 x1 ? x 2 ? ? ?? 1 k

2

,解得 k ? ? 2 ,符合题意,

所以,所求直线 l 的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 1 ? 0 .………………13 分 21. (本小题满分 14 分) 解:(1)因为 f ? x ? ? x ? 所以 f ?( x ) ? 1 ?
2a x
2 2

2a x

2

? a ln x ( x ? 0) ,
2 2

?

a x

?

x ? ax ? 2 a x
2

?

? x ? a ? ? x ? 2a ?
x
2

.………2 分

①若 a ? 0 , f ? x ? ? x , f ? x ? 在 ?0 , ?? ? 上单调递增. ②若 a ? 0 ,当 x ? ? 0, 2 a ? 时, f ?( x ) ? 0 , f ? x ? 在 ?0 , 2 a ? 上单调递减; 当 x ? ? 2 a , ?? ? 时, f ?( x ) ? 0 , f ? x ? 在 ? 2 a , ?? ? 上单调递增. ③若 a ? 0 ,当 x ? ? 0, ? a ? 时, f ?( x ) ? 0 , f ? x ? 在 ?0 , ? a ? 上单调递减; 当 x ? ? ? a , ?? ? 时, f ?( x ) ? 0 , f ? x ? 在 ? ? a , ?? ? 上单调递增.………4 分 综上:①当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0 , ?? ? 上单调递增. ②当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0 , 2 a ? 上单调递减, f ? x ? 在 ? 2 a , ?? ? 上单调递增. ③当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0 , ? a ? 上单调递减, f ? x ? 在 ? ? a , ?? ? 上单调递增. …………………………5 分 (2)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ?
2 x ? ln x ? x ? 0 ? .

由(1)知,若 a ? 1 ,当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ?( x ) ? 0 , f ? x ? 单调递减, 当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ?( x ) ? 0 , f ? x ? 单调递增, 所以 f ? x ? min ? f ? 2 ? ? 3 ? ln 2 .…………………………………7 分 因为对任意的 x1 , x 2 ? [1, e] ,都有 f ( x1 ) ≥ g ( x 2 ) 成立,

问题等价于对于任意 x ? ?1, e ? , f ? x ? m in ≥ g ? x ? 恒成立,……………9 分 即 3 ? ln 2 ≥ x 2 ? 2 bx ? 4 ? ln 2 对于任意 x ? ?1, e ? 恒成立, 即 2b ≥ x ?
1 x

对于任意 x ? ?1, e ? 恒成立,
1 x

因为函数 y ? x ? 所以函数 y ? x ?
1 e

的导数 y ' ? 1 ?

1 x
2

? 0 在 ?1, e ? 上恒成立,
? ? 1? 1 ?e? , ? x ? m ax e

1 x

在 ?1, e ? 上单调递增,所以 ? x ?
e 2 ? 1 2e

所以 2 b ≥ e ? (3)当 a ?

,所以 b ≥

.………………………………………………11 分
1 2x 1 ? 1 2 ? 1 ln x ? 3 ln x ,由(1)知 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增,

1 2

时, f ( x ) ? x ?

当 x ? 1 时, f ( x ) ? f (1) ,即 x ?

?3 2x 2 2 x k ?1 k ?1 k ?1 k 2 1 取x ? (k ? N? ) ,则 ln ? 2( )? ?3? ? k k k k ?1 k k ?1

, ln x ? 2 x ?

1

分别取 k=1,2,3,……n 时有
ln 2 1 ? 2 1 3 ? 1 2 4



ln

3 2

?

2 2

? 3

1

, ln

4 3 2

?

2 3 1

?

1 4

,…, ln

n ?1 n

?

2 n

?

1 n ?1 2 n 1 n ?1

相加得
ln 2 1 ? ln ? ln ? … ? ln n ?1 ?( ? )?( 2 ? 1 )?( 2 ? 1 ) ? … +( ? ) 2 3 n 1 2 2 3 3 4 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 1 ? ln( ? ? ? … ? ) ? 2 ? ? ? ? …+ ? 1 2 3 n 2 3 4 n n ?1 1 1 1 1 n 即 ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? … + ? .……………………14 分 2 3 4 n n ?1



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