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高中数学 第一章 §2 充分条件与必要条件课件 北师大版选修2-1



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知识点二
考点一

第 一 章

§2

把握热点 考向

考点二 考点三

应用创新演练

古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上 捡到30两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主.当

洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,叫
洛孝拿出自己私留的20两银子,两人为此争执不休,告到 县衙,县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含 羞离去.

设:A:洛孝主动归还所拾银两. B:洛孝无赖银之情. C:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子. D:洛孝所拾银子不是失主所丢.

问题1:县官得到结论B的依据是什么?它是B的什么
条件? 提示:A 充分条件

问题2:县官由C得出什么结论?它是C的什么条件? 提示:D 必要条件

充分条件和必要条件 如果“若p,则q”形式的命题为真命题,即p?q, 称p是q的 充分 条件,同时称q是p的 必要 条件.

已知:p:今年将在伦敦举行第30届夏季奥运会. q:今年是2012年. 问题1:“若p,则q”为真命题吗?p是q的什么条件? 提示:是真命题 充分条件

问题2:“若q,则p”是真命题吗?p是q的什么条件?
提示:是真命题 必要条件

问题3:p是q的什么条件?q是p的什么条件? 提示:充要条件 充要条件

充要条件 (1)如果既有 p?q ,又有 q?p ,通常记作p?q,则称p是q

的 充分必要条件 ,简称充要条件.
(2)p是q的充要条件也可以说成: p成立当且仅当q成立 . (3)如果p,q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我 们称命题p和命题q是两个相互 等价 的命题. (4)若p?q,但q ? p,则p是q的 充分不必要 条件,q是p的 / 必要不充分 条件. (5)若p ? q,且q ? p,则p是q的既不充分也不必要 条件. / /

充分条件与必要条件的判断,即对命题“若p,则 q”与“若q,则p”进行真假判断,若是一真一假则p是i 的充分不必要条件或必要不充分条件;若是两真则p 是q的充要条件;若是两假则p是q的即不充分又不必

要条件.

[例 1]

下列各题中,p 是 q 的什么条件?

(1)p:a、b、c 三数成等比数列,q:b= ac; (2)p:y+x>4,q:x>1,y>3; (3)p:a>b,q:2a>2b; (4)p:△ ABC 是直角三角形,q:△ ABC 为等腰三角形.

[思路点拨] 可先看 p 成立时,q 是否成立,再反过来若 q 成立时,p 是否成立,从而判定 p、q 间的关系.

[精解详析]

(1)若 a、b、c 成等比数列,则 b2=ac,b

=± ac.则 p ? q;若 b= ac,当 a=0,b=0 时,a、b、c / 不成等比数列, q?/ p, p 是 q 的既不充分也不必要条件. 即 故 (2)y+x>4 不能得出 x>1,y>3,即 p ? q,而 x>1,y>3 / 可得 x+y>4,即 q?p,故 p 是 q 的必要不充分条件. (3)当 a>b 时,有 2a>2b,即 p?q,当 2a>2b 时,可得 a>b, 即 q?p,故 p 是 q 的充要条件.

(4)法一:若△ABC是直角三角形不能得出 △ABC为等腰三角形,即p ? q;若△ABC为等腰 / 三角形也不能得出△ABC为直角三角形,即q ? / p,故p是q的既不充分也不必要条件.

法二:如图所示:p、q对应集合间无包含关系,故p是q 的既不充分也不必要条件.

[一点通] 充分必要条件判断的常用方法: (1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断. (2)等价法:将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断.

(3)集合法: 设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A; 若x具有性质q,则x∈B.

①若A?B,则p是q的充分不必要条件;
②若B?A,则p是q的必要不充分条件; ③若A=B,则p是q的充要条件; ④若A B且B A,则p是q的既不充分又不必要条件.

1.“x>0”是“ x2>0”成立的 A.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件

3

( B.必要不充分条件 D.充要条件

)

3 2 3 2 解析:当 x>0 时, x >0 成立;但当 x >0 时,得 x2>0, 则 x>0 或 x<0,此时不能得到 x>0.

答案:A

2.对任意实数a、b、c给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;

④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的序号是________.

解析:①由a=b可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故

①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a
为无理数”可得“a+5为无理数”,②为真命题;③由“a>b” 不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,③为假命题;④“由a<5” 不能得“a<3”,而由“a<3”可得“a<5”,④为真命题. 答案:②④

3.在下列各题中,判定p是q的什么条件. (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:方程x2-x-m=0无实根,q:m<-2;

(3)p:四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.
解:(1)∵x-2=0?(x-2)(x-3)=0, 而(x-2)(x-3)=0 ? x-2=0, / ∴p是q的充分不必要条件.

(2)方程 x2-x-m=0 无实根,即 Δ=1+4m<0,解得 1 1 m<- ,{m|m<-2}? {m|m<- }, 4 4 ∴p 是 q 的必要不充分条件. (3)由 p q,而 q p,

∴p 是 q 的充分不必要条件.

[例2]

证明x2+px+q≤0的解集只含有一个元素的充

要条件是p2=4q. [思路点拨] 本题可分充分性与必要性两种情况进行

证明,即由p2=4q推证x2+px+q≤0的解集只含有一个元素

和由x2+px+q≤0的解集只含有一个元素推证p2=4q.

[精解详析] 先证明必要性:若不等式 x2+px+q≤0 的解 集中只有一个元素,则抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴相切,于 是 Δ=p2-4q=0,即 p2=4q; 再证明充分性:由 p2=4q,则原不等式可以整理成 x2+i p2 ? p?2 +q=x2+px+ 4 =?x+2? ≤0. ? ?
? p? ? ? ?x|x=- ?,只有一个元素. 因此解集为? 2? ? ?

综上所述,x2+px+q≤0 的解集只含有一个元素的充要条 件是 p2=4q.

[一点通]

充要条件的证明问题,要证明两个方面,

一是充分性,二是必要性.为此必须要搞清条件,在“A是
B的充要条件”中,A?B是充分性,B?A是必要性;在“A 的充要条件是B”中,A?B是必要性,B?A是充分性.

4.不等式x2-ax+1>0的解集为R的充要条件是________. 解析:若x2-ax+1>0的解集为R,则Δ=a2-4<0,即- 2<a<2.

又当a∈(-2,2)时,Δ<0,可得x2-ax+1>0的解集为R,
故不等式x2-ax+1>0的解集为R的充要条件是-2<a<2. 答案:-2<a<2

5.求证:△ABC中,A>B是sin A>sin B的充要条件.
证明:先证充分性,∵A>B,∴a>b. 则 2Rsin A>2Rsin B,∴sin A>sin B. 再证必要性.∵sin A>sin B, a b ∴2R>2R,即 a>b.∴A>B, ∴△ABC 中,A>B 是 sinA>sin B 的充要条件.

6.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条 件是a+b+c=0. 证明:先证必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1, ∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.

∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
∴必要性成立.

再证充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b.
代入方程ax2+bx+c=0中可得:

ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+b+a)=0.
故方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件 是a+b+c=0.

[例3]

(12分)设p:|4x-3|≤1;q:x2-(2a+1)x

+a2+a≤0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取 值范围. [思路点拨] 本题可先分别得出p,q对应的集合,

然后把条件转化为集合间的包含关系处理.

1 1 [精解详析] 因为|4x-3|≤1,所以 ≤x≤1,即 p: ≤x≤1.? 2 2 (2 分) 由 x2-(2a+1)x+a2+a≤0, 得(x-a)[(x-(a+1)]≤0, 所以 a≤x≤a+1, 即 q:a≤x≤a+1.? (5 分)

因为 p 是 q 的充分不必要条件, 所以 p q,q p. ? {x|a≤x≤a+1},? (7 分)

? ?1 ? ? ? ?x? ≤x≤1? 所以? 2 ? ? ? ?

?a+1>1, ?a+1≥1, ? ? 1 故有? 或? 1 解得 0≤a≤ .? (11 分) 1 2 ?a≤2, ?a<2, ? ? 1 所以 a 的取值范围是[0, ].? 2 (12 分)

[一点通]

将充分、必要条件转化为集合的包含关

系,是解决该类问题的一种有效的方法,关键是准确 把p,q用集合表示,借助数轴,利用数形结合的方法 建立方程或不等式,求参数的范围.

7.已知条件p:x2+x-6=0,条件q:mx+1=0(m≠0), 且q是p的充分不必要条件,求m的值.
解:解 x2+x-6=0 得 x=2 或 x=-3, 令
? 1? ? ? ?- ?, A={2,-3},B=? m? ? ?

∵q 是 p 的充分不必要条件,∴B ? A. 1 1 1 1 当- =2 时,m=- ;当- =-3 时,m= . m m 2 3 1 1 所以 m=- 或 m= . 2 3

8.已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若 x∈M是x∈N的充分条件,求a的取值范围.
解:由(x-a)2<1 得, x2-2ax+(a-1)(a+1)<0, ∴a-1<x<a+1,M={x|a-1<x<a+1}. 又由 x2-5x-24<0 得,-3<x<8,N={x|-3<x<8}. ∵x∈M 是 x∈N 的充分条件,∴M? N,
?a-1≥-3, ? ∴? ?a+1≤8, ?

解得-2≤a≤7. 故 a 的取值范围是[-2,7].

1.充分必要条件与四种命题之间的对应关系;

(1)若p是q的充分条件,则原命题“若p,则q”及它的逆
否命题都是真命题; (2)若p是q的必要条件,则逆命题及否命题为真命题; (3)若p是q的充要条件,则四种命题均为真命题. 2.涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的 取值范围时,常利用命题的等价性进行转化,从集合的包 含、相等关系上来考虑制约关系.



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