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统计概率与三角函数总复习



统计概率与三角函数---总复习
A 级强化
方差公式: s 2 ?

◆认真解答,一定要细心哟!

1 ( x 1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ( x 3 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 n

?

?

I、 (统计概率

) 1、一个口袋中有 4 个红球,3 个黑球,2 个白球,如果小明邀请小华玩一个“摸球”游戏,游戏的规则是: 摸出一个红球,小华赢得 1 分;摸出其它球,小明赢得 1 分,这个游戏公平吗? 1. 三个小组共进行 1500 次抛币实验,结果如下 实验组别 第一组 第二组 第三组 抛币次数 400 500 600 反面朝上 213 231 311 正面朝上 187 269 289

a. 分别计算三组正面朝上的成功率;哪一组的成功率更为可取?为什么? b. 小明提出把三个组的成功率取出平均值,得到的成功率最贴近实际,你认为是否可行?你打算怎样 得到最为稳定的成功率? 2、甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等,且毎团游客的平均年龄都是 32 岁,这三个团游客年龄的方 差分别是 S 甲 2=27, S 乙 2=19.6, S 丙 2=1.6, 导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队, 若在三个团中选择一个, 则他应选 A、甲团 B、乙团 C、丙团 D、甲或乙团

3. 某公司销售人员有 15 人,销售部为了制定某种商品的月销售量,统计了 15 人某月的销售量如下: 每人销售的件数 人数 1800 1 510 1 250 3 210 5 150 3 120 2

a:求这 15 位营销人员该月销售数量的平均数,中位数和众数。 b:假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为 320 件,你认为合理吗?为什么?请你制定一个 合理的销售定额,并说明理由。

II、 (锐角三角函数)
1、如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=

3 ,求 cosA+tanB 的值. 5

2、如图所示的半圆中,AD 是直径,且 AD=3,AC=2,则 sinB 的值等于?

1

统计概率与三角函数---总复习
III (整体思想)

◆认真解答,一定要细心哟!

1.(2011 年江苏盐城)已知 a-b=1,则代数式 2a-2b-3 的值是( )A.-1 B.1 C.-5 D.5 2.(2012 年江苏无锡)分解因式(x-1)2-2(x-1)+1 的结果是( )A(x-1)(x-2) B.x2 C.(x+1)2 D.(x-2)2 3.(2012 年山东济南)化简 5(2x-3)+4(3-2x)结果为( )A.2x-3 B.2x+9 C.8x-3 D.18x-3 4.(2011 年浙江杭州)当 x=-7 时,代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为________. 5.(2012 年江苏苏州)若 a=2,a+b=3,则 a2+ab=______. ?x+2y=4k+1, ? 6.已知? 且 0<x+y<3,则 k 的取值范围是 ______________. ?2x+y=k+2, ?

IV(数形结合思想)
1、(2012 年四川自贡)伟伟从学校匀速回家,刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校,于是马上以更快 的速度匀速沿原路返回学校. 在这一情景中, 速度 v 和时间 t 的函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( )

A B C D 2.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边 20 米处,玩具店位于书 店东边 100 米处,小明从书店沿街向东走了 40 米,接着又向东走了-60 米,此时小明的位置在( ) A.玩具店 B.文具店 C.文具店西边 40 米 D.玩具店东边-60 米 3.已知实数 a,b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边,那么( ) A.ab<b B.ab>b C.a+b>0 D.a-b>0 4.已知函数 y=x 和 y= x+2的图象如图 Z3-3,则不等式 x+2>x 的解集为( ) A.-2≤x<2 B.-2≤x≤2 C.x<2 D.x>2 5. 如图 Z3-4, 直线 l1∥l2, ⊙O 与直线 l1 和直线 l2 分别相切于点 A 和点 B.点 M 和点 N 分别是直线 l1 和直线 l2 上的动点,MN 沿 l1 和 l2 平移.⊙O 的半径为 1,∠1=60° .下列 结论错误的是( ) 4 3 3 A.MN= B.若 MN 与⊙O 相切,则 AM= 3 2 C.若∠MON=90° ,则 MN 与⊙O 相切 D.直线 l1 和直线 l2 的距离为 2

二、B 级提高
I、 (统计概率) 某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类.在“深圳读书月”活动期间,为了解图 书的借阅情况,图书管理员对本月各类图书的借阅量进行了统计,图 1 和图 2 是图书管理员通过采集数据 后,绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图.请你根据图表中提供的信息,解答以下问题: 频率分布表 图书种类 自然科学 文学艺术 社会百科 频数 400 1000 500 频率 0.20 0.50 0.25
2

数学

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(1)(2 分)填充图 1 频率分布表中的空格.

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(2)(2 分)在图 2 中,将表示“自然科学”的部分补充完整. (3)(2 分)若该学校打算采购一万册图书,请你估算“数学”类图书应采购多少册较合适? (4)(2 分)请同学们改用扇形统计图来反映图书馆的借书情况.

2、2010 年 4 月 10 日和 4 月 17 日由蛇口消 息报社主办的 “ 第六届南山二手房展 ” 在南 山书城广场举行,各品牌中介推出 A、B 、 C、D 四种型号的优质房源共 1000 套进行展销.期间 , C 型号户型销售的成交率为 50%,其它户型房源 的销售情况绘制在图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图中. (1)参加展销的 D 型号户型有多少套?(2)请你将图 2 的统计图补充完整; (3)通过计算说明,哪一 种型号的户型销售情况最好?

3、对甲、乙、丙三名射击手进行 20 次测试,平均成绩都是 8.5 环,方差分别是 0.4,3.2,1.6,在这三 名射击手中成绩比较稳定的是?

3

II

锐角三角函数
tan 60° ? tan 45° sin 45° ? ? sin 30°; (2)在△ABC 中, ∠C=90°, 化简 1 ? 2sin A cos A sin 60° ? cos 30° cos 45°

(1)化简求值:

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3、若 sin 2? ?

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2 3 , cos ? ? sin ? ,(2α ,β 为锐角),求 tan( ? ) 的值. 3 2

III 整体思想 7.若买铅笔 4 支,日记本 3 本,圆珠笔 2 支,共需 10 元;若买铅笔 9 支,日记本 7 本,圆珠笔 5 支,共需 25 元,则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元. 8.如图 Z1-2,半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O,其直径 CD,EF 均和 x 轴垂 直,以点 O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C,E 和点 D,F,则图中阴影 部分的面积是________.

9.如图 Z1-3, ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________________.

10.(2012 年浙江丽水)已知 A=2x+y,B=2x-y,计算 A2-B2 的值.

4

11.(2010 年福建南安)已知 y+2x=1,求代数式(y+1)2-(y2-4x)的值.

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IV 数形结合思想

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6.如图 Z3-5,已知四边形 OABC 为正方形,边长为 6,点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,点 D 在 OA 上, 且点 D 的坐标为(2,0), 点 P 是 OB 上的一个动点, 则 PD+PA 的最小值是 A. 2 10 B. 10 C. 4 D. 6

7.(2012 年天津)某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴 360 km 外的 农村采访,全程的前一部分为高速公路,后一部分为乡村公路.若汽车在高 速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶, 汽车行驶的路程 y(单位: km)与时间 x(单 位:h)之间的关系如图,则下列结论正确的是( ) A. 汽车在高速公路上的行驶速度为 100 km/h B. 乡村公路总长为 90 km C.汽车在乡村公路上的行驶速度为 60 km/h D.该记者在出发后 4.5 h 到达采访地

8.(2012 年山东日照)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 Z3-7,给出下列结论:①b2-4ac>0;② 2a+b<0; ③4a-2b+c=0; ④a∶b∶c=-1∶2∶3.其中正确的是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ① ④

9.(2010 年广东茂名)张师傅驾车运送荔枝到某地出售,汽车出发前油箱有 50 升,行驶若干小时后,途中 在加油站加油若干升,油箱中剩余油量 y(单位:升)与行驶时间 t(单位:时)之间的关系如图 Z3-8. 请根据图象回答下列问题: (1)汽车行驶________小时后加油,中途加油________升; (2)求加油前油箱剩余油量 y 与行驶时间 t 的函数关系式; (3)已知加油前、后汽车都以 70 千米/时的速度匀速行驶,如果加油站距目的地 210 千米,要到达目的地, 问油箱中的油是否够用?请说明理由?

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三、C 级升化

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I、1、某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况,在一次数学检测中,从全市 20000 名九 年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表:

⑴表中 a 和 b 所表示的数分别为: a =_______________, b =_______________; ⑵请在图中补全额数分布直方图; ⑶如果把成绩在 70 分以上(含 70 分)定为合格,那么该市 20000 名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名?

(x分) 2、某地区随机抽取若干名八年级学生进行地理结业模拟测试,并对测试成绩 进行统计,具体统计
结果见下表: 某地区八年级地理结业模拟测试成绩统计表
6

分数段 人数 解答下列问题:

90< x ≤100 1200

80< x ≤90 1461

70< x ≤80 642

60< x ≤70 480

x ≤60
217

参加地理结业模拟测试的学生成绩的中位数落在那个分数段上; (1) 若用扇形统计图表示统计结果,则分数段为 90< x ≤100 的人数所对应扇形的圆心角的度 数是多少? (2) 该地区确定地理结业成绩 60 分以上(含 60 分)的为合格,要求合格率不低于 97%,现

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3、已知本次测试得 60 分的学生有 117 人,通过计算说明本次地理结业模拟测试的合格率是否达到要求? (2010?株洲) 1. (本题满分 8 分) 学校广播站要招聘一名播音员, 考查形象、 知识面、 普通话三个项目. 按 形象占 10% ,知识面占 40% ,普通话占 50% 计算加权平均数,作为最后评定的总成绩. 李文和孔明两位同学的各项成绩如下表: 项 目 形 象 知识面 普通话 选 手 70 80 88 李 文 x 80 75 孔 明 (1)计算李文同学的总成绩; (2)若孔明同学要在总成绩上超过李文同学,则他的普通话成绩 x 应超过多少分? (2010?内蒙古包头)21. (本小题满分 8 分)

4、某校欲招聘一名数学教师,学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,各项测试成绩满分均 为 100 分,根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示: 测试成绩 测试项目 甲 乙 丙 教学能力 科研能力 组织能力 85 70 73 71 73 65

64 72 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩,谁将被录用,说明理由; (2)根据实际需要,学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按 5∶3∶2 的比例确定每人的成绩,谁 将被录用,说明理由.

5、 (2010?荆州)20.(8 分)2010 年,世博会在我国的上海举行,在网上随机调取了 5 月份中的某 10 天持 票入园参观的人数,绘成下面的统计图.根据图中的信息回答下列问题: (1)求出这 10 天持票入园人数的平均数、中位数和众数;
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(2)不考虑其它因素的影响,以这10天的数据作为样本,估计在世博会开馆的184天中,持票入园 人数超过 30万人的有多少天? ..

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II、锐角三角函数

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1、如图所示,在△ABC 中,∠ACB=105°,∠A=30°,AC=8,求 AB 和 BC 的长; (2)在△ABC 中,∠ABC=135°,∠A=30°,AC=8,如何求 AB 和 BC 的长? (3)在△ABC 中,AC=17,AB=26,锐角 A 满足 sin A ? 若 AC=3,其他条件不变呢?

12 ,如何求 BC 的长及△ABC 的面积? 13

2、如图所示,正三角形 ABC 的边长为 2,点 D 在 BC 的延长线上,CD=3. (1)动点 P 在 AB 上由 A 向 B 移动,设 AP=t,△PCD 的面积为 y,求 y 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围;(2)在(1)的条件下,设 PC=z,求 z 与 t 之间的函数关系式.

III、整体思想 2x-14xy-2y 1 1 12.已知 - =3,求代数式 的值. x y x-2xy-y

8

13.(2011 年四川南充)关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2. (1)求 k 的取值范围; (2)如果 x1+x2-x1x2<-1,且 k 为整数,求 k 的值.

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IV、数形结合思想

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9 ? 10.(2011 年湖南邵阳)如图 Z3-9,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A? ?-4,0?,点 C(0,3),点 B 是 x 轴上的一点(位于点 A 右侧),以 AB 为直径的圆恰好经过点 C. (1)求∠ACB 的度数; (2)已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A,B 两点,求抛物线的解析式; (3)线段 BC 上是否存在点 D,使△BOD 为等腰三角形?若存在,则求出所有符 合 条件的点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.

11.(2012 年四川宜宾)如图 Z3-10,抛物线 y=x2-2x+c 的顶点 A 在直线 l∶y=x-5 上. (1)求抛物线顶点 A 的坐标; (2)设抛物线与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于点 C,D(点 C 在点 D 的左侧),试判断△ABD 的形状; (3)在直线 l 上是否存在一点 P,使以点 P,A,B,D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由.

中考演练(方案与设计)
1.某乳制品厂现有鲜牛奶 10 吨,若直接销售,每吨可获利 500 元;若制成酸奶销售,每吨可获利 1 200 元;若制成奶粉销售,每吨可获利 2 000 元.该工厂的生产能力是:若制成酸奶,每天可加工鲜牛奶 3 吨; 若制成奶粉,每天可加工鲜牛奶 1 吨(两种加工方式不能同时进行).受气温条件限制,这批鲜牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完成.为此该厂设计了以下两种可行方案: 方案一:4 天时间全部用来生产奶粉,其余直接销售鲜奶;
9

方案二:将一部分制成奶粉,其余制成酸奶,并恰好 4 天完成. 你认为哪种方案获利最多,为什么?

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2.(2011 年湖北黄石)今年,号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱,为提高学生环保意识,节约用水, 某校数学教师编造了一道应用题:为了保护水资源,某市制定一套节水的管理措施,其中对居民生活用水 收费作如下规定: 月用水量(单位:吨) 单价(单位:元/吨) 1.5 不大于 10 吨部分

2 大于 10 吨,且不大于 m 吨部分(20≤m≤50) 3 大于 m 吨部分 (1)若某用户六月份的用水量为 18 吨,求其应缴纳的水费; (2)记该用户六月份的用水量为 x 吨,缴纳水费 y 元,试列出 y 关于 x 的函数式; (

二、考前预测: (方案与设计)
1、(2012 年四川达州)大学生王强积极响应“自主创业”的号召,准备投资销售一种进价为每件 40 元的小 家电.通过试营销发现,当销售单价在 40 元至 90 元之间(含 40 元和 90 元)时,每月的销售量 y(单位:件) 与销售单价 x(单位:元)之间的关系可近似地看作一次函数,其图象如图 Z5-2. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)设王强每月获得的利润为 p(单位:元),求 p 与 x 之间的函数关系式;如果王强想要每月获得 2 400 元的 利润,那么销售单价应定为多少元?

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2、潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了 A,B 两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的 种植面积与总收入如下表: 种植户 种植 A 类蔬菜面积(单位: 亩) 种植 B 类蔬菜面积(单位:亩) 总收入(单位:元) 3 1 12 500 甲 2 3 16 500 乙 说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等;亩为土地面积单位. (1)求 A,B 两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元; (2)某种植户准备租 20 亩地用来种植 A,B 两类蔬菜,为了使总收入不低于 63 000 元,且种植 A 类蔬 菜的面积多于种植 B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有的租地方案.

‘ 答案 1、解:(1)作 PE⊥BC 于 E,则 BP=AB-AP=2-t(0≤t<2). ∵∠B=60°, ∴ S△PCD ?

1 1 3 3 , CD ? PE ? CD ? BP ? sin B ? (2 ? t ) ? 2 2 2 2

即y??

3 3 3 3 t? (0 ? t ? 2) . 4 2
1 3 (2 ? t ) , BE ? (2 ? t ) . 2 2

(2)由(1)不难得出, PE ? ∴ EC ? BC ? BE ? 2 ?

1 1 (2 ? t ) ? (2 ? t ) . 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 ∵ PC ? PE ? EC ? (2 ? t ) ? (2 ? t ) ? t ? 2t ? 4 . 4 4
∴ z ? t 2 ? 2t ? 4(0 ? t ? 2)
2、(3)存在. 由题意知:直线 y=x﹣5 交 y 轴于点 A(0,﹣5),交 x 轴于点 F(5,0) ∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3 ∴△OEF 与△OBD 都是等腰直角三角形

11

∴BD∥l,即 PA∥BD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD,如图, 过点 P 作 y 轴的垂线,过点 A 作 x 轴的垂线并交于点 C 设 P(x1,x1﹣5),则 G(1,x1﹣5) 则 PC=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1| PA=BD=3 由勾股定理得: (1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2,4 ∴P(﹣2,﹣7),P(4,﹣1) 存在点 P(﹣2,﹣7)或 P(4,﹣1)使以点 A.B.D.P 为顶点的四边形是平行四边形.

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