湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题

时量：120 分钟

满分：100 分 得分

一、选择题（每小题 3 分，共 45 分） 1．已知命题 p： 若 x 2 ? y 2 ? 0( x, y ? R) ，则 x , y 全为 0；命题 q： 若 a ? b ，则

1 1 ? .给出 a b

下列四个复合命题：① p 且 q ；② p 或 q ；③ ? p ；④ ? q .其中真命题的个数是 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

2．若 A、B 为互斥事件，则 A． P( A) ? P( B) ? 1 C． P( A) ? P( B) ? 1 B． P( A) ? P( B) ? 1 D． P( A) ? P( B) ? 1

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则点 P 到另一焦点的距离为 3．已知椭圆 25 16
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7

4．同时掷 3 枚硬币，至少有 1 枚正面向上的概率是 A．

7 8

B．

5 8

C．

3 8

D．

1 8

5．变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10,1) ，(11.3,2) ，(11.8,3) ，(12.5,4) ，(13,5) ；变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) ，(11.3,4) ，(11.8,3) ，(12.5,2) ，(13,1) ，r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则 A． r2 ? r1 ? 0 C． r2 ? 0 ? r1
2 2

B． 0 ? r2 ? r1 D． r2 ? r1

6．双曲线 kx ? 5 y ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,则 k 等于

A．

5 3

B． ?

5 3

C．

15 3

D． ?

15 3

7．抛物线 y ? 4 x 2 的准线方程为 A． y ? ?

1 4

B． y ?

1 8

C． y ?

1 16

D． y ? ?

1 16

2 8．命题： “若 x ? 4 ，则 ? 2 ? x ? 2 ”的逆否命题是 2 A．若 x ? 4 ，则 x ? 2 ,若 x ? ?2 2 C．若 x ? 2 ,或 x ? ?2 ，则 x ? 4 2 B．若 ? 2 ? x ? 2 ，则 x ? 4 2 D．若 x ? 2 ,或 x ? ?2 ，则 x ? 4

9． “? ?

?
6

? k? (k ? Z) ”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

10． 点 A, B 的坐标分别是 (?5,0), (5,0) ， 直线 AM , BM 相交于点 M ， 且他们的斜率之积是 则点 M 的轨迹方程是

4 ， 9

x2 9y2 ? ? 1( x ? ?5) A． 25 100
C．

x 2 100y 2 ? ? 1( x ? ?5) B． 25 9
D．

x2 9y2 ? ? 1( y ? 0) 25 100

x 2 100y 2 ? ? 1( y ? 0) 25 9

11．在双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双 a2 b2

曲线的离心率的取值范围是 A． e ?

2

B． 1 ? e ?

2

C． e ? 2

D． 1 ? e ? 2

12． ABCD 为长方形， AB ? 2, BC ? 1, O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点， 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A．

? 4
x2 a

B． 1 ?

? 4

C．

? 8

D． 1 ?

? 8

13 ． 设 椭 圆 C ： 2 ?

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 ， b2

PF2 ? F1 F2 , ?PF1 F2 ? 30? ，则 C 的离心率为
A．

3 6

B．

1 3

C．

1 2

D．

3 3

14 ． 经 过 双 曲 线 上 任 一 点 M 作 平 行 于 实 轴 的 直 线 ， 与 渐 近 线 交 于 P、Q 两 点 ， 则

| MP | ? | MQ | 为定值，其值为
A． a
2

B． b

2

C． c

2

D． ab

15 ．曲线 C1：y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是曲线 C 2： 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦 b2

点，且曲线 C1 与曲线 C 2 交点连线过点 F ，则曲线 C 2 的离心率是 A． 2 ? 1

B．

2 ?1 2

C． 答题卡

6? 2 2

D． 2 ? 1

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

得分

二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 16 ． 抛 物 线 y 2 ? 4 px( p ? 0) 上 一 点 M 到 焦 点 的 距 离 是 a (a ? p) ， 则 点 M 的 横 坐 标 是 ．

4 2 17 ． 给 出 以 下 命 题 ： ① ?x ? R， 有 x ? x ； ② ?a ? R， 使 sin 3? ? 3 sin ? ； ③ 2 ?x ? R， ?a ? R， 使 x ? 2 x ? a ? 0 ．其中真命题的序号是

．

,3000 ]的 18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图所示，则新生婴儿体重在 (2700
频率为 ． 频率/组距

0.001

O

2400 2700 3000 3300 3600 3900

体重

19．将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下：0001，0002，0003，?，1000，打算从中抽取 一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分成 50 个部分，如果第一部分编号为 0001，0002，

0003，?，从第一部分随机抽取一个号码为 0015，则第 40 个号码为 20．椭圆

．

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ，点 P 是椭圆上的动点，当 ?F1 PF2 为钝角时，点 P 的 13 4
．

横坐标的取值范围是

三、解答题（每题 8 分，共 40 分） 21．从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 x i (单位：千元)与月储蓄 yi (单 位：千元)的数据资料，算得

? xi ? 80 ， ? yi ? 20 ， ? xi yi ? 184 ， ? xi2 ? 720．
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程是 y ? bx ? a ； (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄.

附：线性回归方程 y ? bx ? a 中，b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

，a ? y ? b x ，其中 x, y 为校本平均值，

2 i

?x ? a ? ?b ?. 线性回归方程也可写为 y

22．已知 p： 1?

x ?1 ? 2 ， q：x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ，若 ? p 是 ? q 必要不充分条件， 3

求实数 m 的取值范围．

23．已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 ． (Ⅰ)设集合 P ? {1,2,3} 和 Q ? {?1,1,2,3,4} ，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ， 求函数 y ? f ( x) 的区间 [1,??) 上是增函数的概率；

?x ? y ? 8 ? 0 ? （Ⅱ）设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点，记 A ? { y ? f ( x) 有两个零点，其中一 ?y ? 0 ?
个大于 1，另一个小于 1 } ，求事件 A 发生的概率.

24．如图，已知直线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A、B 两点，且 OA ? OB ， OD ? AB 交 AB 于点 D ，点 D 的坐标为 (2,1) ． （1）求 AB 直线方程； （2）求 p 的值．

y

A D

O
B

x

25．如图，已知中心在原点且焦点在 x 轴上的椭圆 E 经过点 A(3,1) ，离心率 e ? (1)求椭圆 E 的方程；

6 ． 3

(2)过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆 E 于 A、C 两点， 过原点 O 与 AC 垂直的直线交椭圆 E 于

B、D 两点，求证： A、B、C、D 四点在同一个圆上．
y A

O

x

长郡中学 2015-2016 学年度高二第一学期期中考试 数学(文科)参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 45 分）

1 B

2 D

3 D

4 A

5 C

6 B

7 D

8 D

9 A

10 C

11 C

12 B

13 D

14 A

15 D

二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 16. a ? p 17．② 18. 0.3 19. 0795 20. (?

65 65 , ) 3 3

三、解答题（每题 8 分，共 40 分） 21.【解析】(Ⅰ)由题意知 n ? 10 ， x ?
n

1 n 80 1 n 20 ， x ? ? 8 y ? yi ? ? 2， ? ? i n i ?1 10 n i ?1 10

又 l xx ?
n

?x
i ?1

2 i

? n x ? 720 ? 10 ? 8 2 ? 80 ，

2

l xy ? ? xi yi ? n x y ? 184 ? 10 ? 8 ? 2 ? 24 .
i ?1

b?

l xy l xx

?

24 ? 0.3, a ? y ? b x ? 2 ? 0.3 ? 8 ? ?0.4 ， 80

故所求回归方程为 y ? 0.3x ? 0.4 ????????????????????(4 分) (Ⅱ)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加且 b ? 0.3 ? 0 ，故 x 与 y 之 间是正相关?????????????????????????????(6 分) (Ⅲ)将 x ? 7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为

y ? 0.3 ? 7 ? 0.4 ? 1.7 .????????????????????????(8 分)
22.【解析】由 p： 1?
2

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10.(2 分) 3
2

由 q 得： ( x ? 1) ? m (m ? 0) ? ?m ? x ? 1 ? m ? 1 ? m ? x ? 1 ? m ???(4 分) 由 ? p 是 ? q 必要不充分条件 ? p 是 q 的充分不必要条件 得 {x | ?2 ? x ? 10}是 {x | 1 ? m ? x ? 1 ? m, m ? 0} 的真子集，

?m ? 0 ? 所以 ?1 ? m ? ?2 ? m ? 9 ?1 ? m ? 10 ?
故实数 m 的取值范围是 (9,??) ??????????????????????(8 分) 23.【解析】(Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ? 要使 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上是增函数， 当且仅当 a ? 0 且

2b ， a

2b ? 1 ，即 a ? 0 且 2b ? a ????????????????(1 分) a

1 若 a ? 3 则 b ? ?1， 1 ??????????(3 分) 若 a ? 1 则 b ? ?1 ，若 a ? 2 则 b ? ?1，
记 B ? { 函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数 } 则事件 B 包含基本事件的个数是 1 ? 2 ? 2 ? 5 ，∴ P( B) ? (Ⅱ)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ? ?

5 1 ? ????????(4 分) 13 3

? ?a ? b ? 8 ? 0? ? ? ? ?( a, b) | ?a ? 0 ?， ? ?b ? 0 ? ? ? ? 1 其面积 S ? ? ? 8 ? 8 ? 32 ?????????????????????????(5 分) 2
事件 A 构成的区域：

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ?a ? 0 ? ? ? A ? ?(a, b) | ? ?? b ? 0 ? ? ? ? ? ? f ( 1 ) ? 0 ? ? ?
由?

? ?a ?b ?8 ? 0 ? ?a ? 0 ? ? ( a , b ) | ? ? ? ?b ? 0 ? ? ? a ? 4b ? 1 ? 0 ?

? ? ? ? ? ? ?

? a ?b ?8 ? 0 31 9 ，得交点坐标为 ( , ) ，?????????????????(7 分) 5 5 ?a ? 4b ? 1 ? 0
S 1 1 31 961 ? (8 ? ) ? ? ，∴事件 A 发生的概率为 P( A) ? A 2 4 5 40 S?

∴ SA ?

?

961 ?????????????????????????????????(8 分) 1280

24.【解析】(1) AB：y ? ?2 x ? 5 ?????????????????????(2 分) (2)设点 A 的坐标 ( x1 , y1 ) ，点 B 的坐标 ( x2 , y 2 )

由 OA ? OB 得： x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 由(1)知 AB 的直线方程为 y ? ?2 x ? 5 所以 y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 5 ? 0 ， ① 联立 y ? ?2 x ? 5 与 y 2 ? 2 px 消去 x 得： y 2 ? py ? 5 p ? 0

y1 ? y2 ? ? p ， y1 y 2 ? ?5 p
把②代入解得 p ?

②

5 5 ，经检验 p ? ?????????????????????(8 分) 4 4