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湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题


时量:120 分钟

满分:100 分 得分

一、选择题(每小题 3 分,共 45 分) 1.已知命题 p: 若 x 2 ? y 2 ? 0( x, y ? R) ,则 x , y 全为 0;命题 q: 若 a ? b ,则

1 1 ? .给出 a b

下列四个复合命题:① p 且 q ;② p 或 q ;③ ? p ;④ ? q .其中真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.若 A、B 为互斥事件,则 A. P( A) ? P( B) ? 1 C. P( A) ? P( B) ? 1 B. P( A) ? P( B) ? 1 D. P( A) ? P( B) ? 1

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则点 P 到另一焦点的距离为 3.已知椭圆 25 16
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

4.同时掷 3 枚硬币,至少有 1 枚正面向上的概率是 A.

7 8

B.

5 8

C.

3 8

D.

1 8

5.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10,1) ,(11.3,2) ,(11.8,3) ,(12.5,4) ,(13,5) ;变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) ,(11.3,4) ,(11.8,3) ,(12.5,2) ,(13,1) ,r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 A. r2 ? r1 ? 0 C. r2 ? 0 ? r1
2 2

B. 0 ? r2 ? r1 D. r2 ? r1

6.双曲线 kx ? 5 y ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,则 k 等于

A.

5 3

B. ?

5 3

C.

15 3

D. ?

15 3

7.抛物线 y ? 4 x 2 的准线方程为 A. y ? ?

1 4

B. y ?

1 8

C. y ?

1 16

D. y ? ?

1 16

2 8.命题: “若 x ? 4 ,则 ? 2 ? x ? 2 ”的逆否命题是 2 A.若 x ? 4 ,则 x ? 2 ,若 x ? ?2 2 C.若 x ? 2 ,或 x ? ?2 ,则 x ? 4 2 B.若 ? 2 ? x ? 2 ,则 x ? 4 2 D.若 x ? 2 ,或 x ? ?2 ,则 x ? 4

9. “? ?

?
6

? k? (k ? Z) ”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10. 点 A, B 的坐标分别是 (?5,0), (5,0) , 直线 AM , BM 相交于点 M , 且他们的斜率之积是 则点 M 的轨迹方程是

4 , 9

x2 9y2 ? ? 1( x ? ?5) A. 25 100
C.

x 2 100y 2 ? ? 1( x ? ?5) B. 25 9
D.

x2 9y2 ? ? 1( y ? 0) 25 100

x 2 100y 2 ? ? 1( y ? 0) 25 9

11.在双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双 a2 b2

曲线的离心率的取值范围是 A. e ?

2

B. 1 ? e ?

2

C. e ? 2

D. 1 ? e ? 2

12. ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1, O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点, 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A.

? 4
x2 a

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

13 . 设 椭 圆 C : 2 ?

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 , b2

PF2 ? F1 F2 , ?PF1 F2 ? 30? ,则 C 的离心率为
A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

14 . 经 过 双 曲 线 上 任 一 点 M 作 平 行 于 实 轴 的 直 线 , 与 渐 近 线 交 于 P、Q 两 点 , 则

| MP | ? | MQ | 为定值,其值为
A. a
2

B. b

2

C. c

2

D. ab

15 .曲线 C1:y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是曲线 C 2: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦 b2

点,且曲线 C1 与曲线 C 2 交点连线过点 F ,则曲线 C 2 的离心率是 A. 2 ? 1

B.

2 ?1 2

C. 答题卡

6? 2 2

D. 2 ? 1

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

得分

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 16 . 抛 物 线 y 2 ? 4 px( p ? 0) 上 一 点 M 到 焦 点 的 距 离 是 a (a ? p) , 则 点 M 的 横 坐 标 是 .

4 2 17 . 给 出 以 下 命 题 : ① ?x ? R, 有 x ? x ; ② ?a ? R, 使 sin 3? ? 3 sin ? ; ③ 2 ?x ? R, ?a ? R, 使 x ? 2 x ? a ? 0 .其中真命题的序号是



,3000 ]的 18.观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如下图所示,则新生婴儿体重在 (2700
频率为 . 频率/组距

0.001

O

2400 2700 3000 3300 3600 3900

体重

19.将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下:0001,0002,0003,?,1000,打算从中抽取 一个容量为 50 的样本,按系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001,0002,

0003,?,从第一部分随机抽取一个号码为 0015,则第 40 个号码为 20.椭圆



x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 是椭圆上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 的 13 4


横坐标的取值范围是

三、解答题(每题 8 分,共 40 分) 21.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 x i (单位:千元)与月储蓄 yi (单 位:千元)的数据资料,算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720.
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程是 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中,b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

,a ? y ? b x ,其中 x, y 为校本平均值,

2 i

?x ? a ? ?b ?. 线性回归方程也可写为 y

22.已知 p: 1?

x ?1 ? 2 , q:x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 必要不充分条件, 3

求实数 m 的取值范围.

23.已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 . (Ⅰ)设集合 P ? {1,2,3} 和 Q ? {?1,1,2,3,4} ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b , 求函数 y ? f ( x) 的区间 [1,??) 上是增函数的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (Ⅱ)设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,记 A ? { y ? f ( x) 有两个零点,其中一 ?y ? 0 ?
个大于 1,另一个小于 1 } ,求事件 A 发生的概率.

24.如图,已知直线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A、B 两点,且 OA ? OB , OD ? AB 交 AB 于点 D ,点 D 的坐标为 (2,1) . (1)求 AB 直线方程; (2)求 p 的值.

y

A D

O
B

x

25.如图,已知中心在原点且焦点在 x 轴上的椭圆 E 经过点 A(3,1) ,离心率 e ? (1)求椭圆 E 的方程;

6 . 3

(2)过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆 E 于 A、C 两点, 过原点 O 与 AC 垂直的直线交椭圆 E 于

B、D 两点,求证: A、B、C、D 四点在同一个圆上.
y A

O

x

长郡中学 2015-2016 学年度高二第一学期期中考试 数学(文科)参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 45 分)

1 B

2 D

3 D

4 A

5 C

6 B

7 D

8 D

9 A

10 C

11 C

12 B

13 D

14 A

15 D

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 16. a ? p 17.② 18. 0.3 19. 0795 20. (?

65 65 , ) 3 3

三、解答题(每题 8 分,共 40 分) 21.【解析】(Ⅰ)由题意知 n ? 10 , x ?
n

1 n 80 1 n 20 , x ? ? 8 y ? yi ? ? 2, ? ? i n i ?1 10 n i ?1 10

又 l xx ?
n

?x
i ?1

2 i

? n x ? 720 ? 10 ? 8 2 ? 80 ,

2

l xy ? ? xi yi ? n x y ? 184 ? 10 ? 8 ? 2 ? 24 .
i ?1

b?

l xy l xx

?

24 ? 0.3, a ? y ? b x ? 2 ? 0.3 ? 8 ? ?0.4 , 80

故所求回归方程为 y ? 0.3x ? 0.4 ????????????????????(4 分) (Ⅱ)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加且 b ? 0.3 ? 0 ,故 x 与 y 之 间是正相关?????????????????????????????(6 分) (Ⅲ)将 x ? 7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为

y ? 0.3 ? 7 ? 0.4 ? 1.7 .????????????????????????(8 分)
22.【解析】由 p: 1?
2

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10.(2 分) 3
2

由 q 得: ( x ? 1) ? m (m ? 0) ? ?m ? x ? 1 ? m ? 1 ? m ? x ? 1 ? m ???(4 分) 由 ? p 是 ? q 必要不充分条件 ? p 是 q 的充分不必要条件 得 {x | ?2 ? x ? 10}是 {x | 1 ? m ? x ? 1 ? m, m ? 0} 的真子集,

?m ? 0 ? 所以 ?1 ? m ? ?2 ? m ? 9 ?1 ? m ? 10 ?
故实数 m 的取值范围是 (9,??) ??????????????????????(8 分) 23.【解析】(Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ? 要使 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上是增函数, 当且仅当 a ? 0 且

2b , a

2b ? 1 ,即 a ? 0 且 2b ? a ????????????????(1 分) a

1 若 a ? 3 则 b ? ?1, 1 ??????????(3 分) 若 a ? 1 则 b ? ?1 ,若 a ? 2 则 b ? ?1,
记 B ? { 函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数 } 则事件 B 包含基本事件的个数是 1 ? 2 ? 2 ? 5 ,∴ P( B) ? (Ⅱ)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ? ?

5 1 ? ????????(4 分) 13 3

? ?a ? b ? 8 ? 0? ? ? ? ?( a, b) | ?a ? 0 ?, ? ?b ? 0 ? ? ? ? 1 其面积 S ? ? ? 8 ? 8 ? 32 ?????????????????????????(5 分) 2
事件 A 构成的区域:

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ?a ? 0 ? ? ? A ? ?(a, b) | ? ?? b ? 0 ? ? ? ? ? ? f ( 1 ) ? 0 ? ? ?
由?

? ?a ?b ?8 ? 0 ? ?a ? 0 ? ? ( a , b ) | ? ? ? ?b ? 0 ? ? ? a ? 4b ? 1 ? 0 ?

? ? ? ? ? ? ?

? a ?b ?8 ? 0 31 9 ,得交点坐标为 ( , ) ,?????????????????(7 分) 5 5 ?a ? 4b ? 1 ? 0
S 1 1 31 961 ? (8 ? ) ? ? ,∴事件 A 发生的概率为 P( A) ? A 2 4 5 40 S?

∴ SA ?

?

961 ?????????????????????????????????(8 分) 1280

24.【解析】(1) AB:y ? ?2 x ? 5 ?????????????????????(2 分) (2)设点 A 的坐标 ( x1 , y1 ) ,点 B 的坐标 ( x2 , y 2 )

由 OA ? OB 得: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 由(1)知 AB 的直线方程为 y ? ?2 x ? 5 所以 y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 5 ? 0 , ① 联立 y ? ?2 x ? 5 与 y 2 ? 2 px 消去 x 得: y 2 ? py ? 5 p ? 0

y1 ? y2 ? ? p , y1 y 2 ? ?5 p
把②代入解得 p ?



5 5 ,经检验 p ? ?????????????????????(8 分) 4 4


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