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2012高中数学学案 2.4 等比数列(2)(人教A版必修5)



竹溪一中高一年级

数学

必修 5

sx-13-04

导学案

《等比数列》(2)导学案
编写:袁学业 班级 【学习目标】 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念; 2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 【教学重

点】 1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式及性质的应用. 【教学难点】 等比数列性质的理解、把握和应用. 【学习过程】 第一部分:自主学习、合作探究 (预习教材 P51 ~ P54,找出疑惑之处) 复习 1:等比数列的通项公式 an ? = 公比 q 满足的条件是 复习 2:等差数列有何性质? . 审稿人:高一年级组 组别 组名 编写时间:2013 年 4 月 姓名

学习探究
问题 1: 若在 a 与 b 中间插入数 G, a, b 成等比数列, 使 G, 则

G b ? ? G2 ? ab ? G ? a G



新知 1:等比中项定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 称为 a 与 b 的 等比中项. 即 G= (a,b 同号). 试试:数 4 和 6 的等比中项是 . 问题 2: 1.在等比数列{ a n }中, a52 ? a3 a7 是否成立呢?

2 2. an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论?

2 3. an ? an?k an? k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结论?

新知 2:等比数列的性质 在等比数列中,若 m+n=p+q,则 am an ? a p ak .

没有尝试,就没有成功

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试试:在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ,那么 a18 ?

.

第二部分:典例精析 例 1 已知 {an }, {bn } 是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什 么结论?证明你的结论. 例 2 3 ? ( )n 3 ?5 ? 2 n?1 4 ?10 ? ( )n?1 3 是 自选 1 自选 2

an bn an ? n b

{an ? n } 是 b

否等比

变式:项数相同等比数列{ a n }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗?证明你的结论. bn

小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列. 例 2 在等比数列{ a n }中,已知 a4 ?a7 ? ?512 ,且 a3 ? a8 ? 124 ,公比为整数,求 a10 .

没有尝试,就没有成功

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变式:在等比数列{ a n }中,已知 a7 ?a12 ? 5 ,则 a8 ?a9 ?a10 ?a11 ?

.

例 3 数列 ?an ? 为各项均为正数的等比数列,它的前 n 项和为 80,且前 n 项中数值最大的项 为 54,它的前 2n 项和为 6560,求首项 a1 和公比 q 。

例 4 (1)已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项公式。 3

(2)记等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? an ? 66 , a4 an?3 ? 128 , Sn ? 126 ,求

n 和公比 q 的值。

n n 例 5 已知数列 ?an ? ,其中 an ? 2 ? 3 ,且数列 ?an?1 ? ?an ? ( ? 为常数)为等比数列,

求常数 ? 。 解:

没有尝试,就没有成功

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动手试试 练 1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( A. 三边之比为 3:4:5 B. 三边之比为 1: 3 :3
5 ?1 2 5 ?1 D. 较大锐角的正弦为 2

).

C. 较小锐角的正弦为

练 2. 在 7 和 56 之间插入 a 、 b ,使 7、 a 、 b 、56 成等比数列,若插入 c 、 d ,使 7、 c 、 d 、56 成等差数列,求 a + b + c + d 的值.

【课堂小结】 请你尝试归纳本节课的知识体系:

通过本节课的学习你掌握了哪些方法:

知识拓展 公比为 q 的等比数列 {an } 具有如下基本性质:
1. 数列 {| an |} , {an 2 } , {can } (c ? 0) ,{anm } (m ? N * ) , {an k } 等,也为等比数列,公比分别为 a b | q |, q2 , q, qm , q k . 若数列 {bn } 为等比数列,则 {an ? n } , { n } 也等比. bn 2. 若 m ? N * ,则 an ? am ? n?m . 当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式. q 3. 若 m ? n ? k ? l , m, n, k , l ? N * ,则 am ?an ? ak ?al . 4. 若 {a } 各项为正,c>0,则 {log a} 是一个以 log a 为首项, log q 为公差的等差数列. 若 n c c n c 1
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b d {bn } 是以 d 为公差的等差数列,则 {cbn } 是以 c 1 为首项, c 为公比的等比数列. 当一个数列

既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列. 【当堂检测】 1. 在 ?an ? 为等比数列中, an ? 0 , a2 a4 ? 2a3a5 ? a52 ? 16 ,那么 a3 ? a5 ? ( ).

A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8 2. 若-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, 则 b2(a2-a1)=( ). 9 A.8 B.-8 C.±8 D. 8 3. 若正数 a, c 依次成公比大于 1 的等比数列, b, 则当 x>1 时,log a x ,log b x ,log c x( ) A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列 4. 在两数 1,16 之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 5. 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a5 ?a6 ? 9 , 则 log3 a1 + log3 a 2 +…+ log3 a10 ? .

.

1. 在 ?an ? 为等比数列中, a1 ?a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 的值.

课后作业

2. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d≠0,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,求

a1 ? a3 ? a9 . a2 ? a4 ? a10

9.设数列 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? ? n ?1? a2 ????? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1, T2 ? 4 。

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(1)求等比数列 {an } 的首项和公比; (2)求数列 {Tn } 的通项公式。

10.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (1)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(2)求 ?an ? 的通项公式。

11.已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? ? , an ?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ,其中 3

? 为实数, n 为正整数。
(1)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (2)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (3)设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和。是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都 有 a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由。

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【学习反思】 本节课我最大的收获是: 我还存在的疑惑是: 我对教学案的建议是:

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