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湖南省长郡中学、雅礼中学等长沙名校联盟2015-2016学年高一暑假第一次阶段性测试数学试题



启用前★绝密

2015 年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷





(湖南卷版)
本试卷包括三个大题,共 6 页,总分 150 分,考试时量 120 分钟

本次考试试卷由长沙市一中命题 师大附中审题 考试时间:2015-7-30 13:20—15:2

0

注意事项: 1. 答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的 姓名、准考证号、考室和座位号; 2. 必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效; 3. 答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示; 4. 请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁; 5. 答题卡上不准使用涂改液涂改。

长郡中学 师大附中

雅礼中学 周南中学

参考学校 长沙市一中 明德中学

田家炳实验中学 麓山国际实验学校

2015 年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷


一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)




1. 已知数列 {a n } 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48,则 a6 ? a7 等于(

A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 2. 下列命题中,错误的个数有________个 ①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行. ③一个平面与两个平行平面相交,交线平行. ④一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3.已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 相交,则圆 C1 与圆

C2 的公共弦所在的直线的方程为(
A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0

) B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

4. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线

BD 和平面 ABC 所成的角的大小为(
A. 90
?

) C. 45
?

B. 60

?

D. 30

?

5. 设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0, ??) 时 f(x)是增函数,则 f (?2), f (? ), f (?3) 的 大小关系是( ) B. f (? ) > f (?2) > f (?3)

A. f (? ) > f (?3) > f (?2)

C. f (? ) < f (?3) < f (?2) 6. y ?

D. f (? ) < f (?2) < f (?3)

3 1 cos ? ? sin ? 的最大值为( 2 2
1 2
B.



A.

3 2

C. 1

D. 2

7. 若任取 x1 , x2 ? ? a, b ? , 且x1 ? x2 , 都有f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 成立,则称 f ( x ) 是 2 2
) y

? a, b? 上的凸函数.试问:在下列图像中,是凸函数图像的为(
y y y

a A

b x

a B

b

x

a C

b

x

a D

b

x

8. 已知 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn 1+…+a1x+a0, 用秦九韶算法求 f(x0)的值, 需要进行的 乘法运算、加法运算的次数依次是( )


A.n,n

B.2n,n

C.

n(n+1) ,n 2

D.n+1,n+1

9. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a 与 b 的“向量积”: a ? b 是一个向量,它的模

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? sin ? ,若 a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3 ,则 a ? b ? (

?

?

?

?

) D.4

A.2

B.

3
n ?1

C. 2 3

10. 已知等比数列 { an } 中,an =2× 3 值为(
n

,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 S n 的

) B.3(3 -1)?
n

A.3 -1?

C.

9n ? 1 ? 4

D.

3(9 n ? 1) 4
D C B
1 1

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
11. 函数 y ? log( 的定义域为_______________. ) 2 log 1 x
3

A
1

1

12. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱锥 A1——ABCD 的体积 与长方体的体积之比为_______________. 13. 按照程序框图(如右图)执行,第 3 个输出的数是_______________. 14. 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ?) ? cos( x ? ?) 是偶函数,且 ? ? [0, 的值为_______________. 15.在 ?ABC 中, A ? 60 ,b ? 1 , 面积为 3 ,则
0

D A B

C

?
2

] ,则 ?

a?b?c ? _______________. sin A ? sin B ? sin C

三、解答题(共 75 分)
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

? 2π ? ? ?

17. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P—ABC 中,PC⊥底面 ABC,AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 PAC. (Ⅱ)求证:AB⊥PB; (Ⅲ)若 PC=BC,求二面角 P—AB—C 的大小. P

E C A D B
(第 17 题)

18. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率.

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(Ⅰ)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

20. (本小题满分 13 分)
2 ? 设关于 x 的一元二次方程 an x ? an ?1 x ?1 ? 0 ( n ? N )有两根 ? 和 ? ,且满足

6? ? 2?? ? 6? ? 3 .
(Ⅰ)试用 an 表示 an ?1 ; (Ⅱ)求证:数列 ? an ? ? 是等比数列; (Ⅲ)当 a1 ?

? ?

2? 3?

7 时,求数列 ?an ? 的通项公式,并求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 6

21.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s, f(s)), B(t, f(t)) (Ⅰ)若 a ? b ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 满足:当|x|≤1 时,有| f ?( x ) |≤ 析表达式; (Ⅲ)若 0<a<b, 函数 f ( x ) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 ,证明: OA 与 OB 不 可能垂直.

3 恒成立,求函数 f ( x ) 的解 2

2015 年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷

数学参考答案
1C 2B 3B 4C 11. (0,1) 16. ?(x) ? 5A 6C 7C 8A 9A 10D 12. 1:3 13.5 14.

? 4

15. 15 或 75

o

o

3 1 1 π? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 2 2 6? 2 ?
2π ? π ,解得 ? ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 2?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以

2π π π 7π π? 1 ? , 所 以 ? ≤ 2x ? ≤ , 所 以 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? . 因 为 0 ≤ x ≤ 3 6 6 6 6? 2 ?

1 π? π? 1 3 ? ? ? 3? ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ,因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 2 6? 6? 2 2 ? ? ? 2?
17. (1)证明:因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点, 所以 DE∥PA. 因为 PA ? 平面 PAC,且 DE ? 平面 PAC, 所以 DE∥平面 PAC. (2)因为 PC⊥平面 ABC,且 AB ? 平面 ABC, 所以 AB⊥PC.又因为 AB⊥BC,且 PC∩BC=C. 所以 AB⊥平面 PBC. 又因为 PB ? 平面 PBC, 所以 AB⊥PB. (3)由(2)知,PB⊥AB,BC⊥AB, 所以,∠PBC 为二面角 P—AB—C 的平面角. 因为 PC=BC,∠PCB=90° , 所以∠PBC=45° , 所以二面角 P—AB—C 的大小为 45° . 18. 解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y. 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即 A D B
(第 17 题)

P

E C

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=

1 4 = . 16 4

(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)} 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P(A)= 19.解: (I)由题设知 f ( x) ?

7 . 16

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ?? 2 2? ? 6? 2 ? 2 2? ? 2 ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

20. 解: (1)根据韦达定理,得 ? ? ? ? 由 6? ? 2?? ? 6? ? 3 得 6?

an ?1 1 , ? ?? ? , an an

1 1 an ?1 2 ? ? 3 ,故 an ?1 ? an ? 2 3 an an 2 1 1 1 2 (2)证明: an ?1 ? ? an ? ? (an ? ) , 3 2 3 2 3 2 2 2 若 an ? ? 0 ,则 an ?1 ? ? 0 ,从而 an ?1 ? an ? , 3 3 3
2 这时一元二次方程 an x ? an ?1 x ?1 ? 0 无实数根,故 an ?1 ?

2 ?0, 3

2 3 ? 1 ,数列 ? a ? 2 ? 是公比为 1 的等比数列. 所以 ? n ? 2 2 3 2 ? ? an ? 3 2 1 (3)设 bn ? an ? ,则数列 ?bn ? 是公比 q ? 的等比数列, 3 2 2 7 2 1 又 b1 ? a1 ? ? ? ? , 3 6 3 2 an ?1 ?
所以 bn ? b1q 所以 an ?
n ?1

1?1? ? ? ? 2? 2?
n

n ?1

?1? ?? ? , ?2?
n

n

2 ?1? 2 ?1? ? ? ? , an ? ? ? ? . 3 ? 2? 3 ?2?

na n ?

2 n n? n 3 2

则由错位相减法可得 Tn ?

n2 ? n n?2 ?2? n . 3 2

21.解:(I) f (x)=x3-2x2+x, f ? (x)=3x2-4x+1, 因为 f(x)单调递增, 所以 f ? (x)≥0, 即 3x2-4x+1≥0, 解得,x≥1, 或 x≤

1 , 3 1 )和 3

故 f(x)的增区间是(-∞, (II) f ? (x)=3x2-2(a+b)x+ab. 当 x∈时,恒有| f ? (x)|≤

3 2

3 3 ≤ f ? (1)≤ , 2 2 3 3 ? ≤ f ? (-1)≤ , 2 2 3 3 ? ≤ f ? (0)≤ 2 2 3 ? 3 ? ≤ 3 ? 2 ( a ? b ) ? ab ≤ , ? 2 2 ? 3 ? 3 即 ? ? ≤3 ? 2(a ? b) ? ab ≤ , 2 ? 2 3 3 ?? ≤ab ≤ . ? 2 ? 2
故有 ? ①+②,得

① ② ③

?

9 3 ≤ab≤ ? , 2 2 3 , 2

又由③,得 ab= ?

将上式代回①和②,得 a+b=0, 故 f(x)=x3 ?

3 x 2

(III) 假设 OA ⊥ OB , 即 OA ? OB = ( s, f ( s)) ? (t , f (t )) = st+f(s)f(t)=0, (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, =-1, 由 s,t 为 f ? (x)=0 的两根可得, s+t=

2 1 (a+b), st= , (0<a<b), 3 3

从而有 ab(a-b)2=9 这样(a+b)2=(a-b)2+4ab =

9 +4ab≥2 36 =12, ab

即 a+b≥2 3 , 这样与 a+b<2 3 矛盾 故 OA 与 OB 不可能垂直.



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