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第三章 不等式 单元测试2(人教A版必修5)



第三章 不等式 单元测试 2
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。)
?x>a, ?x+y>a+b, ? ? 1.已知 P:? ,Q:? ,则( ? ? ?y>b ??x-a??y-b?>0

)

A.若 P 成立,则 Q 成立 B.若 Q 成立,则 P 成立 C.P 与 Q 等价 D.P 是否成立与 Q 无关系 [答案] C [解析] 若?
?x>a ? ? ?y>b

,由同向可加性得 x+y>a+b,又 x-a>0,y-b>0,∴(x-a)(y-

b)>0;若(x-a)(y-b)>0,则 x-a 与 y-b 同号,又 x+y>a+b 即(x-a)+(y-b)>0,∴
? ? ?x-a>0 ?x>a ? ,∴? ? ? ?y-b>0 ?y>b

.

2ab 1 a+b? 2.已知 f(x)=?2?x,a,b∈R+,A=f? ,G=f( ab),H=f?a+b?,则 A、G、H 的 ? ? ? 2 ? ? ? 大小关系是( ) B.A≤H≤G D.H≤G≤A

A.A≤G≤H C.G≤H≤A [答案] A

a+b ab [解析] ∵a,b∈R+∴ ≥ ab,∴ ≤1, 2 a+b 2 即 ∴ 2 ab 2ab ≤1,两边同乘以 ab,则 ≤ ab, a+b a+b a+b 2ab ≥ ab≥ >0. 2 a+b

1 又∵f(x)=( )x 是减函数, 2 a+b 2ab ∴f( )≤f( ab)≤f( ) 2 a+b 即:A≤G≤H.

x+y x y 3.设 x>0,y>0,M= ,N= + ,则 M、N 的大小关系是( 2+x+y 2+x 2+y A.M>N C.M<N [答案] C [解析] N= = x y x y + > + 2+x 2+y 2+x+y 2+x+y B.M≥N D.M≤N

)

x+y =M. 2+x+y )

4.下列函数中,最小值是 4 的函数是( 4 A.y=x+ x B.y=sinx+ 4 (0<x<π) sinx
-x

C.y=ex+4e

D.y=log3x+logx81 [答案] C 4 [解析] 当 x<0 时,y=x+ ≤-4,排除 A; x 4 4 ∵0<x<π,∴0<sinx<1.y=sinx+ ≥4.但 sinx= 无解,排除 B;ex>0,y=ex+ sinx sinx 4 - 4e x≥4.等号在 ex= x即 ex=2 时成立.∴x=ln2,D 中,x>0 且 x≠1,若 0<x<1,则 log3x e <0,logx81<0,∴排除 D. 5.已知方程 x2+2x+2a=0 和 x2+2(2-a)x+4=0 有且只有一个方程有两个不相等的 实根,则实数 a 的取值范围是( 1 A.a< 或 a>4 2 1 C.0<a≤ 或 a≥4 2 [答案] B [解析] △1=4-8a,△2=4(a-2)2-16
?△1>0 ?△1≤0 ? ? 由题设条件知,? 或? , ? ? ?△2≤0 ?△2>0

) 1 B.0≤a< 或 a>4 2 1 D. <a≤4 2

1 ∴0≤a< 或 a>4. 2
? ?x?x>1? 6.函数 f(x)=? ,则不等式 xf(x)-x≤2 的解集为( ? ?-1?x≤1?

)

A.[-2,2] C.(1,2] [答案] B [解析] 不等式 xf(x)-x≤2 化为:

B.[-1,2] D.[-2,-1]∪(1,2]

? ? ?x≤1 ?x>1 Ⅰ.? 2 或Ⅱ.? 由(Ⅰ)得 1<x≤2.由(Ⅱ)得-1≤x≤1.∴原不等式的解为 ? ?-x-x≤2 ?x -x≤2 ?

-1≤x≤2. 7.已知 log2(x+y)=log2x+log2y,则 x+y 的取值范围是( A.(0,1] C.(0,4] [答案] D [解析] 由题设 log2(x+y)=log2(xy), x ∴x+y=xy 且 x>0,y>0,∴y= >0,∴x>1 x-1 ∴x+y=x+ x 1 =x-1+ +2≥4, x-1 x-1 B.[2,+∞) D.[4,+∞) )

1 等号在 x-1= 即 x=2 时成立. x-1 8.已知 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图像上的两点,那么| f(x+1)|<1 的解集是( ) B.(1,4) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

A.(-1,2) C.(-∞,1]∪[4,+∞) [答案] A [解析] 由题设知 f(0)=-1,f(3)=1,

不等式|f(x+1)|<1 化为-1<f(x+1)<1, 即 f(0)<f(x+1)<f(3) ∵f(x)在 R 上单调递增,∴0<x+1<3,∴-1<x<2.

?log2x, x>0, ? 9.(2010· 天津理,8)设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值 ?log2?-x?, x<0. ?
范围是( ) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) [答案] C

[解析] 解法 1:由图象变换知函数 f(x)图象如图,且 f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数,

∴f(a)>f(-a)化为 f(a)>0,∴当 a∈(-1,0)∪(1,+∞)时,f(a)>f(-a),故选 C.

1 解法 2:当 a>0 时,由 f(a)>f(-a)得,log2a>log a,∴a>1;当 a<0 时,由 f(a)>f(-a) 2 1 得,log (-a)>log2(-a),∴-1<a<0,故选 C. 2

?x-4y+3≤0, ? 10. O 为坐标原点, M 坐标为(2,1), 设 点 若点 N(x, y)满足不等式组: 2x+y-12≤0, ? ?x≥1. ?
→ → 则使OM· 取得取大值的点 N 的个数是( ON A.1 C.3 [答案] D → → → → [解析] OM=(2,1),ON=(x,y),z=OM· =2x+y.画出可行域如图,当直线 2x+y ON -z=0 与直线 2x+y-12=0 重合时,z 取最大值,此时 N 点有无数个. ) B.2 D.无数个

?x≥y ? 11.若 x、y 满足条件?x+y≤1 ?y≥-1 ?
A.1 C.2 [答案] A

,则 z=-2x+y 的最大值为(

)

1 B.- 2 D.-5

[解析] 作出可行域如下图,当直线 y=2x+z 平移到经过可行域上点 A(1,-1)时,z

取最大值, ∴zmax=1.

12.不等式(1+x)(1-|x|)>0 的解集是( A.{x|0≤x<1} C.{x|-1<x<1} [答案] D

) B.{x|x<0 且 x≠-1 D.{x|x<1 且 x≠-1}

?x≥0 ?x<0 ? ? [解析] (1+x)(1-|x|)>0?? 或? 2 2 ? ? ??1+x? >0 ?1-x >0

?x<1 且 x≠-1. [点评] 也可以用检验的方法:令 x=0 满足排除 B;令 x=-2 满足排除 A,C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上)

?4x+3y+8>0 ? 13.不等式组?x<0 ?y<0 ?
[答案] (-1,-1)

表示的平面区域内的整点坐标是__________.

[解析] 作出不等式组表示的平面区域如下图,可见整点只有(-1,-1).

14.某超市推出如下优惠方案:(1)一次性购物不超过 100 元不享受优惠;(2)一次性购 物超过 100 元但不超过 300 元的一律九折;(3)一次性购物超过 300 元的一律八折,有人两 次购物分别付款 80 元,252 元.如果他一次性购买与上两次相同的商品,则应付款

________________________. [答案] 当第二次购物费超过 300 元时,应付 316 元; 当第二次购物费不超过 300 元时,应付 288 元. [解析] 该人一次性购物付款 80 元,据条件(1)、(2)知他没有享受优惠,故实际购物款 为 80 元;另一次购物付款 252 元,有两种可能,其一购物超过 300 元按八折计,则实际购 252 252 物款为 =315 元.其二购物超过 100 元但不超过 300 元按九折计算,则实际购物款为 0.8 0.9 =280 元.故该人两次购物总价值为 395 元或 360 元,若一次性购买这些商品应付款 316 元 或 288 元. 15 . 不 等 式 ax < 1 的 解 集 为 {x|x < 1 , 或 x > 2} , 则 a 的 值 为 x-1

______________________________. [答案] 1 2

ax [解析] 由题意知 x=2 是方程 =1 的根, x-1 1 ∴a= . 2 16 . 已 知 x , y 为 正 实 数 , 且 2x + 8y - xy = 0 , 则 x + y 的 最 小 值 为 ________________________. [答案] 18 [解析] 由 2x+8y-xy=0 得 2x+8y=xy, 2 8 ∴ + =1. y x 8 2 8y 2x ∴x+y=(x+y)? x+y?=10+ + ? ? x y 4y x =10+2? x +y?≥10+2×2× ? ? =18. 4y x 当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号,又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6. x y ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. [点评] 可以消元,消去 y= 2x 再用基本不等式求解. x-8 4y x · x y

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)若不等式组
? 2 ?x -x-2>0, ? 2 的整数解只有-2,求 k 的取值范围. ? ?2x +?2k+5?x+5k<0

[分析] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集,因此,分别求解两个不等式,就其 交集中只有整数-2,求 k. [解析] 由 x2-x-2>0,得 x<-1 或 x>2. 5 方程 2x2+(2k+5)x+5k=0 有两个实数解 x1=- ,x2=-k. 2 5 5 5 (1)当- >-k,即 k> 时,不等式 2x2+(2k+5)x+5k<0 的解为-k<x<- ,显然-2 2 2 2 5 ??-k,-2?. ? ? 5 (2)当-k=- 时,不等式 2x2+(2k+5)x+5k<0 解集为?. 2 5 5 5 (3)当- <-k,即 k< 时,不等式 2x2+(2k+5)x+5k<0 的解为- <x<-k. 2 2 2

?x<-1, ? ∴不等式组的解集由? 5 ? ?-2<x<-k, ?x>2, ? 或? 5 确定. ?-2<x<-k ?
∵原不等式组只有整数解-2,

?k<2, ? ∴?-k>-2, ?-k≤3. ?
5

∴-3≤k<2.

故所求 k 的取值范围是{k|-3≤k<2}.

?x<-1 ? [点评] -k>-2 保证不等式组 ?5 的解集中只含有整数-2;-k≤3 保证 ? ?2<x<-k ?x>2 ? ? 5 的解集中不含有整数,才能实现原不等式解集中只有整数-2. ? ?-2<x<4
18.(2010~2011· 鹿邑三高高二期中)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而 且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能 的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.投资人计划投资 金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项 目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? [解析] 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.

?x+y≤10, ?0.3x+0.1y≤1.8, 由题意知? x≥0, ?y≥0. ?
目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)

作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z,与可行域相交,直 线经过可行域上的 M 点时,z 取最大值,这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交 点.
? ?x+y=10, 解方程组? 得 x=4,y=6, ? ?0.3x+0.1y=1.8,

此时 z=1×4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时 z 取得最大值. 答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元 的提下,使可能的盈利最大. 19.(本小题满分 12 分)已知 x、y 都是正数,则满足 x+2y+xy=30,求 xy 的最大值, 并求出此时 x、y 的值. [解析] 解法 1: ∵x>0, y>0, ∴x+2y≥2 2· xy又 x+2y+xy=30, xy=t, 2 2 令 则 t+t2≤30,∵t>0∴0<t≤3 2,∴0<xy≤18. 当 xy=18 时,∵x=2y.∴x=6,y=3. 因此当 x=6,y=3 时,xy 取最大值 18. 30-x 解法 2:由 x+2y+xy=30 得 y= , x+2 ∵y>0,x>0,∴0<x<30 ?30-x?x x2-30x ∴xy= =- x+2 x+2

x?x+2?-32?x+2?+64 =- x+2 64 64 =-(x-32)- =-[(x+2)+ ]+34 x+2 x+2 30-6 64 ≤-2 64+34=18,等号在 x+2= 即 x=6 时成立,此时 y= =3.故当 x=6, x+2 6+2 y=3 时,xy 取最大值 18. 20.(本小题满分 12 分)设 x,y 满足约束条件

?x≥-3, ?y≥-4, ?-4x+3y≤12, ?4x+3y≤36, ?
(1)求目标函数 z=2x+3y 的最小值与最大值. (2)求目标函数 z=-4x+3y-24 的最小值与最大值. [解析] (1)作出可行域(如图 A 阴影部分). 令 z=0,作直线 l:2x+3y=0. 当把直线 l 向下平移时,所对应的 z=2x+3y 的值随之减小,所以,直线经过可行域的 顶点 B 时,z=2x+3y 取得最小值. 从图中可以看出,顶点 B 是直线 x=-3 与直线 y=-4 的交点,其坐标为(-3,-4); 当把 l 向上平移时,所对应的 z=2x+3y 的值随之增大,所以直线经过可行域的顶点 D 时,z=2x+3y 取得最大值.
? ?-4x+3y=12, 顶点 D 是直线-4x+3y=12 与直线 4x+3y=36 的交点, 解方程组? 可 ? ?4x+3y=36.

以求得顶点 D 的坐标为(3,8). 所以 zmin=2×(-3)+3×(-4)=-18,zmax=2×3+4×8=38. (2)可行域同(1)(如图 B 阴影部分). 作直线 l0:-4x+3y=0,把直线 l0 向下平移时,所对应的 z=-4x+3y 的值随之减小, 即 z=-4x+3y-24 的值随之减小,从图 B 可以看出,直线经过可行域顶点 C 时,z=-4x +3y-24 取得最小值.
?y=-4, ? 顶点 C 是直线 4x+3y=36 与直线 y=-4 的交点, 解方程组? 得到顶点 C ? ?4x+3y=36,

的坐标(12,-4),代入目标函数 z=-4x+3y-24,得 zmin=-4×12+3×(-4)-24=-84. 由于直线 l0 平行于直线-4x+3y=12,因此当把直线 l0 向上平移到 l1 时,l1 与可行域的 交点不止一个,而是线段 AD 上的所有点.此时 zmax=12-24=-12.

1 21.(本小题满分 12 分)①设 a,b,c∈R 且 a+b+c=1,求证 a2+b2+c2≥ ; 3 ②若 1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求 3a-2b 的取值范围. [解析] c2), 1 ∴a2+b2+c2≥ . 3
? ?m+n=3 ②令 3a-2b=m(a+b)+n(a-b),∴? , ? ?m-n=-2

①∵a+b+c=1,∴1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≤3(a2+b2+

?m=2 ∴? 5 ?n=2
1



1 5 ∴3a-2b= (a+b)+ (a-b) 2 2 1 1 5 ∵1≤a+b≤5,∴ ≤ (a+b)≤ , 2 2 2 5 5 15 ∵-1≤a-b≤3,∴- ≤ (a-b)≤ , 2 2 2 ∴-2≤3a-2b≤10. 22.(本小题满分 14 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 1 x1,x2 满足 0<x1<x2< . a (1)当 x∈(0,x1)时,求证:x<f(x)<x1; x1 (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,求证:x0< . 2 [证明] (1)令 F(x)=f(x)-x. ∵x1,x2 是方程 f(x)-x=0 的根, ∴F(x)=a(x-x1)(x-x2). 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0.又 a>0, 得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即 x<f(x). x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)]. 1 ∵0<x<x1<x2< , a

∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0. 得 x1-f(x)>0.由此得 f(x)<x1. ∴x<f(x)<x1. b (2)依题意知 x0=- . 2a ∵x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的根,即 x1、x2 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的根, 1-b ∴x1+x2= , a b a?x1+x2?-1 ax1+ax2-1 x0=- = = . 2a 2a 2a ax1 x1 ∵ax2<1,∴x0< = . 2a 2

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