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学案17两角和或差三角函数公式



学案 17

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

自主梳理 1.(1)两角和与差的余弦 cos(α+β)=_____________________________________________, cos(α-β)=_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin

(α+β)=_____________________________________________, sin(α-β)=_____________________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α+β)=_____________________________________________, tan(α-β)=_____________________________________________. π (α,β,α+β,α-β 均不等于 kπ+ ,k∈Z) 2 其变形为: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ), cos φ= ? ?sin φ= 其中? , ?tan φ=b ? a 自我检测 1.1 . (2013 年高考江西卷(文) ) 若 sin A. ? , , 角 φ 称为辅助角.

?
2

?

3 ,则 cos ? ? 3
C.





2 3

B. ?

1 3

1 3

D.

2 3

【答案】C

2. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知 sin2α = ,则 cos (α + )=

2





A.
【答案】A

B.

C.

D.

3【2012 高考江西文 4】若 A. -

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3 3 2

【答案】B 4.[2014· 全国卷 14] 函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. 【答案】

5 ( 2013 年高考课标 Ⅰ 卷(文) ) 设当 x ? ? 时 , 函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值 , 则

cos ? ? ______.
【答案】 ?

2 5 ; 5

探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 1 求值: (1)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )] 2sin280° ; (2)sin(θ+75° )+cos(θ+45° )- 3· cos(θ+15° ).

2cos 10° -sin 20° 变式迁移 1 求值:(1) ; sin 70° π π π π (2)tan( -θ)+tan( +θ)+ 3tan( -θ)tan( +θ). 6 6 6 6

探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值,求另一角的三角函数值) 例2 π 5 [2014· 江苏卷 15] 已知 α∈? ,π ?,sin α = . 5 ?2 ? (1)求 sin? π 5π ? +α?的值;(2)求 cos? ?4 ? ? 6 -2α?的值.

π ? 1 +α =2,tan β= . 变式迁移 2 (2011· 广州模拟)已知 tan? ?4 ? 2 (1)求 tan α 的值; sin?α+β?-2sin αcos β (2)求 的值. 2sin αsin β+cos?α+β?

探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值,求另一角的值) 例3 π 5π 3 2 [2014· 广东卷 16] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= ? 3? ? 12 ? 2 . π π (1)求 A 的值;(2)若 f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2? ? ?6 ?

变式迁移 3 (2011· 岳阳模拟)若 sin A= 的值.

5 10 ,sin B= ,且 A、B 均为钝角,求 A+B 5 10

1. 【2012 高考重庆文 5】

sin 47 ? sin17 cos 30 cos17

(A) ?

1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

2【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

3 ,则 sin 2? ? 5
(D)

24 25

(B) ?

12 25

(C)

12 25

24 25

3 . 14 . [2014· 新课标全国卷Ⅱ14] 函数 f(x) = sin(x + φ) - 2sin φ cos x 的最大值为 ________. 【答案】1
4(2013 年高考湖南(文) )已知函数 f(x)=

2? ) 的值; 3 1 (2) 求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合 4
(1) 求 f ( 5、 (2013 年高考广东卷(文) )已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

学案 17

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

自主梳理 1.(1)cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β (2)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β tan α+tan β tan α-tan β a b (3) 2. 2 2 2 1-tan αtan β 1+tan αtan β a +b a +b2 自我检测 1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 课堂活动区

例 1 解题导引 在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角 尽量向特殊角或可计算的角转化,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一 名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切; (3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式. 如果满足则直接使用, 如果不满足需转化一下角或转换一 下名称,就可以使用. 解 (1)原式 ?1+ 3sin 10° ??· 2sin 80° =?2sin 50° +sin 10° · cos 10° ?? ? ? cos 10° + 3sin 10° ? ?· 2 sin 80° =?2sin 50° ? +sin 10° · cos 10° ? ? 1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ?· 2cos 10° 2 2 =? ?2sin 50° ? +2sin 10° · cos 10° ? ? 2sin 10° sin 40° ? + =? cos 10° ?· 2cos 10° ?2sin 50° 2sin 60° = · 2cos 10° =2 2sin 60° cos 10° 3 =2 2× = 6. 2 (2)原式=sin[(θ+45° )+30° ]+cos(θ+45° )- 3· cos[(θ+45° )-30° ] 3 1 3 3 = sin(θ+45° )+ cos(θ+45° )+cos(θ+45° )- cos(θ+45° )- sin(θ+45° )=0. 2 2 2 2 2cos?30° -20° ?-sin 20° 变式迁移 1 解 (1)原式= sin 70° 3cos 20° +sin 20° -sin 20° 3cos 20° = = = 3. sin 70° sin 70° π π π π π π (2)原式=tan[( -θ)+( +θ)][1-tan( -θ)· tan( +θ)]+ 3tan( -θ)tan( +θ)= 3. 6 6 6 6 6 6 例2

2 5 解: (1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 5 2 5

? ?
?

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 3 (2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , 5 5

?

?

∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 6 6 6 2 5 2 5 10 π 1+tan α ? 变式迁移 2 解 (1)由 tan? ?4+α?=2,得1-tan α=2, 1 即 1+tan α=2-2tan α,∴tan α= . 3 sin?α+β?-2sin αcos β (2) 2sin αsin β+cos?α+β? sin αcos β+cos αsin β-2sin αcos β = 2sin αsin β+cos αcos β-sin αsin β -?sin αcos β-cos αsin β? -sin?α-β? = = cos αcos β+sin αsin β cos?α-β? tan α-tan β =-tan(α-β)=- 1+tan αtan β

?

? ?

1 1 - 3 2 1 =- = . 1 1 7 1+ × 3 2
解 : (1) f ( 5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 3 ? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin( ?? ? ) 3 3 ? 3(sin ? cos

?

?

?

?
3 3

例 3
? 6sin ? cos ? 3sin ? ? 3 ? sin ? ?

? cos ? sin ) ? 3(sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 3 3 3

?

?

?

?

3 ? 6 , ? ? (0, ),? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 3 2 3

? ? ? ? 6 ? f ( ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) ? 3cos ? ? 3 ? ? 6 6 6 3 2 3 5 10 变式迁移 3 解 ∵A、B 均为钝角且 sin A= ,sin B= , 5 10 2 2 5 ∴cos A=- 1-sin2A=- =- , 5 5 3 3 10 cos B=- 1-sin2B=- =- . 10 10 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 ? 3 10? 5 10 2 =- × - - × = .① 5 10 2 ? 10 ? 5 π π 又∵ <A<π, <B<π, 2 2 ∴π<A+B<2π.② 7π 由①②,知 A+B= . 4 课后练习区 1.C 2.A 3、1
4、(1) f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

?

? 1 3 1 1 ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? ? cos 2 x ? ) ? 3 3 2 2 2 4

?

1 ? 1 2? 1 3? 1 1 2? 1 sin(2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin ? ? ? .所以f ( ) ?? ? . 2 6 4 3 2 2 4 4 3 4

(2)由(1)知,

1 ? 1 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 0 ? (2 x ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ) 2 6 4 4 6 6 7? ? 7? ? ? x ? (k? ? , k? ? ), k ? Z .所以不等式的解集是: (k? ? , k? ? ), k ? Z . 12 12 12 12 f ( x) ?

?? ? ?? ? ? ?? ? f ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ? 3 12 ? ?4? 5【答案】(1) ? 3 ?
(2)

4 3 ? 3? ? cos ? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?



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