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命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)


归纳与技巧:命题及其关系、充分条件与必要条件 基础知识归纳 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真 的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 二、四种命题及其关系 1.四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p 2.四种命题间的逆否关系 3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 三、充分条件与必要条件 1.如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 2.如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 基础题必做 1.(教材习题改编)下列命题是真命题的为( 1 1 A.若 = ,则 x=y x y C.若 x=y,则 x= y ) B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2 1 1 解析:选 A 由 = 得 x=y,A 正确,易知 B、C、D 错误. x y π 2. 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 ) π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 解析:选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若 π π α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 4 3. 设集合 A,B,则 A?B 是 A∩B=A 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 由 A?B,得 A∩B=A;反过来,由 A∩B=A,且(A∩B)?B,得 A?B. 因此,A?B 是 A∩B=A 成立的充要条件. 4 . “ 在 △ ABC 中 , 若 ∠ C = 90°, 则 ∠ A 、 ∠ B 都 是 锐 角 ” 的 否 命 题 为 : ____________________. 解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C=90° , 结论:∠A、∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角”. 答案:“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角” 5.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 解析:①由 2>-3?/ 22>(-3)2 知,该命题为假;②由 a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|知,该命 题为真;③a>b?a+c>b+c,又 a+c>b+c?a>b,∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为 真命题. 答案:②③ 解题方法归纳 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即“p?q”?“q?p”; (2)传递性: 若 p 是 q 的充分(必要)条件, q 是 r 的充分(必要)条件, 则 p 是 r 的充分(必 要)条件. 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不 同,前者是“p?q”而后者是“q?p”. 2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个

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