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高中数学人教版必修1课件:3.1.1 方程的根与函数的零点


3.1

函数与方程

3.1.1

方程的根与函数的零点

函数的零点
[提出问题] 如图为函数f(x)在[-4,4]上的图象:

问题1:根据函数的图象,你能否得出方程f(x)=0的根的 个数? 提示:方程f(x)=0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的 横坐标,由题图可知,方程有3个根,即x=-3,-1,2. 问题2:你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系?
提示:方程的根是使函数值等于零的自变量值,也就是 函数图象与x轴交点的横坐标.

[导入新知] 1.函数的零点 对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)=0 有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y =f(x) 有零点 .

[化解疑难] 函数零点的本质 (1)函数的零点的本质是方程 f(x)=0 的实数根,因此,函数 的零点不是点,而是一个实数.例如函数 f(x)=x+ 1,当 f(x)= x + 1= 0 时,仅有一个实数根 x=- 1,所以函数 f(x)= x+ 1 有一 个零点- 1,由此可见函数 f(x)=x+ 1 的零点是一个实数-1,而 不是一个点. (2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的, 若方程 没有实数根,则函数没有零点.

函数零点的判断
[提出问题] 函数f(x)=x2-4x+3的图象如图.

问题1:函数的零点是什么? 提示:1,3.
问题2:判断f(0)· f(2)与f(2)· f(4)的符号.

提示:∵f(0)=3,f(2)=-1,f(4)=3, ∴f(0)· f(2)<0,f(2)· f(4)<0.

[导入新知] 函数零点的存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断 的一

f(b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 条曲线,并且有 f(a)·
内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这个c也就是方 程f(x)=0的根.

[化解疑难] 对函数零点存在性的探究 1 (1)并不是所有的函数都有零点,如函数y=x. (2)当函数y=f(x)同时满足:①函数的图象在[a,b]上是连 续曲线;②f(a)· f(b)<0.则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少 有一个零点,但是不能明确说明有几个. (3)当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线,但是不 满足f(a)· f(b)<0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点, 也可能不存在零点.

求函数的零点
[例1] (1)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.

x+ 3 (1)f(x)= x ;(2)f(x)=x2+2x+4; (3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.

x+3 [解] (1)令 x =0,解得x=-3, x+3 所以函数f(x)= x 的零点是x=-3.

(2)令x2+2x+4=0, 由于Δ=22-4×1×4=-12<0, 所以方程x2+2x+4=0无实数根, 所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. (3)令2x-3=0,解得x=log23. 所以函数f(x)=2x-3的零点是x=log23. (4)令1-log3x=0,解得x=3, 所以函数f(x)=1-log3x的零点是x=3.

[类题通法] 函数零点的求法 求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0.若方程f(x)= 0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零 点;否则,函数f(x)不存在零点.

[活学活用] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=-x2-4x-4; ?x-1??x2-4x+3? (2)f(x)= ; x-3 (3)f(x)=4x+5; (4)f(x)=log3(x+1).

解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2, 所以函数的零点为x=-2. ?x-1??x2-4x+3? (2)令 =0,解得x=1, x-3 所以函数的零点为x=1. (3)令4x+5=0,则4x=-5<0,无解,即方程4x+5=0无实数根, 所以函数不存在零点. (4)令log3(x+1)=0,解得x=0, 所以函数的零点为x=0.

判断函数零点所在的区间
[例2] (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:

x y

-3 6

-2 m

-1 -4

0
-6

1
-6

2
-4

3 n

4 6

不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在 的区间是 A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞) ( )

6 (2)(北京高考)已知函数f(x)= x -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是 A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞) ( )

[解析]

(1)利用f(a)f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)内有根来判

定.∵f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,∴在(-3,-1)内必有 根.又∵f(2)=-4<0,f(4)=6>0, ∴在(2,4)内必有根. 3 (2)因为f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= - 2 1 log24=- <0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4). 2 [答案] (1)A (2)C

[类题通法] 确定函数零点所在区间的方法 确定函数的零点、方程的根所在的区间时,通常利用零点 存在性定理,转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否 相反.

[活学活用] 在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(
? 1 ? A.?-4,0? ? ? ? 1? B.?0,4? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

)

解析:显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图,作出y=ex与y =3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在
? ?1? 4 3? 区间?0,4?内,又f?4?= ? ? ? ? ?1? e-2<0,f?2?= ? ?

e-1>0,故选C.

答案:C

判断函数零点的个数 1 [例3] (1)函数f(x)=ln x- 的零点的个数是 x-1
A.0 B.1 C.2 D.3 (2)判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.

(

)

1 [解] (1)选C 在同一坐标系中画出y=ln x与y= 的图 x- 1 1 象,如图所示,函数y=ln x与y= 的图象有两个交点,所以 x- 1 1 函数f(x)=ln x- 的零点个数为2. x-1

(2)法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0, f(2)=4+lg 3-2>0, ∴f(x)在(0,2)上必定存在零点, 又∵f(x)=2x+lg(x+1)-2在(0,+∞)上为增函数, 故f(x)有且只有一个零点. 法二:在同一坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.由 图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,

即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.

[类题通法] 判断函数零点个数的方法 判断函数零点的个数主要有以下几种方法: 方法一:直接求出函数的零点进行判断; 方法二:结合函数图象进行判断; 方法三:借助函数的单调性进行判断.若函数f(x)在区间 [a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单 调,满足f(a)· f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零 点,如图所示.

[活学活用] ?|2x-1|, ? 已知函数f(x)= ? 3 , ? ?x-1 x<2, x≥2, 若方程f(x)-a=0有三个 ( )

不同的实数根,则实数a的取值范围为 A.(1,3) C.(0,2) B.(0,3) D.(0,1)

解析:在同一直角坐标系中分别画出函数y=f(x)和y=a的图象 如图所示,

观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函 数y=f(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点,此时需满足0< a<1. 答案:D

10.因函数图象不连续造成判断失误
[典例] A.0 C.2 1 函数f(x)=x+x的零点个数为 B.1 D.3 ( )

[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时, f(x)>0;当x<0时,f(x)<0.所以函数没有零点,故选A. [答案] A

[易错防范] 1.函数的定义域决定了函数的一切性质,分析函数的有 1 关问题时必须先求出定义域,通过作图,可知函数f(x)=x+ x 的图象不是连续的.若忽视该特征,易由f(-1)<0,f(1)>0,得 出错误的答案B. 2.零点存在性定理成立的条件有两个:一是函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;二是f(a)· f(b)<0. 这两个条件缺一不可,如果其中一个条件不成立,那么就不能 使用该定理.

[活学活用]
2 ? x ? +2x-3,x≤0, 函数f(x)=? ? ?-2+ln x,x>0

的零点个数为

(

)

A.0 C.2

B.1 D.3

解析:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3; 当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,
2 ? ?x +2x-3,x≤0, 所以函数f(x)=? ? ?-2+ln x,x>0

有2个零点.

答案:C

[随堂即时演练]
1.函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间 A.(5,6) C.(2,3) B.(3,4) D.(1,2) ( )

解析:f(3)=log33-8+2×3=-1<0,f(4)=log34-8+ 2×4=log34>0.又因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以其 零点一定位于区间(3,4). 答案:B

2.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的 零点 A.至多有一个 C.有且仅有一个 B.有一个或两个 D.一个也没有 ( )

解析:若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)· f(2)<0得零 点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为二次函数,如有 两个零点,则必有f(1)· f(2)>0,与已知矛盾. 答案:C

3.已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2 -ax-1的零点是________.

解析:由题意知,方程x2-ax-b=0的两根为2,3,
? ?2+3=a, ∴? ? ?2×3=-b,
2

即a=5,b=-6,
2

1 1 ∴方程bx -ax-1=-6x -5x-1=0的根为- ,- ,即为 2 3 函数g(x)的零点. 1 1 答案:- ,- 2 3

4.函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*, 则a+b=________.

解析:∵b-a=1,a,b∈N*,f(1)=3+1-5=-1<0,f(2) =9+2-5=6>0,∴f(1)· f(2)<0,∴a+b=3. 答案:3

5.求函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数.

解:令f(x)=0,即log2x-x+2=0, 即log2x=x-2. 令y1=log2x,y2=x-2. 画出两个函数的大致图象,如图所示.

有两个不同的交点. 所以函数f(x)=log2x-x+2有两个零点.

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