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方程的根与函数的零点(区级公开课)



§3.1.1 方程的根与函数的零点
预备练习:求以下三个方程的根
(1)x ? 2x ? 3 ? 0 (2)x ? 2x ? 1 ? 0 (3)x ? 2x ? 3 ? 0
2 2 2

-1,3 1

无实数根

方程 y=0 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根


函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3
.
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2 1

. .
-1 -2

. . . .
2

.
3 2 1
-1

.

.

5 4

0

1

2

3

x
-1

1

.
1

.
2

.

-3 -4

0

1

x

. x1=x2=1 (1,0)

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根 无交点

这里,方程的实数根就是函 数图象与x轴交点的横坐标.

一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 思考: 的根与二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )
2

的图像有什么关系?

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系:
判别式?
y=ax2+bx+c 的图象

?>0
y

??0
y
x2 x

?<0
y

x1

0

0

x1

x

0

x

ax2+bx+c=0 的根

两个不相等的 实数根x1 、x2

有两个相等的 实数根x1 = x2
b ? ? ? ,0 ? ? ? 2a ?

没有实数根 没有交点

函数的图象与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0) (x1,0)即

一、函数零点的定义:
对于函数 y
? f ( x ) ,把使 f ( x ) ? 0 的实数 x

叫做函数 y ? f ( x ) 的零点.

零点指的是一个实数. 思考:零点是不是点?
函数 y ? f ( x )的零点
?

方程 f ( x ) ? 0的实数根
?

函数 y ? f ( x )图象与 x 轴交点的横坐标

求下列函数的零点:

?1 ? f ( x ) ? ?3 ? f ( x ) ?

x?1 2
x

?2 ? f ( x ) ?

x ? 4x ? 3
2

?4

?4 ? f ( x ) ?

log

2

x?1

答 : (1 ) x ? ? 1 案

( 2 ) x ? 1, x ? 3

(3) x ? 2

(4) x ? 2

变式1: 函数f(x)=Lnx+2x-6在[2,6]上是否有零点?

观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
1. f(-2)=
f(-2) f(1)

5 ,f(1) = -4 <
0 (填“>”或“<”)-2

y
2 1 1 -1 -2 2 3 4

发现在区间(-2,1)上有零点 2. f(2)=

-1

-1 0 -3 -4

x

-3 ,f(4) = 5

< 0 (填“>”或“<”) 发现在区间(2,4)上有零点 3

f(2) f(4)

思考:函数在区间端点上的函数值的符号情况,与 函数零点是否存在某种关系? 观察函数f(x)的图像
y x

有 1. 在区间(a,b)上____(有/无)零点; f(a)· f(b) ____ 0(填<或>). < 有 2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点; < f(b)·f(c)____ 0(填<或>).

0

猜想: f(a)· f(b)< 0 若函数在区间[a,b]上图象是连续的,如果有 成立, 那么函数在区间(a,b)上有零点。

二、函数零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线,并且有

f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ,使得 f(c) =0, 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。

定理理解:判断正误 错 (1) f(a)· f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
(2) 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点,则f(a)· f(b)<0。 错 错 (3) f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。
y y
2

y

a a
-5

0

b

x

x 0
-2

a

x1

b

x

0

b

函数零点存在定理的三个注意点: 1 函数是连续的。
-4

2 定理不可逆。

3 至少存在一个零点。
-6

函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 在下列哪个区间 上有零点( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:
f ?1 ? ? ? 4 f ?3 ? ? ln 3 ? 0 ? f ? 2 ? ? f ?3 ? ? 0 f ? 2 ? ? ln 2 ? 2 ? 0 f ? 4 ? ? ln 4 ? 2 ? 0

变式2:
函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 在(2,3)上有多少个零点?

例1:求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数?
例 1:求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 解:用计算器作出 x、f(x)的对应值表. x f(x) 由 表 格 可 知 f(2)<0,f(3)>0 , 即 f(2)〃f(3)<0, 说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由 于函数 f(x)在定义域(0,+∞)内是增函 数,所以它仅有一个零点. 1 2 3 4 5

例1:求函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数.
解法2:
函数 y ? f ( x )的零点个数等于方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的根个数
则 ln x ? ? 2 x ? 6

y 2


该方程的解个数等于函 y ? ln x 与 y ? ? 2 x ? 6 的交点个数,如图
故 数 函

1
0

1

2

3

4

x

-1 -2

x0

f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6 有 个 点 一 零

练习2:方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 在下列哪个区间 上有零点( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解法二:
ln x ? ? 2 x ? 6
f ? x ? ? ln x g ?x ? ? ?2 x ? 6

y 2
1
0

1

2

3

4

x

-1 -2

x0

三、求函数零点或零点个数的方法:
(1)定义法:解方程 f(x)=0, 得出函数的零点。

(2)图象法:画出y= f(x)的图象,其图象
与x轴交点的横坐标。 (3)定理法:函数零点存在性定理。

练习3:下列函数在区间(1,2)上有零

点的是( D ) (A) f(x)=3x2-4x+5
(C) f(x)=lnx-3x+6

(B) f(x)=x? -5x-5 (D) f(x)=ex+3x-6

练习4:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有

零点( B )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

【总一总★成竹在胸】

?

一元二次方程的根及其相应

二次函数的图象与x轴交点的关系;

? 函数零点的概念; ? 函数零点与方程的根的关系. ?函数零点存在性定理

课后作业:

p92

2



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