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灌南高级中学高二数学


复数和空间向量复习案 主备人:李彦琼
一、热身训练 1、 设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i,则 z 的虚部是____ ______

2、复平面内,复数 6 ? 5i, ?2 ? 3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中点,则 C 对应的复数是________

3、已知复数 z ?

3 ?i (1 ? 3i)2

,则 z ?

___

4、复数

1 ? i 2013 ? i 对应的点位于复平面内的第 1? i

___象限 __

5、关于 x 的方程 x2 ? (k ? 2i) x ? 2 ? ki ? 0 有实根,则纯虚数 k = 二、经典例题 例1、 已知 z, w ? C ,(1 ? 3i) z 为纯虚数, w ?
z ,且 w ? 5 2 ,求 w 2?i

PB与底面ABCD 所成的角为 例 2、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面ABCD ,
是直角梯形,点 E 是 PD 的中点, ?ABC ? ?BAD ? (1)求证: 平面 PAC ? 平面 PCD (2)在棱 PD 上是否存在一点 E ,使 CE (3)求二面角 P ? CD ? B 的余弦值

?
2

? , 底面 ABCD 4

, PA ? BC ?

1 AD 2

平面 PAB ?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,说明理由

例 3、四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 PG =4, AG ?

1 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. 3

P

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求

PF 的值. FC
B

A

G

F D C

E

E 是线段 D1O 上一点,且 D1E ? ? EO 例 4、在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O 是 AC 的中点,
(1)若 ? ? 1 ,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值 (2)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值

课后反馈 1、设 a 是实数,且

a
1+i
n



1+i 是实数,则 a=________. 2
*

2、z 是复数,f(z)=z (n∈N ),对虚数单位 i,则 f(1+i)取得最小正整数时,n 的值是________. 3、定义运算? 1-i a b? ?4i xi ? ?c d?=ad-bc.若复数 x=1+i,y=? 2 x+i?,则 y=________.

4、已知复数 z ? ?1 ? i (为虚数单位) ,计算:
1? i 6 1 3 5 ) ? (? ? i) ? 5、 ( 1? i 2 2
6、已知 z 是复数,z+2i、 则实数 a 的取值范围是

z?z ? z?z

____

z
2-i

均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限, __.

2

7、正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 4,D 为的 CC1 中点。 (1) 求证:AB1 ⊥平面 A1 BD ; (2) 求二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值。

8 、 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC , 平 面 中 ABC ? 平 面 APC , AB ? BC ? AP ? PC ? 2 ,

?ABC ? ?APC ?

?
2

, (1)求直线 PA 和平面 PBC 所成角的正弦值

(2)动点 M 在底面 ?ABC 上,二面角 M ? PA ? C 的余弦值为

3 11 ,求 BM 的最小值 11

9、如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1B ? 平面ABC , AB ? AC ,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值为 2 5 . 5
C1 B1 A1

C B

A

10、在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0) ,PA⊥平面 AC,且 PA=1 P . (1)试建立适当的坐标系,并写出点 P、B、D 的坐标; (2)问当实数 a 在什么范围时,BC 边上能存在点 Q, A 使得 PQ⊥QD? (3)当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ⊥QD 时, 求二面角 Q-PD-A 的大小. B Q C

D


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