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【数学】2.2.2 对数函数及其性质 课件1(人教A版必修1)



第二章 基本初等函数(I) 2.2.2 对数函数及其性质

北京青年报曾报道: 潮白河底挖出冰冻古 树可能是山杨,专家 经过检测可推断树的 埋藏时间 .
? 你知道专家是根据什 么推断树的埋藏时间 的吗?

考古学家一般通过提取附着在出土文物、古 遗址上死亡的残留物,利用 t ? log 1 P 估计出土文物或古遗址的年代。

t 能不能看成是 P 的函数?
5730

2

根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14 含量P,通过对应关系 t ? log P ,都有唯
5730

1 2

一确定的年代 t 与它对应,所以,t 是P的函数。

? 湖南长沙马王堆汉墓 女尸出土时碳14的残 余量约占原始含量的 76.7%. ? 试推算马王堆古墓 的年代.

t ? log
5730

1 2

P ? log
5730

1 2

0.767

? 2193

一般地,函数y = loga x (a>0,且a≠ 1) 叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义 域是( 0 , +∞)
求下列函数的定义域:
(1) y ? log a x 2
7

想 为什么函数的定义域是(0,+∞)? 1 1 (3) y一log ? ( 4) y ? 即真数大于0? x ?1 log 3 x 想 (1){x|x≠0}(2){x|x<4} ?
(3){x|x>1} (4){x|x>0且x≠1}

(2) y ? log a (4 ? x)

对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质
在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log 2 x和y ? log 1 x 的图象。
作图步骤: ①列表,
②描点, ③连线。
2

作y=log2x图象
X 1/4 1/2 列 表 y=log2x -2 -1 1 0 2 1 4 2 ….. …

描 点

y
2 1
0
11 42

1

2

3

4

x

连 线

-1 -2

作y=log0.5x图像 列 表 描 点

x
y ? log 2 x
y ? log 1 x
y 2 1
0
11 42
2

1/4 1/2 1
-2 2 -1 1 0 0

2
1 -1

4
2 -2

1

2

3

4

x

连 线

-1 -2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

(3)根据对称性(关于x轴对称)已知 的图象,你能画出 y 1

f ( x) ? log 3 x

f ( x) ? log 1 x 的图象吗?
3

o

1

x

(4)当 0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?

反函数定义 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量

作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作
为新的函数的因变量,称这两个函数互为反函数。
y ? f ( x) 的反函数通常用 y ? f ?1 ( x) 表示。

说明: ① 函数必须是一一映射。 ② 原函数的定义域是其反函数的值域, 原函数的值域是其反函数的定义域。 由上面我们可以看出 y ? log 2 x和y ? log 1 x互为反函数
2

概括:对数函数y = loga x (a>0,且a≠ 1)和指数函数 y =a x (a>0,且a≠ 1)互为反函数.

对数函数y=logax (a>0,且a≠1) 的图象与性质 a>1 图 象 性 质
( 0,+∞) 定义域 : 值 域 : R (1 ,0), 即当x =1时,y=0 过定点

0<a<1

在(0,+∞)上是 增函数 当x>1时, y>0 当x=1时, y=0 当0<x<1时,y<0

在(0,+∞)上是 减函数 当x>1时, y<0 当x=1时, y=0 当0<x<1时,y>0

下列是6个对数函数的图象比较它们底数的大小 法一: 规律:在 x=1的右边看图象,图象越高 底数越小. y y ? log a x 即图高底小
1

0

1

y ? log a2 x y ? log a3 x
x

y ? log a4 x

y ? log a5 x y ? log a6 x

法2:做直线y=1,观察与各图像交点横坐标即可 知道底数大小。

y

图 形

y=log

2

x y=log
10

x x

0

1
y=log
0.5

y=log 0.1 x

x

补充 底数互为倒数的两个对数函数的图象 性质 关于x轴对称。 一 补充 底数a>1时,底数越大,其图象越接近x 性质 轴。 底数0<a<1时,底数越小,其图象越接近 二
x轴。

例1 求下列函数的定义域:

(1) y ? log a x

2

( 2) y ? log a (4 ? x )
解:(1)因为x ? 0,即x ? 0, 所以函数
2

y ? log a x 的定义域是 ? x x ? 0?.
2

(2)因为4-x ? 0,即x ? 4, 所以函数 y ? log (4-x)的定义域是 ? x x ? 4?. a

? 例2比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 解法1:画图找点比高低 解法2:利用对数函数的单调性 y ? log2 x 考察函数y=log 2 x , y log28.5 ∵a=2 > 1, log23.4 ∴函数在区间(0,+∞) 上是增函数;
0
1 3.4 8.5

x

∵3.4<8.5

∴ log23.4< log28.5

∴ log23.4< log28.5

? 例2 比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 (2)解法1:画图找点比高低 解法2:考察函数y=log 0.3 x ,

∵a=0.3< 1,
∴函数在区间(0,+∞)上是减函数;

∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
小结

? 例2 比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 比较两个同底对数值的大小时:

1.观察底数是大于1还是小于1



( a>1时为增函数

0<a<1时为减函数) 结 2.比较真数值的大小;

3.根据单调性得出结果。

例2 比较下列各组中,两个值的大小:
?(3) loga5.1与 loga5.9

解: ①若a>1则函数在区间(0,+∞)上是增函数;
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间(0,+∞)上是减函 数; ∵5.1<5.9

∴ loga5.1 > loga5.9
注意:若底数不确定,那就要对底数进行分 类讨论即0<a<1 和 a > 1

你能口答吗?

变一变还能口答吗?

log10 6    10 8 log10 m   10 n 则 m  n < log < <log <    > log log 0.5 6    0.5 8 log 0.5 m>log 0.5 n 则 m  n
< log 2 m   2 n 则 m  n log > log 2 0.6   2 0.8 > log
3 3
3 3

log1.5 6    1.5 8 < log

< log1.5 m    1.5 n 则 m  n < log



比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa=1 提示: log a1=0

解: ⑴∵log67>log66=1 log76<log77=1 ∴ log67>log76

⑵ ∵log3π>log31=0 log20.8<log21=0 ∴ log3π>log20.8

注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小 小技巧:判断对数 log b 与0的大小是
a

只要比较(a-1)(b-1)与0的大小



比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa=1 提示: log a1=0

注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小 小技巧:判断对数 log a b 与0的大小是 只要比较(a-1)(b-1)与0的大小

一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质; 三、比较两个对数值的大小.

对数函数y=logax (a>0,a≠1) 的图象与性质 a>1 图 象 性 质
y 0 (1,0) x

0<a<1
y
0 (1,0) x

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0

当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

比较两个对数值的大小. ㈠ 若底数为同一常数,则可由对数函数的单 调性直接进行判断. ㈡ 若底数为同一字母,则按对数函数的单调 性对底数进行分类讨论. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借助1、0、 -1等中间量进行比较



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