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2014高考调研理科数学课本讲解



高考调研

新课标版 · 数学(理)

第 3 课时 两 和 差 三 函 角与的角数

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2013?考纲下载

/>
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦.

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请注意!
本课主要题型有:①三角函数式的化简与求值;②三角函 数式的简单证明.这部分知识难度已较以前有所降低,应适当 控制其难度.

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1.两角和的正弦、余弦、正切公式 n ( i) 1 s 2 c (s o ) α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ . .

a n 3 ( t )

tanα+tanβ α+β)= 1-tanαtanβ .

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2.两角差的正弦、余弦、正切公式 n i) 1 s ( 2 c (s o ) αc β-c αs β= sin(α-β) o s o n s i αc β+s αs β= cos(α-β) o s n n i i

a α-t β n t a n 3 ( ) = tan(α-β) 1+t αt β a a n n

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3.常用公式的变化形式 1 as α+bc α= a2+b2n ( n ) i o s ( i s α+φ),

其中 c φ= o s

a b a2+b2 ,s φ= a2+b2 n i

或 as x+bc x= a2+b2c n i o s o ( s

x-θ),
a a2+b2 .

其中 c θ= o s

b a2+b2 ,s θ= n i

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a n 2 t ( )

α+t β=t a n a n (

α+β)(1-t αt β). a a n n

1-t α a n 3 ( ) =t a n ( 1+t α a n 1+t α a n 4 ( ) =t a n ( 1-t α a n

π 4-α). π 4+α).

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1.(1 20 0· 于 1 A. 2 2 C. 2 答案 A

福建)计算 sino° 41 33 ° c s

+so3 n° 41° i70 c s

的结果等 ( )

3 B. 3 3 D. 2

解析 =s n° 3 i0

原 = n° 式 41 i33 ss° c o

-cn° oi3 4 ss 3 1 °

=s n 4 (° i 3

-1 3 ) °

1 =2.
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1 1 2. 知 n αs β= 3,c αc β=-6,则 c 已 i n s i o o s s o ( s -β)的值分别为 1 1 A.-2,6 1 1 C. ,- 2 6
答案 A

α+β),c o ( s ( )

α

1 1 B.2,6 1 1 D.- ,- 2 6
1 1 1 α+β) =c αc β-n αs β=- - =- , o o s s i n s i 6 3 2

解析 c o ( s

c o ( s

1 1 1 α-β)=c αc β+s αs β=- + = .故选 A. o o s s n n i i 6 3 6
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3.化简 c o ( s A.s n 2 ( i C.c α o s
答案 C

α-β) c o s

β-s n ( i

α-β) n i s B.c o ( s

β 的结果为

(

)

α+β)

α-2β)

D.c β o s

解析 等式即 c o ( s

α-β+β)=c α. o s

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4.c o s A.0 C.1



n i 8-s



8等于 2 B. 2 2 D.- 2

(

)

答案 B

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5.已知 a α+t β=2,t n t a n a n ( ________.

α+β) =4,则 tanα· β= a n t

1 答案 2
a α+t β n t a n 2 1 1 解析 a α· β=1- n a t n t =1-4=2.故填2. a ?α+β? n t

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n 7 i° s 例1 1 求 ( ) c o 7 s 2 求 co° ( ) 21 os 00 t° c 3 求 a° ( ) n 2 t0

+c5 oi 1 s° n 8 s -s n° 1 i5 n 8 i s + 3s n° a 1 i7 t· 0

的值. -20 c° o 4 s 的. 值

+4° n 2 i0 s

的值.

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n ?1 -8° o° i 5 s ° ?+c8 1 ss 5 n i 【解析】 1 原式= ( ) c ?15° o s -8° n° ?-s 1 i5 n 8 i s n° 18 i5° so c s = c° oo 18 ss 5° c =t5 a° n 1 =t5 a° n 4 ( a° n 4 t5 -t0 a° n 3 -3 = 0 ) ° 1+ta0 an° n° 4 5 t 3

3 1- 3 3-1 = = =2- 3. 3 3+1 1+ 3

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2 原 = a· ( 式 ns ) 7° t0 c o 1 ° 0 =t0° ac n° 7s o (0 1 =2· a° n 7 ts 4 i 0 n° 7 i0 s =2(c° o 7 s 0 n° 70 i0° s n 4 i s =2 -c0 o° 1 s =2 c° o 7 s 0 n° 4 i· s 0 + 3s0 n° 1° ia 0 n t 7 + 3s n° 1 i0 ) -20 c° o 4 s -c0 o° 4 s ) -cc0 o° 47 so° 0 s c° o 7 s 0 c° o 7 s 0 =2· c° o 7 s 0 =2. -20 c° o 4 s

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-20 c° o 4 s

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n° 2 i0 s 3 原式= ( ) c° o 2 s 0 n° 2 i0 s = +4° no° 22 i00 ss c c° o 2 s 0

+4° n 2 i0 s n° 2 i0 s +2° n 4 i0 s = c° o 2 s 0 ?30° 0 ? +1 ° 3 c° o 1 s 0 2 c° o 2 s 0 1 + n° 1 i0 s 2

n ?3 -1 ?+2 i 0 s ° 0 ° n i s = c° o 2 s 0 3 c° o 1 s 0 2 = 3 + n° 1 i0 s 2 c° o 2 s 0

= 3

c ?30° 0 ? o s -1 ° = 3 = 3. c° o 2 s 0
【答案】 1 2 ( ) - 3 2 ( )
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3 ( )

3
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探究 1 1 注意观察各角之间的内在关系. ( ) 2 注意公式的逆运用进行化简. ( )

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思考题 1

1+c° o 2 s 0 求值: n° 2 i0 s
2

-s n° 1 i0

1 (a° -t) a° n 5 n 5 t



2 c o s 【解析】 原式= 2×21 n° 1s° i00 so c c° o 1 s 0 =n° 2 1 i0 s c° o 1 s 0 = n° 2 1 i0 s -s n° 1 i0 · -s n° 1 i0 · c o s
2

10°
2

-s n 1 i0 ( °

c o 5 s ° n 5 i° s

n 5 i° s -c o 5 s °

)

5° n -s i n5 5° ic ss ° o .



c° o 1 s 0 1 1 i0 s 2n°

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高考调研 co 1 s 0 ° =n° 2 1 i0 s

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-20 c° o 1 s

c° o 1 s 0 -2° n 2 i0 s = n° 2 1 i0 s c° o 1 s 0 = c° o 1 s 0 = 3s n° 1 i0 = n° 2 1 i0 s
【答案】

-2 ?30° 0 ? n i s -1 ° n° 2 1 i0 s 1 -2?2c° o 1 s 0 n° 2 1 i0 s 3 =2.
3 2
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3 - 2 n° 1 i0 s

?

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π 4 π π 例 2 1 已知 n α+ )=- ,α∈(- , ),求 n α 的值. ( ) ( i s i s 6 5 2 2 π π 【解析】 ∵α∈(- , ), 2 2
π π 2π ∴α+6∈(-3, 3 ). 又n ( i s π 4 α+6)=-5<0,

π π ∴α+ ∈(- ,0). 6 3
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∴c o ( s

π α+ )= 6

1-s n i

2

π 3 ?α+ ?= . 6 5

∴s α=s n i n ( [ i =s n ( i π α+6c o ) s

π π α+6)-6] π o ( s 6-c π α+6n i) s π 6

4 3+3 4 3 31 =(-5) 2 -5·=- 10 . 2

4 3+3 【答案】 - 10
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π 3 2 已知 0<β<4<α<4π,c ( ) o ( s 求n ( i s α+β)的值.

π 3 n ( i 4-α)=5,s

3π 5 4 +β)=13,

【思路】 比 给 的 与 求 中 角 关 , 难 较出角待式的的系不发 3π π π 现( +β)-( -α)= +(α+β), 者 先 或是将 4 4 2 n ( i s c o ( s π -α)变化为 4

π π 3 再用导 4+α),再考虑( 4+α)+( 4 π+β)=π+(α+β), 利 诱 公

式即可出现 α+β, 只 求 相 角 正 弦 , 用 角 故 需 出 应 的 余 值利 两 和 与差的三角公式即可.
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【解析】 c o ( s

π -α)=s n ( i 4

π 3 α+ )= , 4 5

π π ∵2<α+4<π, ∴c o ( s ∵s n ( i π 4 α+4)=-5. 3π 5 3π 3π +β)= , <β+ <π, 4 13 4 4

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∴c o ( s ∴s n ( i =-[ n ( i s 56 = . 65

3π 12 +β)=- . 4 13 α+β)=-s n ( i π α+4c o ) ( s π 3π α+4+β+ 4 ) 3π β+ 4 )+s n ( i 3π β+ 4 c o ( · s ) π α+4)]

56 【答案】 65

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探究 2 本 属 “给 求 题 值值

”问 , 常 认 观 所 题通是真察给

函数值中的角与所求函数式中的角之间的联系,通过“变 角”“拼角”等手段来求解.

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π π 思考题 2 1 已知- <β< α< ,o ( ) 0 < c ( s 2 2 5 ,求 n α 的值. i s 13

3 α-β)= , β=- n i s 5

1 1 2 若 c α+c β= ,s α+s β= ,求 c ( ) o s o s n i n i o ( s 2 3

α-β)的值.

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【解 】 析 ∵c o ( s

π π 1 ∵- <β< α< ,∴0<α-β< ( ) 0 < π . 2 2 4 α-β)= . 5

3 α-β)= ,∴s n ( i 5

5 π 12 又∵s β= n i - , - <β<0,∴c β= . o s 13 2 13 故 n α=s i s n ( [ i α-β)+β]=s n ( i α-β) c o s β+c o ( s 4 α-β) β= n i· s 5

12 3 5 33 × + ×(- )= . 13 5 13 65

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2 【思路】 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的 ( ) 熟练运用. 因为 c o ( s α-β)=c αc β+s αs β, 以 已 两 平 o o s s n n i i 所将知式方

后相加可得.

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1 【解析】 ∵c α+c β=2,① o s o s 1 n α+s β= ,② i s n i 3 ①2+②2,得 2+2 c o ( s 1 1 α· β+s α· β)=4+9. c o s n n i i s

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13 59 即 2+2 c o ( s α-β)=36.∴c α-β)=-72. o ( s 33 59 【答案】 1 65 2 -72 ( ) ( )

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1 例 3 已知 c α=7,c o s o ( s 1 求a ( ) n 2 t 2 求 β. ( ) 【析 解】 α 的值;
1 π 1 由 c α= ,0<α< , ( ) o s 得 7 2
2

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13 π α-β)=14,且 0<β<α<2.

n α= 1-c i s o s

α=

12 4 3 1-?7? = 7 .

n α 4 3 7 i s ∴t α= a n = × =4 3. 7 1 c α o s 于 a 是 n 2 t 2×4 3 a α 2 n t 8 3 α= = = - . 47 1-t 2α 1-?4 3?2 a n
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π π 2 由 0<β<α< , 0<α-β< . ( ) 得 2 2 又∵c o ( s ∴s n ( i 13 α-β)= , 14
2

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α-β)= 1-c o s

?α-β?=

13 2 3 3 1-?14? = 14 . α-(α-β)]

由 β=α-(α-β), c β=c 得 o s o [ s =c αc o o s ( s α-β)+s αs n n i ( i α-β)

1 13 4 3 3 3 1 π = × + × = . ∴β= . 7 14 7 14 2 3 8 3 π 【答案】 (1)- 47 2 β=3 ( )
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探究 3 在 决 角 数 值 题 , 定 注 已 角 解三函求问时一要意知 与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β=β-(β-α); 1 α=2[(α+β)+(α-β)]; 1 α=2[(β+α)-(β-α)]等.

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思考题 3

已知 α,β 为 角 且 锐,

4 c α= ,c o s o ( s 5

α+β)=-

16 ,求 cosβ 的值. 65
【思路】 本题需要将 β 变为(α+β)-α, 造 件 用 创条利公 式.

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π 【解析】 ∵0<α,β< ,∴0<α+β< π . 2 由c o ( s 16 α+β)=-65,得 n ( i s 63 α+β)=65.

4 3 又∵c α= 5,∴s α=5. o s n i ∴c β=c o s o ( [ s =c o ( s α+β) c o s α+β)-α] α+s n ( i α+β) n i s α

16 4 63 3 5 =(-65)×5+65×5=13.

5 【答案】 13
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例 4 化简下列各式: n ?α+β?-2 αc β i s n i s o s 1 ( ) ; n αs β+c ?α+β? 2 i s n i o s 1 1 2 ( ) - ; 1-t θ 1+t θ a n a n 3 ( ) 15s x+3 5c x. n i o s

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【析 解】

1 原式 ( )

n α· β+c α· β-2 α· β i c s o s o n s i s n i s c o s = n α· β+c α· β-s α· β 2 n i s i s o c s o s n n i i s -?s α· β-c α· β? n c i o s o n s i s = c α· β+s α· β o c s o s n n i i s n ?α-β? i s = - = a -n ( t c ?α-β? o s α-β).

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?1+t θ?-?1-t θ? a n a n 2 原= ( 式 ) 1-t 2θ a n a θ 2 n t = a n 2 2 =t 1-t θ a n 3 ( ) θ.

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15sinx+3 5c x o s

3 1 =6 5( n x+ c x) i s o s 2 2 =6 5( n i s =6 5s n ( i π π x· +c x· ) c o s o n s i s 6 6 π x+ 6).

【答案】 1 -t ( ) a n (

α-β) a n 2 t ( )
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θ 3 6 ( )

5s n ( i
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π x+6)
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探究 4 1 对此类化简题,对公式既要会正用,又要会逆 ( ) 用,甚至变形应用. 2 应用公式时特别注意角不要化错,函数名称、符号一定 ( ) 要把握准确. 3 对 as x+bc x 化简时,辅助角 φ 的 如 求 清 . ( ) n i o s 值何要楚

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思考题 4 化简下列各式: n ( i) 1 s π x+ )+2 n ( i s 3 π x- )- 3c o ( s 3 α+β). 2π -x); 3

n ?2α+β? i s 2 ( ) -2 c o ( s n α i s

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【解析】 2 c o s

π π 1 原 式 =n xc 3 + c xs 3 + n ( ) i o s s o n s i 2 i s x x +n i s ( π -n 2 i s 3

π xc 3 - o s

π 2π 2 xs - 3c n i o s c x- 3s n o s n π i i s 3 3 3 =c o ( s π +2 c o s 3 x π - 3n i s 3 2π n i) s 3

π - 3 3

2π c o s c o ) s 3

1 3 =(2+1- 3× 2 n i) s

3 1 x+( 2 - 3+ 3×2c o ) s

x=0.

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n [ i s 2 原式= ( )

?α+β?+α]-2 c o s n α i s

?α+β?s α n i

n ?α+β?c α-c ?α+β?s α i s o s o s n i = n α i s n [ i s = ?α+β?-α] n β i s = . n α i s n α i s

【答案】 1 0 ( )

n β i s (2) n α i s

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三角函数的化简要遵循“三看”原则: 1 一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别 ( ) 与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式. 2 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定 ( ) 使用的公式,常见的有“切化弦”. 3 三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到 ( ) 变化的方向,常见的有“通分”“去根号”“降幂”等.

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1.1 23 (· 0 3-a A. 1+ 3 a+ 3 C. 1- 3

潍坊质检)已知 a0 n° 1 t

=a, a0 则n t° 5

值于 ( 等

)

a- 3 B. 1+ 3a a+ 3 D. 1+ 3

答案 B

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12 4 2. 知 n α=13,c β=5,且 α 是第二象限角,β 是第四 已 i s o s 象限角,那么 n ( i s 33 A. 65 16 C.-65
答案 A

α-β)等于 63 B.65 56 D.-65

(

)

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12 解析 因为 α 是第二象限角,且 n α=13, i s 所以 c α=- o s 144 5 1- =- . 169 13

4 又因为 β 是第四象限角,c β=5, o s 所以 n β=- i s n ( i s 16 3 1- =- . 25 5

12 4 5 3 α-β)=s αc β-c αs β=13×5-(-13)×(-5) n o i s o n s i

48-15 33 = 65 =65.
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3.若 c α+2 o s n i s 1 A. 2 1 C.-2
答案 B

α=- 5,则 a α= n t B.2 D.-2

(

)

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解 析 考三函的算转能,知弦余 查角数运与化力已正和弦

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的个量系可结正余平和于 一等关,以合弦弦方等 组 得 弦 弦 值再 用 解 正 余 的 ,利 作选题适.可利三变 为择不合也以用角 n ( i s α+φ)= -

1, 立 程 联方

n α i s a α= n t 求 ,运 量 大 得但 算 较 , c α o s 换理原式 处,等即 5

1 π 5, 中 a φ= 2,0<φ<2,∴s 其 n t n ( i

α+φ)= 1, -

3π ∴α+φ=2kπ+ ,k∈Z,∴t α=c φ=2. a n o t 2 也观得 可察到 答 . 案

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四 )如 , 方 川 图正形

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4.(1 22 0·

AC BD

的长 边为

1, 长 延

BA 至 ( )

E, AE=1, 接 使 连 3 10 A. 10 5 C. 10

EC,ED, n ∠CD = 则 i s E 10 B. 10 5 D. 15

答案 B
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解 析 π ∠AED= . 4 在 Rt△EBC 中,EB=2,BC=1, 5 2 5 所 n ∠BEC= ,c ∠BEC= 以 i s o s . 5 5 n ∠CD =s i s E n ( i π -∠BEC) 4 因四形 为边 AC BD 是方 正形

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,且 AE=AD=1,所 以

2 2 22 5 5 10 = c ∠BEC- n ∠BEC= ( o s i s - )= . 2 2 2 5 5 10

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5.1 23 (· 0

深圳调研)已知过点( 1 0 ) , α+β)= 7 B.3 D.1

的直线 l: a α-y-3 xt n a n t (

β )

=0 的斜率为 2,则 a n ( t 7 A.-3 5 C.7

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答案 D

1 解析 由题意知 a α=2,t β=-3. n t a n a α+t β n t a n α+β)= = 1 =1. 1-t αt β a a n n 1-2×?-3? 1 2-3

∴t a n (

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6.si8 n1° 1° i9 n s 1

-s9 n° 9 i1 n 2 i ° s

的值为______.

1 答案 - 2 解析 n· 1° n° ii1 s 1 9 s 8
=c· o° 2 s ( 9 =-(° n c 1 i· o s 2 ° s 9 =-s n° 3 i0 1 =-2. -s n 1 i° )

-s n 9 is 2 1 9 · ° -c· n o 2 i9 s 1 ° +c° n o 2 i9 s 1 · )

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7.(1 20 0·

3 全国卷Ⅰ)已知 α 为第三象限的角,co α=- , 2 s 5

π 则a n ( t +2α)=________. 4 1 答案 - 7

解析 由 c o 2 s

α=2 c o s

2

3 α-1=- ,且 α 为第三象限角, 5

5 2 5 得 c α=- ,s α=- o s n i . 5 5 则 a α=2,t n t a n 2 4 α=- ,t a n ( 3
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1+t a n 2 π +2α)= 4 1-t a n 2
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α 1 =- . 7 α
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π 4 π 3π 8.已知 n (α+ )= ,且 <α< .求 c α 的值. i s o s 4 5 4 4

答案

2 10

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解析 n ( i s

π 4 π 3π α+4)=5且4<α< 4 ,

π π ∴ <α+ < π . 2 4 ∴c o ( s π α+4)=- 1-s n i
2

π 3 ?α+4?=-5.

∴c α=c o s o ( [ s =c o ( s π α+4c o ) s

π π α+ )- ] 4 4 π n ( i 4+s π α+4n i) s π 4

3 2 4 2 2 =-5× 2 +5× 2 = 10 .
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