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柱、锥、台和球的表面积与体积



1.1.6柱体、锥体、台体和 球的表面积

多面体的平面展开图 多面体是由一些平面多边形围成的几何体. 一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开 而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平 面展开图.

思考:多面体的平面展开图唯一吗?

把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开,得到 什么图形?侧面积怎么求?


h

e

b

h

h

b a a S 直棱柱侧=(a ? b ? e) ? h ? ch

e
c即底面周长

即底面周长和高的乘积

棱锥、棱台
正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥. 正棱台:正棱锥被平行于底面的平面所截,截 P 面和底面之间的部分叫正棱台.
A1 C1 D1 B1 h'

h' C B

A

C D

O
B

O
A

D

斜高:侧面等腰三角形底边上的高.

把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开,得到什么图 形?侧面积怎么求?

c即底面周长 h 即斜高
h'
'

h'

1 S 正棱锥侧= ch' 2 即底面周长和高 的乘积的一半

把正三棱台侧面沿一条侧棱展开,得到什么图 形?侧面积怎么求?
c,c, 分别是上、下底面 的周长h '即斜高

h'

1 S 正棱台侧= (c ? c' )h' 2 即上、下底面周长之和 与高的乘积的一半

h'

思考:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系:

c’=c
上底扩大

c’=0
上底缩小

S柱侧 ? ch

S台侧

1 ? ? c '? c ? h ' 2

S 锥侧

1 ? ch ' 2

若一个正三棱柱的三视图如图所, 则这个正三棱柱的表面积为 A. 18 3 B. 15

3

C.

24 ? 8 3

D.

24 ? 16 3

把圆柱的侧面沿着一条母线展开,得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系?
r

h

矩形
长= 2?r

宽=h

S圆柱侧 ? S矩形=2?rh

S圆柱 ? S圆柱侧 ? S底面= 2?rh ? 2?r

2

把圆锥的侧面沿着一条母线展开,得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系?

扇形 c

l

1 S圆锥侧=S扇= cl ? ? rl 2
2

r

S圆锥=S底面 +S圆锥侧=? r ? ? rl

2?r

r ' O’
l

2?r '

r ' O’
l

x

2?r '

2?r

r

O

r
'2 2

O

S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
'

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

l

r

O?

r 'O’
l
l

r

O

r

O

O
S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r ( r ? l )

球的表面积 球面面积(也就是球的表面积)等于它 的大圆面积的4倍,即

S球 ? 4? R
其中R为球的半径.

2

柱体、锥体、台体和球的体积

复习回顾

1.正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长) 2.长方体的体积公式 V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)

教学情境

取一摞纸张放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后 的体积是否发生变化?

从以上事实中你得到什么启发?

一. 祖暅原理

祖暅原理:幂势既同,则积不容异.
也就是说,夹在两个平行平面间的两个 几何体,被平行于这两个平面的任意平面

所截,如果截得的两个截面的面积总相等,
那么这两个几何体的体积相等.

祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公 式的基础和纽带,原理中含有三个条件, 条件一是两个几何体夹在两个平行平 面之间; 条件二是用平行于两个平行平面的任 何一平面可截得两个截面; 条件三是两个截面的面积总相等,这 三个条件缺一不可,否则结论不成立.

柱体的体积
棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向得 到,因此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆 柱)应该具有相等的体积.

V=sh

h

h

S

S

S

锥体体积:
经探究得知,棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的 ,即棱锥(圆锥)的体积:
1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3

1 3

由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是 底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是 1 等于底面面积乘高的 3 .

台体的体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? A?

P
D?

圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
1 ' V ? ( S ? S ' S ? S )h 3

S?

C?

h
A

B? D
S

C
B

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

' ' 1 ' 1 S ? 0 S ?S ' V ? Sh V ? ( S ? S S ? S )h V ? Sh 3 3

5.球的体积计算公式:

V球

4 3 ? ?R 3

球的表面积:

S球面 ? 4? R

2

1.向高为H的水瓶中匀速注水,注满为止,如 果注水量V与水深h的函数关系如下面左图所 示,那么水瓶的形状是 A

例3(1)两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的 高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部 分的体积的比是 B A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27

(2)三棱锥V—ABC的中截面是△A'B'C',则三棱 锥V—A'B'C'与三棱锥A—A'BC的体积之比是 A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

B

1.正棱锥的高和底面边长都缩小到原来
1 的 ,则它的体积是原来的( 2 1 1 (A) 5 (B) 8 1 1 (C) ( D) 32 16

B)

2.直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V, 已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点,而 且满足AP=C1Q,则四棱锥B-APQC 的 体积是(
1 (A) V 2 1 (C) V 4

B)

1 (B)3 V 2 ( D) V 3

3. 圆台的上、下底面半径和高的比为1:
4:4,母线长10,则圆台的体积为 ( B ) (A)672π (B)224π

(C)100π

544 ( D) ? 3

4.有三个球,一球切于正方体的各面 ,一球切于正方体的各棱,一球过正 方体的各顶点,求这三个球的体积 之比_________.

3、在底面半径为 2,母线长为4的圆锥 内接一个高为 3的圆柱,求圆柱的 表面积与体积
变式:在底面半径为 2,母线长为4的圆锥内接 一个圆柱,求圆柱的表 面积的最大值

4、一个球刚好与棱长为 2 2的正四面体 的每条棱相切,求球的 表面积与体积

与正四面体个侧棱都相切的球

例4.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm 3 )六角 螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径 为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14, 可用计算器)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差,即:
V? 3 10 ?122 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) 2 ?10 4 2

? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为
5.8 ?1000 ? (7.8 ? 2.956) ? 252(个)

五.课时小结 1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体 的体积和球的表面积. 2.应用上述结论解决实际问题.

小试牛刀一: 1.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底 面边长为a,该三棱锥的全面积是( A )
3? 3 2 a (A) 4

(B)
2

3 2 a 4
3 2 )a 4

(C) 3 ? 3 a 2
2

( D) ( 3 ?

2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 是2 和4,高是2,则这个棱台的侧面积等



18 7



例1.已知正四面体S-ABC各棱长为

a,求它的表面积



分析:正四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 交BC于点D. 解:过点S作 SD ? BC ,

∵ BC ? a , SD ? SB 2 ? BD 2 ? a 2 ? ( a )2 ? 3 a
2 2

S A B D

? S?SBC

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC的表面积为
C
3 2 S ? 4? a ? 3a 2 4

随堂练习:
? 1、已知正四棱柱的底面边长是3,侧面的对角 72 线长是 3 5 ,求这个正四棱柱的侧面积。 3 3 ? 2、求底面边长为2,高为1的正三棱锥的全面 积。 ? 3、下列图形中,不是正方体的展开图的( C )

A

B

C

D

随堂练习:
4.如图,E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD的 中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?
A D F B E C

三棱锥

5.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 3 r 那么这个圆锥筒的高是多少? 2 6.一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm和 18cm,侧棱长等于13cm,求它的侧面积.

468cm2

小结:
1 S三 棱 锥 = ch' 2

1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键; 2、对应的侧面积公式 S圆锥=πrl

C’=0
1 S正 棱 台 = (c+c' )h' 2

C’=C

S直棱柱 =ch' ? ch

S圆柱=2πrl



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