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《基本初等函数(Ⅰ)》课件(新人教B版必修1)



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章末整合提升

人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 知识整合

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一指与数数 、数指函 1.数的算则 整幂运法 正指幂运法如: 整数的算则下 .__ ___ __

.__ ___ __ .__ ___ __ .__ ___ __ a n an ( ) = n(b≠0) b b (其 m,n 均正数 中 为整 )

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1 若规定 a =1(a≠0),a = n(a≠0,n∈N+) a
0
-n

则把整指幂广了数数, 练 就正数数推到整指幂 熟 应 运这法. 用些则

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2.式 根 )( n 次根定: 1 方的义 )( n 次方的质 2 根性: )( 开与方 3 方乘 开运的义 方算定: 开运与方算 方算乘运是 对根记 于式号 _ _ ,_ _ _ n ._ _ _ _ a要意下点 注以几: ,_ _ _ ,_ ._ _ . ._ _ _ _ ,_ ._ _

人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 (2)0的指数幂.0的正分数指数幂是________,0的负分 数指数幂无意义.

4.分数指数幂的运算性质. 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 有理指数幂的运算性质 有理数幂的运算性质形式上 与整数指数幂的运算性质完全一样. ________,________,________. 其中a>0,b>0,r,s∈Q.

5.指数函数的图象和性质. 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 指数函数 a>1 0<a<1 定义 定义域 值域 图象 与坐标轴的交点 单调性 y与x的变化规律 ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________

二、对数与对数函数 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 1.对数的概念:________. 2.对数式与指数式的关系表: 名称 式子 a 指数式 对数式 ax=y x=logay ______ ______ x ______ ______ y ______ ______

3.常用对数的定义:________. 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 4.自然对数的定义:________. 5.换底公式:________. 6 . 积 、 商 、 幂 的 对 数 : ________ , ________ , ________.

7.对数函数的图象和性质 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 对数函数 a>1 定义 定义域 0<a<1 ______________ ______________

值域
图象

______________
______________

与坐标轴的交点 单调性 y与x的变化规律

______________ ______________ ______________

三、幂函数 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 1.定义:________. 2.共同性质:________;________;________. 四、函数的应用 对于函数的应用,首先需要在实际情况下去理解、分 析给出的问题,舍弃与解题无关的因素,转化为数学模型, 步骤如下:

①阅读理解;读懂题意,理解实际背景,领悟其数学
实质. ②抽象、归纳其中的数量关系,建立数学模型. ③根据所建立模型的知识系统,解出模型的结果,最 后得出实际问题的答案.

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答案:一、1.am·n =am + n a (ab)n=an·n b 2.果在数 如存实 则 x 叫 a 的 n 次根 做 方 x,得 使

am÷ n =am - n a

(am)n =amn

xn=a(a∈R,n>1,n∈N+),

在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的 奇方是个数零奇方是. 次根一负,的次根零设 大 1 的数则 于 奇, a 的 n 次根 方是 n a a∈R,n 是

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在数围,数偶方是个对相符 实范内正的次根两绝值等 号反数零偶方为,数偶方没意 相的,的次根零负的次根有 义.设 a≥0,n 是于 大 1 的数则 偶, a 的 n 次根 方是 n ± a

求 a 的 n 次根运称开运 方的算为方算 互的算 逆运 n∈N+,且 n>1 当 n 为于 大 1 的数, 奇时 n a对任意 a∈R 都意, 有义 n 次根即 方, ( a)n=a n

它表示 a 在数围唯的个 实范内一一

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当 n 为于 大 当 a<0 时意 无义 次根另个- 方,一是 式 子 n

1 的数, 偶时 n

n

a只当 有

a≥0 时意, 有义 n

. a(a≥0)表 a 在数围的个 示 实范内一 n a. ± ( n a)n=a n 为数, 奇时 n

a 对意 任

n

a∈R 都意, 有义当 n

an

=a;当 n 为数, 偶时

?a (a≥0) ? n a =|a|=? ?-a(a<0) ?

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5.般,数 一地函

y=ax(a>0,a≠1,x∈R)叫指函 做数数

R (0,+∞)
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),( 10 当 a>1 时,y=ax 在 R 上增数当 是函; 在 R 上减数 是函 当 a>1 时 , 若 x>0,则 y>1;若 x<0,则 0<y<1;当 0<a<1 0<a<1 时,y=ax

时,若 x>0,则 0<y<1;若 x<0 则 y>1

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二 1.在指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)中,对于实数集 、 R 内的每一个值 x,在正实数集内都有唯一确定的值 y 和 它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值 y,在 R 内都有唯一确定的值 x 和它对应,则幂指数 x 又叫做以 a 为底 y 的对数,记作 x=logay(a>0 且 a≠1),其中 a 叫做 对数的底数, 叫做真数, y 读作“x 等于以 a 为底 y 的对数” 2.底数 指数 幂 底数 对数 真数

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3.以 10 为的数 底对叫 lgN

做用数常 常对,将

g o l

10N

记 作 记 作

4.以 e 为的数做然数常 底对叫自对,将 lnN(其中 e=2 8. 2 1 7 g o l 5.l bN= g o g o l 6.l g o ?)
aN ab

g o l

eN

g o a(MN)=l

g o aM+l
aN

aN

M g a( )=l o l g o N g o l Mα=αl g o a

g o aM-l 中 aM(其

a>0 且 a≠1,M,N>0,α∈R)

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7.一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函 数

(0,+∞) R 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 (1,0) 当a>1时,y=logax在定义域内是增函数;当0<a<1时, y=logax在定义域内是减函数 当a>1时,若x>1,则y>0;若0<x<1则y<0;当0<a<1时, 若x>1,则y<0;若0<x<1,则y>0

三、1.一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数, 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 其中α为常数 2.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都 通过点(1,1) 如果α>0,则幂函数的图象通过原点.并且在区间[0, +∞)上是增函数 如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在

第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无
限地逼近y轴,当x趋近+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x 轴

人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 专题突破

一、思想类专题 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 1.函数与方程思想 思维突破:函数与方程的思想方法,即是先构造辅助 函数或方程,将所给问题转化为构造的辅助函数的性质(如: 单调性、奇偶性、周期性、正负、图象交点个数、最值等) 或方程的解来研究后,得到所需的结构.

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【例 1】 已奇数 知函 )( 试定 1 确 a 的; 值

a·x+a-2 2 f(x)= (x∈R), 2x+1

)( 判断 f(x)在定域的调,证之 2 其义上单性并明; )( 若方程 f(x)=m 在(-∞, 有试- 3 0)上解证 , < 1 3 f(m) < . 0

分析:(1)根据奇函数的定义求a的值;

(2)根据定义判断单调性;
(3)根据方程的有关性质讨论范围.

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解 )( 解一 : 1 法: ∵f(x)是函, 奇数

定法 义 ∴f(-x)= f(x). -

a·-x+a-2 2 a·x+a-2 2 即 = - . 2-x+1 2x+1 化整得 简理: 2(a-1 1) ( +2x)=0.

∴a-1=0, a=1. 即 解二 法: 特值 殊法

∵f(x)是 R 上奇数 的函, 2a-2 ∴f(0)=0, 即 =0,∴a=1. 3

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∵x1<x2,

∴Δy>0,因此,f(x)在R上是增函数.

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2 )( 方程 f(x)=m,即 1- x =m 在(-∞,0)上有解. 3 2 +1 ∵x∈(-∞,0)时,2x∈( ), 10 2 ∴1- x ∈(-1 ), 0 2 +1 , .

.∴m∈(-1 ), 0

又∵f(x)在 R 上增数 是函. ∴f(-1 f(m)<f( . < ) ) 0 2 1 2 又∵f(-1)=1- -1 =- ,f( =1- 0 =0, ) 0 3 2 +1 2 +1 1 ∴- <f(m) < 0 3 ∴-1 < 3 f(m) < 0 , .

评析:本题考查了函数的奇偶性和单调性的定义及应 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 用,综合性强,解综合题的关键是认真审题,充分利用性 质,每分必争.

2.分类讨论的思想 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 思维突破:在函数这一部分经常涉及分类讨论的情形, 特别是含参数的二次函数在部分区间上的最值问题,含参 数的函数单调性的研究及应用等问题中,一般需用分类讨 论的思想方法.

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【例 2】 已函 知数 上函值小 的数总于

f(x)=ax(a>0,a≠1)在间 区
2a

[-2 ], 2 ( )

2,则g o l

的值围 取范是

1 1 A.(- ,0)∪( ,1) 2 2 1 2 B.(0, )∪( ,1) 2 2 1 1 C.(- ,0)∪(0, ) 2 2 1 1 D.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2
答案:C

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解析:若 a>1,则 f(x)在[-2 ], 2 ∴f(x)a =a2<2,∴1<a< 2, xm ∴0 g o < l 1 2a< . 2

上增数 是函,

若 0<a<1,则 f(x)在[-2 ], 2 ∴f(x)a xm 1 ∴- g o < l 2
-2

上减数 是函,

2 =a <2,∴ <a<1, 2
2a<0,

1 1 综上,l 2a∈(- ,0)∪(0, ). g o 2 2 故选 C.

评析:当指数函数f(x)=ax中的底数为字母时,经常要 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 讨论a与1的关系.

3.数形结合思想 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 思维突破:函数图象直观的显示了函数的性质,借助 于图象来研究解决函数问题是数形结合应用的一个重要方 面. 【例3】 已知x1是方程x+lgx=3的一个根,x2是方程 ( ) x+10x=3的一个根,那么x1+x2的值是

A.6
C.2

B.3
D.1

答案:B 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 分析:这是一个研究方程的根的问题,如果采用纯代 数的方法,从解方程或方程组的方法入手,将很困难,有 些问题甚至无法解决,于是我们想到构造函数,利用函数 图象,借助数形结合的思想来解决.

解:将已知的两个方程变形得lgx=3-x,10x=3-x. 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 令f(x)=lgx,g(x)=10x,h(x)=3-x. 如右图所示. 记g(x)与h(x)的交点为A(x1,y1), f(x)与h(x)的交点为B(x2,y2), 利用函数的性质易知A、B两点 关于直线y=x对称,

便有x1=y2 ,x2=y1的结论.将A点坐标代入直线方程,
得y1=3-x1,再将y1=x2代入上式,得x2=3-x1,即x1+x2 =3. 故选B.

评析:此类题一般采用构造函数,应用数形结合求解, 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 需指出我们仅能求解一些特殊的此类问题,对于一般的问 题,在目前阶段没有普遍的方法求解如方程 log2x=x2 - 2,2x2 +3x =3,a|x| =|logax|等等,这类问题的解均无普遍方 法求得,我们只能借助数形结合得到方程解的个数或解的 大致范围.因此,此类问题一般都是研究解的个数和解的 范围.

二、应用类专题 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 思维突破:根据实际应用问题提供的两个变量的数量 关系是否确定可把构建的函数模型分为两大类:第一类是 确定函数模型,这类应用题提供的变量关系是确定的,是 以现实生活为原型设计的,其目的在于考查学生对数学语 言的阅读、理解、表达与转化能力.求解时一般按以下几 步进行:第一步,阅读理解,认真审题,就是读懂题中的

文字叙述,关键是找出题目中给定的相等关系,特别是隐
含的相等关系;第二步,引进数学符号,建立函数模型.

一般地,设自变量为x,函数为y(也可以用其他常用字 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 母),把第一步分析得出的相等关系翻译成含有x、y的等式, 然后用x表示y,即所谓建立了函数模型.这个函数模型可 能含有一些待定的系数,则需要进一步用待定系数法或其 他方法确定;第三步,利用函数知识,如单调性、最值等, 对函数模型予以解答,即所谓解答函数模型;第四步,转 译成具体问题作答.

第二类是近似函数模型,或称拟合函数模型.这类应 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 用题提供的变量关系是不确定的,只是给出了两个变量的 几组对应值(是搜集或用实验方法测定的),为了降低难度, 有时采用限定函数模型范围的方法.求解这种函数模型的 一般步骤为:画散点图→选择函数模型→用待定系数法求 函数模型→检验,若符合实际,可用此函数模型解释实际 问题,若不符合实际,用Excel工作表进行数据拟合,在

“添加趋势线”工具栏中,提供了线性、对数、指数、乘
幂、多项式、移动平移等6种数学模型,可供择优选用.

【例4】 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 每年10%衰减.

一种放射性元素,最初的质量为500 g,按

(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式; (2)求这种放射性元素的半衰期(精确到0.1年). 分析:这是一个变化率(包括增长率与减少率)问题, 与指数函数有关,可建立指数函数模型. 解:(1)最初的质量为500,

经过1年,ω=500(1-10%)=500×0.91,
经过2年,ω=500(1-10%)2=500×0.92, 经过t年,ω=500×0.9t.

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)( 由题意 500×0 t=2 ,即90 t=0 , 2 9 . 0 5 . 5 . 两取数有 边对,: 5g .l 0 ∴t= 9g .l 0 ≈6 , 6 . 66 年. . 90 .g tl =l 50 .g ,

即种射元的衰约 这放性素半期为

评析:一般地,如果原数量为N,单位时间变化率为P, 则经过时间x,所得数量y=N(1+P)x,这里P>-1.其中当-

1<P<0时,|P|为减少的百分数,P=0表示数量保持不变,
P>0时,P表示增长的百分数,在本题中,可以认为P=- 0.1.

【例5】 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学

房屋造价(元/m2)与建筑层数有关,可表示

为一般造价(元/m2)乘层数系数λ.根据经验数据,绘出其关系 如右图,其中2层到5层建筑,由于共用地基和层顶等原因, λ随层数沿抛物线下降,而5?8层及以上则由于防震、防风 等因素而增加成本,λ随层数增加而增加.

(1)请根据所给图与表格建立λ随层数n增加而改变的函 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 数关系式λ=f(n)(2≤n≤8,n∈N). 并将表中数据填齐; n 1 2 3 4 5 6 7 8

λ

1.08

1.03

1

1.08

1.17

1.26

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)( 某位建楼筹资 2 单为造房集金 屋价土使购费若般价 造和地用置,一造为 价为 0 3 能房少 建多 0 6 元/亩(1 亩= 9
2

0 1

万,于付 元用支房 800 元/m2,地 土

m2), 用 试 利 )?

)( 中件出多 1 条求最

m2(精到 m 确 1

分析:先由给出图形,猜测函数模型,再求解.

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解:( 由设当 ) 1 题, 线,设 λ=an2+bn+c. 以( ). , 812 0 ,( ). , 313 0

2≤n≤5 时,λ=f(n)的象抛 图为物

,( ), 14

代, 入得 ?a=0 , 1. 0 ? 1 . 解得?b=-0 , ?c=1 2 ? 4.

?. 81 =4a+2b+c, 0 ? 31 =9a+3b+c, 0 ?. ?1=16a+4b+c. ? ∴λ=0 1. 0 n2-0 n+1 1 . .2 4.

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又当 5≤n≤8 时 察形测一直, , 图猜为段线 观 设 +b,以( ). , 816 0
?. 8 0 ?1 ? ?. 6 2 ?1

λ=kn

、( ). , 618 2

代入,得 ,

?k=0 =6k+b, 0 . ? 9 解得? ?b=0 =8k+b. 4. 5 ?

即 λ=0 9. 0

n+0 .5 4. λ=1 7. 1 与中据 表数相 符.

以 n=7 代, 入得 ∴λ=0 9. 0 n+0 .5 4.

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所函为 求数
?. 1 0 ?0 λ=? ?. 9 0 ?0

n2-0 n+1 (2≤n≤5), 1 . 4. 2 n+0 (5≤n≤8). 4. 5 λ=0 .. 9 填表, 入中

将 n=5 分代上,有 别入式均 又图可得 由上查

n=1 时,λ=1 1. 2

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)( 设建房地 2 所楼占 当 n=5 时价低 造最, 则建面为 总筑积

x m2, ∴λ=0 9. 5x m2,总价 其造为 x 9 ×3 . 0 ,

0.99×800×5x+ 0 6 依意有 题, 解得 5x≈1 m ( 2 6 即多建 最可房 m 2 6 1

0 0 1
2

9x =0. ×800×5x+ . 9 20 ).
2

.

评析:此问题的实际背景是“建房”.是函数与方程 人 教 B 版 必 修 一 · · 新 课 标 数 学 的数学思想在生产实际中的应用,问题(1)是根据经验数据 建立函数式,而问题(2)则是在总造价一定的情况下求总建 筑面积最多的问题,即要求单位建筑面积造价最低,这样 的实际背景是所有考生都能理解的.



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