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高一年级数学竞赛模拟测试三



高一数学竞赛系列讲义

高一数学竞赛测试(3)
班级 姓名
1

得分

一、填空题(每题7分,共70分)
1、设a > > 0,则a2 + b(a ?b)的最小值是

2、 如果二次方程x 2 ? px ? q = 0,p, q ∈ N ?的正根小于 3, 那么这样的二次方程有

个.

3、设数列 an : a0 = 2,a1 = 16,an+2 = 16an+1 ? 63an ,n ∈ N ?,则a2014 被 64 除的余数 为

4、设向量OA绕点 O 逆时针旋转 得向量OB,且 2OA + OB = 7,9 ,则向量OB =
2

π

5、设无穷数列 an 的各项都是正数,Sn 是它的前n项和,对于任意的正整数n,an 与 2 的等 差中项等于Sn 与 2 的等比中项,则该数列的通项公式为

6、函数y = cosx + |cos2x|的最小值为

7、已知a, b ∈ N,a100 是一个 120 位数,ab 是一个 10 位数,则b的值为

8、 函数f x = loga x + b a > 0, ≠ 1 的图像经过点 2,1 ,它的反函数的图像经过点(2,8), 则a + b =

9、集合A = x x 2 ? x = 2 和 B = {x| x < 2},其中 x 表示不超过 x的最大整数,则A ∩ B =
a 2 +b 2 c2

10、?ABC 中,若tanAtanB = tanAtanC + tanCtanB,则

=

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二、解答题(每题 20 分,共 80 分)
11、如图,设D, E 是?ABC 的边 AB 上两点,已知∠ACD = ∠BCE,AC = 14,AD = 7,AB = 28,CE = 12,求BC.

12、求函数f x = sin4 xtanx + cos4 xcotx的值域.

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13、已知整数列 an 满足a3 = ?1,a7 = 4,前 6 项一次成等差数列,从第 5 项起依次成等 比数列. (1)求数列 an 的通项公式; (2)求出所有的正整数m,使得am + am+1 + am+2 = am ? am+1 ? am+2 .

高一数学竞赛系列讲义

14、求满足下列条件的所有正整数x,y (1)x 与 y ? 1互素; 2 x 2 ? x + 1 = y 3



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