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【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-4单元测评一 坐标系



高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4

单元测评(一)

坐标系

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. π? ? 1.点 M 的极坐标为?2,3?,则它的直角坐标为(
? ?

)

/>
A.( 3,1) C.(1, 3)

B.(-1, 3) D.(- 3,-1)

π π 解析:x=ρcosθ=2cos3=1,y=ρsinθ=2sin3= 3. ∴它的直角坐标为(1, 3). 答案:C 2.原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-2,-2 3)的极 坐标是(
?

)
? ?

π? ? A.?4,3? 2π? ? C.?-4,- 3 ?
?

4π? ? B.?4, 3 ?
? ? ?

2π? ? D.?4, 3 ?
?

解析:由直角坐标与极坐标互化公式:ρ2=x2+y2, y tanθ=x(x≠0).把点(-2,-2 3)代入即可得 ρ=4, tanθ= 3,因为点(-2,-2 3)在第三象限, 4π 所以 θ= 3 . 答案:B x2 y2 3.可以将椭圆10+ 8 =1 变为圆 x2+y2=4 的伸缩变换为( )

1

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?5x′=2x, ? A.? ? 2y′=y ? ? 2x′= 5x, ? B.? ?y′= 2y ?

C.?

? 2x′=x, ? ? 5y′= 2x ?

D.?

? 5x′= 2x, ? ? 2y′=y ?

? 2x?2 ? y ? x 2 y2 2 x2 y2 ? +? ? 解析:方法一:将椭圆方程10+ 8 =1 化为 5 + 2 =4,∴? ? 2? ? 5?
2

=4. x, ?x′= 2 5 令? y y′= ? 2

得 x′2+y′2=4,即 x2+y2=4.

? ? 5x′= 2x, ∴伸缩变换? 为所求. ? ? 2y′=y

方法二:将 x2+y2=4 改写为 x′2+y′2=4,
?x′=λ· x?λ>0?, ? 设满足题意的伸缩变换为? ?y′=μ· y?μ>0?. ?

代入 x′2+y′2=4 得 λ2x2+μ2y2=4, λ2x2 μ2y2 即 4 + 4 =1.
2 λ 1 ? = 2 2 ? 4 10, x y 与椭圆10+ 8 =1 比较系数得? 2 μ 1 ? ? 4 =8,

, ?λ= 2 5 解得? 1 μ= . ? 2

2

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4 2 x, ?x′= 5 ∴伸缩变换为? 1 y′= y. ? 2 答案:D 4.曲线的极坐标方程为 ρ=4sinθ,化成直角坐标方程为( A.x2+(y+2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 B.x2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+y2=4 )

? ? 5x′= 2x, 即? ? ? 2y′=y.

解析:由直角坐标和极坐标的互化公式 y=ρsinθ,即 ρ2=x2+y2,可得 x2+y2=4y,整理得:x2+(y-2)2=4. 答案:B 5.圆 ρ= 2(cosθ+sinθ)的圆心坐标是( π? ? A.?1,4?
? ? ?1 π? B.?2,4? ? ? ? ? ?

)

π? ? C.? 2,4? ? ?

π? ? D.?2,4?
?

π? ? 解析:方法一:∵圆 ρ= 2(cosθ+sinθ)=2sin?θ+4?,可以看作由圆 ρ π =2sinθ 顺时针旋转4得到. π? π? ? ? π 而 ρ=2sinθ 的圆心为?1,2?,顺时针旋转4得到?1,4?,
? ? ? ?

π? ? ∴ρ= 2(cosθ+sinθ)的圆心坐标为?1,4?.
? ?

方法二:圆 ρ= 2(cosθ+sinθ)直角坐标方程为 x2+y2- 2x- 2y=0, ∴?x-
? ?

2?2 ? 2? ? +?y- ?2=1, 2? ? 2?
3

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4 圆心的直角坐标为? 答案:A 6. 已知点 P 的极坐标为(1, π), 则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A.ρ=1 1 C.ρ=-cosθ B.ρ=cosθ 1 D.ρ=cosθ )
? 2 π? ? 2? ?,化为极坐标为?1, ?. , 4? 2? ? ? 2

解析:由点 P 的坐标可知,过点 P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标 中为 x=-1,即 ρcosθ=-1. 答案:C 2π 7.曲线 θ= 3 与 ρ=6sinθ 的两个交点之间的距离为( A.1 C.3 3 B. 3 D.6 )

2π 解析:极坐标方程 θ= 3 ,ρ=6sinθ 分别表示直线与圆,如图所示,圆 π? ? π 心 C?3,2?,∠AOC=6,
? ?

π 3 ∴|AO|=2×3×cos6=6× 2 =3 3. 答案:C
4

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4 7π? ? π 8.点 M?1, 6 ?关于直线 θ=4(ρ∈R)的对称点的极坐标为(
? ?

)

4π? ? A.?1, 3 ?
? ?

2π? ? B.?1, 3 ?
? ? ? ? ?

π? ? C.?1,3?
? ? ? ?

7π? ? D.?1,- 6 ?
?

7π? 7π π? ? ? π 解析: 方法一: 点 M?1, 6 ?关于直线 θ=4(ρ∈R)的对称点为?1, 6 +6?, 4π? ? 即?1, 3 ?.
? ?

7π? 7π 7π? ? ? ? 3 1? 方法二:点 M?1, 6 ?的直角坐标为?cos 6 ,sin 6 ?=?- ,- ?, 2 2? ? ? ? ? ? π 直线 θ=4(ρ∈R),即直线 y=x, 点?-
? ? ? 1 3 1? 3? ?关于直线 y=x 的对称点为?- ,- ?,再化为极坐标 ,- 2 2? 2? ? 2

4π? ? 即?1, 3 ?.
? ?

答案:A 9.圆 ρ=4cosθ 的圆心到直线 tanθ=1 的距离为( 2 A. 2 C.2 B. 2 D.2 2 )

解析:圆 ρ=4cosθ 的圆心 C(2,0),如图,|OC|=2,
5

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4 π π 在 Rt△COD 中,∠ODC=2,∠COD=4, ∴|CD|= 2. 答案:B π? ? 10.圆 ρ=r 与圆 ρ=-2rsin?θ+4?(r>0)的公共弦所在直线的方程为
? ?

(

) A.2ρ(sinθ+cosθ)=r B.2ρ(sinθ+cosθ)=-r C. 2ρ(sinθ+cosθ)=r D. 2ρ(sinθ+cosθ)=-r 解析:圆 ρ=r 的直角坐标方程为 x2+y2=r2,① π? ? 圆 ρ=-2rsin?θ+4?
? ? ?

π π? ? =-2r?sinθcos4+cosθsin4?
?

=- 2r(sinθ+cosθ). 两边同乘以 ρ 得 ρ2=- 2r(ρsinθ+ρcosθ), ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2, ∴x2+y2+ 2rx+ 2ry=0.② ①-②整理得 2(x+y)=-r, 即为两圆公共弦所在直线的普通方程. 再 将直线 2(x+y)=-r 化为极坐标方程为 2ρ(cosθ+sinθ)=-r. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.直线 xcosα+ysinα=0 的极坐标方程为__________.

6

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4 π 解析:ρcosθcosα+ρsinθsinα=0,cos(θ-α)=0,取 θ-α=2. π 答案:θ=2+α 12.在极坐标系中,若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线 ρ2=4ρcosθ-3 有公 共点,则直线 l 的斜率的取值范围为__________. 解析: 将 ρ2=4ρcosθ-3 化为直角坐标方程得(x-2)2+y2=1, 如图易得 3 3 - 3 ≤k≤ 3 .

答案:?-
?

?

3 3? ? , 3 3?

?2π 2π 2π? 13 .已知点 M 的柱坐标为 ? 3 , 3 , 3 ? ,则点 M 的直角坐标为 ? ?

__________,球坐标为__________. 解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), 柱坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),

7

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? 由?y=ρsinθ, ? ?z=z

?x=ρcosθ,

? ? 2π 2π 得?y= sin = 3 3 ?z=2π, ? 3
2

2π 2π π x= 3 cos 3 =-3, 3π 3 ,

?r= x +y +z , 由? z cos φ = ? r
2 2

?r=2 32π, 得? 2 cos φ = ? 2.

?r=2 32π, 即? π φ = ? 4.
? π 3π 2π? ?, ∴点 M 的直角坐标为?- , 3 ,3? ? 3 ?2 2π π 2π? ,4, 3 ?. ? 3 ? ?2 2π π 2π? ? ,4, 3 ? ? 3 ?

球坐标为?

? π 3π 2π? ? 答案:?- , 3 ,3? ? 3

14.在极坐标系中,曲线 C1:ρ( 2cosθ+sinθ)=1 与曲线 C2:ρ=a(a >0)的一个交点在极轴上,则 a=__________. 解析:曲线 C1 的直角坐标方程为 2x+y=1,曲线 C2 的直角坐标方程 为 x2+y2=a2,C1 与 x 轴的交点坐标为? 2 解得 a= 2 . 2 答案: 2
? 2 ? ?,此点也在曲线 C2 上,代入 , 0 ? 2 ?

8

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. π? π? ? ? 15.(12 分)极坐标系中,求点?m,3?(m>0)到直线 ρcos?θ-3?=2 的距
? ? ? ?

离. 解:将直线极坐标方程化为 π π? ? ρ?cosθcos3+sinθsin3?=2,
? ?

π? ? 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x + 3 y - 4 = 0 , 点 ?m,3? 的 直 角 坐 标 为
? ? ?1 3 ? ? m, m?,(6 分) 2 ? ?2

1 3 | m + 3· ?1 2 2 m-4| 3 ? 所以点? m, m?到直线 x+ 3y-4=0 的距离为 = 2 ? ?2 1+3 2|m-2| 2 =|m-2|. (12 分) π? ? 16.(12 分)极坐标方程 ρ=-cosθ 与 ρcos?θ+3?=1 表示的两个图形的
? ?

位置关系是什么? 解:ρ=-cosθ 可变为 ρ2=-ρcosθ,化为普通方程为 x2+y2=-x,即 1? ? 1 ?x+ ?2+y2= , 2? 4 ?
? 1 ? 1 它表示圆心为?-2,0?,半径为2的圆. ? ?

(6 分) π? ? 将 ρcos?θ+3?=1 化为普通方程为
? ?

x- 3y-2=0.
9

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? 1 ? ∵圆心?-2,0?到直线的距离为 ? ?

1 |-2-2| 5 =4>1, 1+3 ∴直线与圆相离.(12 分) π? ? 17.(12 分)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 2,4?,圆心为直线 ? ? π? ? 3 ρsin?θ-3?=- 2 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. ? ?

π? ? 3 解:在 ρsin?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, ? ? 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0).(6 分) π? ? 因为圆 C 经过点 P? 2,4?, ? ? 所以圆 C 的半径 PC= (10 分) 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ.(12 分) 18. (14 分)已知线段 BB′=4, 直线 l 垂直平分 BB′, 交 BB′于点 O, 在属于 l 并且以 O 为起点的同一射线上取两点 P、P′,使 OP· OP′=9,
10

π ? 2?2+12-2×1× 2cos4=1,

高中·新课标 A 版·数学·选修 4-4 建立适当的坐标系,求直线 BP 与直线 B′P′的交点 M 的轨迹方程. 解: 以 O 为原点, BB′为 y 轴, l 为 x 轴, 建立如图所示的直角坐标系,
?9 ? 则 B(0,2),B′(0,-2),设 P(a,0)(a≠0),则由 OP· OP′=9,得 P′?a,0?, ? ?

x y x y 直线 BP 的方程为a+2=1,直线 B′P′的方程为9+ =1,即 lBP:2x+ -2 a ay-2a=0,lB′P′:2ax-9y-18=0.(6 分)

?2x+ay-2a=0, ? 设 M(x,y),则由? ? ?2ax-9y-18=0

?x=a +9, 解得? 2a -18 y= ? a +9
2 2 2

18a

(a 为参数).消去 a,可得 4x2+9y2=36(x≠0),所以点 M 的轨迹是焦点 在 x 轴上,长轴长为 6,短轴长为 4 的椭圆(除去点 B,B′).(14 分)

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