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13立体几何综合练习题 2



立体几何综合练习题(2)
一、选择题 1. 正方体 AC1 中, AB1 与平面 ABC1D1 所成的角为( A. 30
?


?

B. 45

?

C. 60

D. 90 ) D. 6

?

2.

平行六面体 AC1 的体积为 30,则四面体 AB1CD1 的体积等于( A. 15 B. 7.5 C. 10

3. 已知一个球的直径为 d , 一个正方体的棱长为 a , 如果它们的表面积相等, ( 则必 A. d ? a 且 V球 ? V正方体 C. d ? a 且 V球 ? V正方体 B. d ? a 且 V球 ? V正方体 D. d ? a 且 V球 ? V正方体



4. 正四棱锥 S ? ABCD 的高为 2,底面边长为 2 ,点 P 、 Q 分别在 BD 和 SC 上移动, 则 PQ 的最小值为( )

A. 1

B.

2 3

C.

2 5
)个

D.

10 5

5. 四棱锥的 4 个侧面中,形状为直角三角形的最多有( A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

6. 已知异面直线 a ? b ,过定点 P 作直线 c ,使 a 与 c 、 b 与 c 所成的角都等于定值 ? ( 45 ? ? ? 90 ) ,这样直线 c 共有(
? ?

)条

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 与空间不共面四点距离相等的平面共有( )个 A. 1 B. 4 C. 7 D. 8 8. 两球体积之和为 12? ,且该两球大圆周长之和为 6? ,则此两球的半径差为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. P 是 ? ABC 所在平面 ? 外一点,则 P 在 ? 上的射影是 ? ABC 的垂心的充要条件是 ( ) A. PA ? BC 且 PB ? AC B. PA ? PB ? PC

C. P 与 ? ABC 的三边距离相等. D. 平面 PAB 、 PBC 、 PAC 与 ? 成等角 10. 三个平面可把空间分为( )部分 A. 4 或 6 B. 6 或 8 C. 4 或 6 或 8 D. 4 或 6 或 7 或 8 11. 一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直,则这两个二面角必 定( ) A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 大小不定
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12. 一条直线在两个相交平面上的射影是( A. 两条相交直线 C. 两条异面直线

) B. 两条相交或平行直线 D. 以上说法都不准确

二、长方体 AC1 中,对角线 DB1 与 AD 、 CD 、 D1D 所成的角分别为 ? 、 ? 、 ? ,求
2 c o 2? ? c o s ? s ?

c2o 的值。 ?s

三、长方体 AC1 中,对角线 D1B 与平面 ABB1 A 成 25 角,与 A1B1C1D1 成 45 角,求 D1B 与 1 该长方体各棱所成角的最大值。

?

?

四、正四棱柱 AC1 的高为 1,对角线 D1B 与底面 ABCD 成 30 角,求 BC1 与截面 ACD1 的 距离。

?

五、等腰直角三角形 ABC 中, ?B ? 90 , BCD 为边长等于 2 的等边三角形,今沿 BC 将
?

其折成直二面角 A ? BC ? D ⑴ 求 AD ; ⑵ 求 AD 与平面 ABC 所成的角; ⑶ 求 AD 与 BC 所成的角。 (所成的角均用反三角函数表示)

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【立体几何综合练习题(2)答案】 一、选择题 1. A A C A C D D C A A D 2. C D D [如右图, B1O ? 平面ABC1D1 ]

[以棱长为 1 的正方体

为特例, V ? 1 ? 4 ? ( ? ?1?1) ? 1 ?

1 ,即 10] 3
则R? 4. C 5. D

2 1 ? ,故所求体积为原体积的 3 3 d 2 6 2 2 2 2 3. A [由 ? d ? 6a 得 ( ) ? ? 1 ? d ? a ;又设 4? R ? 6a ? 1 , a ?

1 1 3 2

1 2 ?

, a?

1 1 1 ,∴ V球 ? V正方体 ] ? V球 ? , V正方体 ? 6 6 ? 6 6

[如右图,即求 BD 和 SC 的距离。在 rt ? SOC 中容易求出] [从右图中即可看出]
*

6. D

[过 P 作 a 、 b 的平行线,然后

分析之] 7. C [将该 4 点连成一个四面体,符合条件的有:中截 面 4 个;与对棱平行且等距的平面 3 个] 8. A [解得:两球的 半径分别为 1 和 2 ] 9. A [应用三垂线定理推证之] 10. D [见下图]

11. D [见上图] 二、解:

12. D

设: AB ? a, AD ? b, AA ? c, B1D ? l 1 则 :

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?
三、解:

b2 a 2 c 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? ? ?1. l2 l2 l2 l2

由图可知, D1B 与 A1D1 成 90 ? 25 ? 65 角,与 BB1
? ? ?

成 45 角. 亦即: D1B 与 AD 成 65 角,与 AA1 成 45 角. 设: D1B 与 AB 所成角为 ? ,由上题结论知: cos 65 ? cos 45 ? cos ? ? 1
2 ? 2 ? 2

?

?

?

? cos 2 ? ? 1 ? (cos 2 65? ? cos 2 45? ) ? 1 ? (cos 2 60? ? cos 2 45? ) ? 1 ?

3 1 1 ? ? cos ? ? 4 4 2

? ? ? 60? ∴ D1B 与该长方体各棱所成角的最大值为 65? ..
四、解: [解法 1] 易知 BC1 ?平面ACD1 ,故 BC1 与 截面 ACD1 的距离可转化为点 B 到截面 ACD1 的距离。
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连接 BD 交 AC 于 O ,由 BD ? AC 、 BD ? DD1 ? BD ? 平面ACD1 ,从而得到:

平面BDD1 ? 平面ACD1 ,交线为 D1O . 在平面 BDD1 中,作 BH ? D1O 交 D1O 于 H ,
则 BH 即为所求. ∵ DD1 ? 1, ?D1BD ? 30? , BD ? 3 ? DO ? OB ? ∴

3 , ? D1O ?H 由 D ?O B 2



得 BH ?

21 21 ,即所求 BC1 与截面 ACD1 的距离为 . 7 7

[解法 2] (等积法) 显然, VD1 ? ABC ? VB? ACD1 由

BD ? 3 ? AB ?

1 3 1 6 3 ? 1 ? S? ABC ? , 可 得 : VD1 ? A B C ? ? ? ; 又 : 3 4 4 2 4

AC ? 3, D1O ?

7 21 1 21 21 ,可得: VB ? ACD1 ? ? ? S? ACD1 ? ?h ? h. 2 4 3 4 12



1 21 21 21 ,即:所求 BC1 与截面 ACD1 的距离为 . h = ,即得: h ? 4 12 7 7

五、解: ⑴ 从图中很容易看出: AD ? 2 2 ; ⑵ 取 BC 中点 E ,连接 DE 、 AE ,则

DE ? BC ? DE ? 平面ABC ,故 ? DAE 即为所求。
∵ AD ? 2 2 , DE ? 2 ?

3 6 ? 3 ,∴ ? DAE ? arcsin ; 2 4 6 4

即 AD 与平面 ABC 所成的角为 arcsin

⑶ 作 AF ? BE, EF ? BA ,交点为 F ,则 ? DAF 即为所求. 由 BE ? EF , BE ? DE 即

得 BE ? DF ,从而 AF ? DF 。∵ AD ? 2 2 , AF ? 1 ,∴ ? DAF ? arccos

2 . 4

即 AD 与 BC 所成的角为 arccos

2 . 4

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