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数学物理方法姚端正CH1作业解答


数学物理方法 CH1 作业题解答 P6 习题 1.1
1. 用复变量表示: (1)上半平面; (2)左半平面

解: (1)上半平面为: Im z > 0 (2)左半平面为 Re z < 0 4. 求下列复数的实部、虚部、模与辐角主值 (3) ( 3 + i) ?3 解:先将 z = 3 + i 记为指数形式, z = 3 + i = 2e 则 z ? 3 = 2? 3 e
π ? i 3 ( + 2 kπ ) 6 π i ( + 2 kπ ) 6

1 ? i ( + 6 kπ ) 1 ? i 2 1 = e 2 = e =? i 8 8 8

π

π

1 1 π 其实部为 0,虚部为 ? ,模为 ,辐角主值为 ? 8 8 2 6. 计算下列数值: (2) ( 3 ? i )5 解:先将 z = 3 ? i 记为指数形式, z = 3 ? i = 2e z 5 = 25 e
π i 5 ( ? + 2 kπ ) 6 π i ( ? + 2 kπ ) 6

,则

= 32e

i(?

5π +10 kπ ) 6

= 32e

?i

5π 6

= 32[cos(?

5π 5π ) + i sin( ? )] = ?16( 3 + i) 6 6

7.求解方程 (1) z 3 ? 1 = 0 ? ?e 0 = 1 ? 2π 1 ? i = ?e 3 = ? + 2 ? 4π ? i3 1 ?e = ? ? ? 2

解: z = 1 ,则 z = 1 = e
3 3 3

i 2 kπ

=e

i

2 kπ 3

3 i 2 3 i 2

?k = 0 ? 分别对应 ?k = 1 ?k = 2 ?

8.设流体在点 z = 1 + 2i 的流速为 v = 解:即求其模及辐角主值:

3+i ,求其大小和方向. 2 ?i

1

v=

3 + i (3 + i)(2 + i ) 5 + 5i π = = = 1 + i ,其模为 2 ,其辐角主值为 arg v = 2?i 5 5 4

P9 习题 1.2
2. 画出下列关系所表示的 z 点的轨迹的图形并确定它是不是区域。 (1) Im z > 1 且 | z |< 2 如图示阴影部分,不含边界线。满足区域的两个条件: (1)全由内点组成; (2) 点集中任意两点可用全在点集中的折线连接;所以是区域。

P15 习题 1.3
2. 讨论下列函数的可微性和解析性 (1) w = z 2 解:记 z = x + iy , w = u ( x, y ) + iv( x, y ) ; 则 w = z 2 = ( x 2 ? y 2 ) + i 2 xy w 的实部 u = x 2 ? y 2 ,虚部 v = 2 xy ?u = 2x , ?x ?u = ?2 y , ?y ?v = 2y , ?x ?v = 2x ?y

可见, w 的实部和虚部有连续的一阶偏微商,且满足 C-R 条件, 所以, w = z 2 在复平面可微,从而在复平面是解析的。 (2) w = z Re z 解:记 z = x + iy , w = u ( x, y ) + iv( x, y ) ; 则 w = z Re z = x 2 + ixy w 的实部 u = x 2 ,虚部 v = xy
2

?u = 2x , ?x

?u = 0, ?y

?v = y, ?x

?v =x ?y

可见, w 的实部和虚部有连续的一阶偏微商,但仅在 z = 0 点满足 C-R 条件,所 以,它仅在 z = 0 点是可微的,但是在 z = 0 点并不解析(因为在 z = 0 点的邻域并 不满足 C-R 条件) ;并且在全平面均是不解析的。

3. 已知解析函数的实部或虚部,求解析函数。 (1) u = x 2 ? y 2 + xy , f (i ) = ?1 + i 解:采用不定积分法: v=∫ ?v dx + g ( y ) ?x ① ?v ?u =? = 2y ? x ?x ?y ② ③

而由 C-R 条件,

1 所以 v = ∫ (2 y ? x)dx + g ( y ) = 2 xy ? x 2 + g ( y ) 2 再将 v 对 y 求偏导: 一方面,由 C-R 条件, ?v ?u = = 2x + y , ?y ?x ?v dg = 2x + ?y dy 所以 g = ⑥ 1 2 y +c 2



另一方面,由

③式得: dg =y dy 1 2 1 2 x + y +c 2 2



由④⑤两式得 所以 v = 2 xy ?

再由已知 f (i ) = ?1 + i ,即当 x = 0, y = 1 时, v = 1 ,代入 ⑥式得 c = 所以, v = 2 xy ? 1 2 1 2 1 x + y + 2 2 2 ⑦ 1 2 1 2 1 1 1 x + y + ) = (1 ? i) z 2 + i 2 2 2 2 2

1 2

则 f ( z ) = x 2 ? y 2 + xy + i (2 xy ?



(2) u = 2( x ? 1) y ,

f (2) = ?i

3

解:采用不定积分法: v=∫ ?v dx + g ( y ) ?x ①

而由 C-R 条件,

?v ?u =? = ?2 x + 2 ?x ?y

② ③

所以 v = ∫ (2 ? 2 x)dx + g ( y ) = 2 x ? x 2 + g ( y ) 再将 v 对 y 求偏导: 一方面,由 C-R 条件, ?v ?u = = 2y , ?y ?x ?v dg = ?y dy ④

另一方面,由

③式得: dg = 2y dy



由④⑤两式得

所以 g = y 2 + c ⑥

所以 v = 2 x ? x 2 + y 2 + c

再由已知 f (2) = ?i ,即当 x = 2, y = 0 时, v = ?1 ,代入 ⑥式得 c = ?1 所以, v = 2 x ? x 2 + y 2 ? 1 ⑦ ⑧

则 f ( z ) = 2( x ? 1) y + i (2 x ? x 2 + y 2 ? 1) = ?i(1 ? z ) 2

P22 习题 1.4
6.(2)解方程: e z = 1 + i 3 解:先将 e z 写成指数的形式: e z = 2e 则 z = Ln[2e
π i ( + 2 kπ ) 3 π i ( + 2 kπ ) 3

] = ln 2 + Lne

π i ( + 2 kπ ) 3

= ln 2 + i(

π + 2kπ ) 3

(k = 0,±1,±2...)

7.判断下列函数是单值的还是多值的,若是多值的,是几值?其支点是什么? (1) z + z ? 1 (6) cos z z

4

解: (1)因为 z 是单值函数,而 z ? 1 是 2 值的,支点是 1 , ∞ 所以,函数 z + z + 1 是 2 值的,支点是 1 , ∞ ( 6 ) z = | z |e
i arg z + 2 kπ 2

, 记 它 的 两 个 单 值 分 支 为

arg z i ? 2 w | z | e = ? 1 ? arg z arg z ?w = | z |ei ( 2 + π ) = ? | z |ei 2 = ? w 1 ? 2

? cos w1 ? cos z ? w1 则 =? z ? cos w2 = cos(? w1 ) = cos(w1 ) ? ? w1 ? w1 ? w2 所以, cos z 是 2 值的函数,支点与 z 的支点相同,是 0 和 ∞ . z

8.设 w = 3 z 确定在沿负实轴割破了的 z 平面上,并且 w(i) = ?i ,求 w(?i ) . 解:根据已知,可设定 ? π < arg z ≤ π w = 3 z = 3 | z |e
i arg z + 2 kπ 3

(k = 0,1,2) , 是 3 值函数,它的三个单值分支为:

arg z i ? arg z π π 3 3 , 其辐角记为φ1 = ,其变化范围为 - < φ1 ≤ ?w1 = | z |e 3 3 3 ? (arg z + 2π ) ? i (arg z + 2π ) π ,其变化范围为 < φ2 ≤ π ?w2 = 3 | z |e 3 , 其辐角记为φ2 = 3 3 ? (arg z + 4π ) ? i (arg z + 4π ) 5π ,其变化范围为π < φ3 ≤ ?w3 = 3 | z |e 3 , 其辐角记为φ3 = 3 3 ?

已知 w(i) = ?i ,即 z = i 时, w = ?i = e

i(?

π + 2 kπ ) 2

, w 的幅角为 ?

π + 2kπ ,其中只有 2
(arg z + 4π ) 3

辐角

i 3π 在上述 w1 , w2 , w2 限定的范围内,它是在分支 w3 = 3 | z |e 2

的辐角

范围内,所以,我们应在分支 w3 中求解 w(?i ) . 当 z = ?i 时, arg z = ? w3 (?i ) = e
i (arg z + 4π ) 3

π ,这时, 2 = ?e
i π 6

=e

i

7π 6

= ?(cos

π π 3 1 + i sin ) = ?( + i) 6 6 2 2

5

10.(4)计算: Ln(1 + i ) 解: Ln(1 + i) = Ln[ 2e
π i ( + 2 kπ ) 4

] = ln 2 + i (

π + 2kπ ) 4

(k = 0,±1,±2...)

6


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