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高考数学一轮复习:第7章 立体几何 第2讲



第七章
A组
一、选择题

第二讲
基础巩固
)

1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (

A.3π C.2π+4 [答案] D

B.4π D.3π+4

1 [解析] 由三视图可知该几何体的直观图是截去一半的圆柱,其表

面积为 S=2π×2× + 2 π×12+2× 2=3π+4. 2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

1 A. +2π 3 7π C. 3 [答案] B

13π B. 6 5π D. 2

[解析] 由三视图知,该几何体为一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱与一个底面半径为 1 1 13π 1、高为 1 的半圆锥的组合体,其体积为 π×12× 2+ × π×12× 1= ,故选 B. 2 3 6

1

3.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的体积为 ( A. 2π 3 B. 2π 2 2π D. 3

)

C.2π [答案] A

[解析] 由三视图可知,该几何体是正八面体,棱长为 1,其外接球半径为 4 4 2 2π 外接球的体积为 πR3= π·( )3= ,选 A. 3 3 2 3

2 ,所以其 2

4.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( 2 2π A. 3 C.2 2π [答案] B [解析] 由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为 2、高为 2的圆锥的组合体, ) 4 2π B. 3 D.4 2π

1 4 2 其体积为 2× ×π×( 2)2× 2= π. 3 3 5.在正六棱锥 P-ABCDEF 中,若 G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P- GAC 体积之比为 ( )

A.1?1 C.2?1 [答案] C [解析] 设棱锥的高为 h,

B.1?2 D.3?2

2

1 1 VD-GAC=VG-DAC= S△ADC· h, 3 2 1 1 h VP-GAC= VP-ABC=VG-ABC= S△ABC· . 2 3 2 又 S△ADC?S△ABC=2?1,故 VD-GAC?VP-GAC=2?1. 6.长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,若这个长方体的顶点都在同一球面上,则 这个球的表面积为 ( 7 A. π 2 C.14π [答案] C [解析] 设长方体长、宽、高分别为 a,b,c,不妨取 ab=2,bc=3,ac=6,长方体的 体对角线长为 a2+b2+c2. ab=2, ? ? 而由?bc=3, ? ?ac=6, a=2, ? ? 得?b=1, ? ?c=3. ) B.56π D.64π

d 14 ∴球的直径 d= 22+12+32= 14.∴r= = . 2 2 14 ∴S 球=4πr2=4π× =14π. 4

二、填空题 2 7.已知某圆锥体的底面半径 r=3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 π 3 的扇形,则该圆锥体的表面积是____________________. [答案] 36π [解析] 由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为 2πr=6π,从而其母 6π 1 线长为 l= =9,从而圆锥体的表面积为 S 侧+S 底= ×9×6π+9π=36π.故答案为 36π. 2π 2 3 8.在底面直径为 6 的圆柱形容器中,放入一个半径为 2 的冰球,当冰球全部溶化后, 容器中液面的高度为____________________.(相同质量的冰与水的体积比为 10?9) [答案] 16 15

4 32π 32π 9 [解析] 设容器中液面的高度为 h, 则冰的体积 V1= ×π×23= , 则水的体积为 × 3 3 3 10 48π 48π 16 = ,则 9πh= ,解得 h= . 5 5 15 9.已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,其俯视图如图所示,侧视图为直角三角形,
3

则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为 ____________________ ,该四棱锥的体积为 ____________________.

[答案] 3

4 3

[解析] 根据题意还原出四棱锥模型如图所示,O 为 BC 的中点,且 PO⊥底面 ABCD. 由俯视图知,BC=2,BO=OC=1,显然 BA⊥平面 PBC,DC⊥平面 PBC,所以 BA⊥BP, DC⊥PC,所以△ABP,△PCD 为直角三角形.又侧视图为直角三角形,故△PBC 为直角三 1 1 2 4 角形,所以 PO= BC=1,所以 V= × 2× 1= . 2 3 3

10.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上,则该 圆锥的体积与球 O 的体积的比值为____________________. [答案] 9 32
圆锥

[解析] 设等边三角形的边长为 2a,则 V

1 3 = ·πa2· 3a= πa3;又 R2=a2+( 3a- 3 3

2 3 4π 2 3 3 32 3π 3 9 R)2,所以 R= a,故 V 球= · ( a) = a ,则其体积比为 . 3 3 3 27 32

三、解答题 11.如图所示,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE, △BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.

[答案]

2 3

[解析] 法一:如图所示,分别过 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG, CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.

4

1 ∵三棱锥高为 ,直三棱柱柱高为 1, 2 AG= 1 3 12-? ?2= , 2 2 2 , 2

取 AD 中点 M,则 MG= 1 2 2 ∴S△AGD= × 1× = , 2 2 4 ∴V=

2 1 2 1 2 × 1+2× × × = . 4 3 4 2 3

法二:如图所示,取 EF 的中点 P,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知 三棱锥 P-AED 和三棱锥 P-BCF 都是棱长为 1 的正四面体,四棱锥 P-ABCD 为棱长为 1 的正四棱锥.

1 2 2 1 3 6 2 ∴V= × 1 × +2× × × = . 3 2 3 4 3 3 12.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,侧面是全 等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积. [答案] 1900 cm3 [解析] 如图所示,在三棱台 ABC-A′B′C′中,O′,O 分别为上、下底面的中心,D,D′ 分别是 BC,B′C′的中点,则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高.

又 A′B′=20 cm,AB=30 cm, 1 所以 S 侧=3× × (20+30)× DD′=75DD′. 2 S 上+S 下= 3 × (202+302)=325 3(cm2). 4

由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3, 所以 DD′= 13 3 cm, 3
5

又因为 O′D′= OD=

3 10 3 × 20= (cm), 6 3

3 × 30=5 3(cm), 6

所以棱台的高 h=O′O = D′D2-?OD-O′D′?2 = ? 13 3 2 10 3 2 ? -? 5 3- ? =4 3(cm), 3 3

由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 h V= (S 上+S 下+ S上S下) 3 = 4 3 3 × (325 3+ × 20× 30) 3 4

=1 900(cm3). 故棱台的体积为 1 900 cm3.

B组

能力提升
)

1.如图(1),在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上的一点, 它的正视图和侧视图如图(2)所示,则下列命题正确的是 (

8 A.AD⊥平面 PBC,且三棱锥 D-ABC 的体积为 3 8 B.BD⊥平面 PAC,且三棱锥 D-ABC 的体积为 3 16 C.AD⊥平面 PBC,且三棱锥 D-ABC 的体积为 3 16 D.BD⊥平面 PAC,且三棱锥 D-ABC 的体积为 3 [答案] C [解析] 由正视图可知,PA=AC,且点 D 为线段 PC 的中点,所以 AD⊥PC.由侧视图 可知,BC=4.因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC.又 BC⊥AC,且 AC∩PA=A,所以 BC⊥平 1 1 16 面 PAC,所以 BC⊥AD.又 PC∩BC=C,所以 AD⊥平面 PBC,VD-ABC= × ( PA)× S△ABC= . 3 2 3 2.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上,AB=AC,侧
6

面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面积为 (

)

A.2 C. 2 [答案] C

B .1 D. 2 2

[解析] 由题意知,球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 处,BC 为截面圆的直径,所以∠BAC =90° , △ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点处, 同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中点. 设 x x 正方形 BCC1B1 的边长为 x,Rt△OMC1 中,OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径), 2 2 x x 所以( )2+( )2=1,即 x= 2,则 AB=AC=1,所以 S 矩形 ABB1A1= 2× 1= 2. 2 2 3.(原创题)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

?4 +π? 3 A. 3 ?4 +π? 3 C. 6 [答案] C

?4 +π? 3 B. 2 D.(4+π) 3

[解析] 由该几何体的三视图可知,该几何体是左面为底面半径为 1、高为 3、母线长 为 2 的半圆锥,右边是底面为等腰三角形(底边为 2、高为 2)、高为 3的三棱锥拼成的一个 ?4 +π? 3 1 1 1 1 π 4 组合体. 所以此组合体的体积为: × ×π×12× 3+ × × 2× 2× 3= × 3+ × 3= . 3 2 3 2 6 6 6 故选 C. 4.如图为一简单组合组,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD =AD=2EC=2.

7

(1)画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积. [答案] (1)略 (2)2

[解析] (1)如图所示:

(2)∵PD⊥平面 ABCD,PD? 平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD. ∵BC⊥CD, ∴BC⊥平面 PDCE. 1 1 ∵S 梯形 PDCE= (PD+EC)· DC= × 3× 2=3, 2 2 1 1 ∴四棱锥 B-CEPD 的体积 VB-CEPD= S 梯形 PDCE· BC= × 3× 2=2. 3 3 5.如图所示的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的 正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接 BC′,证明:BC′∥平面 EFG. [答案] (1)略 284 (2) cm3 3 (3)略

8

[解析] (1)如图所示.

(2)所求多面体的体积是: 1 1 284 V=V 长方体-V 正三棱锥=4× 4× 6- × ( × 2× 2)× 2= cm3. 3 2 3

(3)如图所示,复原长方体 ABCD-A′B′C′D′, 连接 AD′,则 AD′∥BC′. ∵E,G 分别是 AA′,A′D′的中点, ∴AD′∥EG.从而 EG∥BC′. 又 BC′?平面 EFG, ∴BC′∥平面 EFG.

9



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