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直线与平面垂直的判定


§ 2.3.1直线与平面垂直的判定
杭州东方中学 许小丹

教学目标:
1 、理解直线与平面垂直的定义;

2 、探究、归纳直线与平面垂直 的判定定理及应用。

教学重、难点:
重点:直线与平面垂直的判定定理 的运用; 难点:直线与平面垂直的判定定理 的推导。

回顾知识:

空间中一条直线与平面有哪几种位置关系?
位置关系 图形语言 符号语言

①直线在 平面内
②直线与 平面平行 ③直线与 平面相交

?

l l

l ?? l // ?

?

m
l
A

?

l ?? ? A

情境引入:

情境引入:

情境引入:

情境引入:

思考:如何定义一条直线与一个平面垂直?

A

?

B

A

?

B

A

?

B

A

?

B

A

?

B

? 内过点B 的所有直线 ? AB 所在直线

? 内不过有直线与 AB 所在直线垂直吗?

? 内?任意一条?直线 ? AB 所在直线

A

B1

?

B

C1

一、直线与平面垂直的定义:
1.文字语言:

如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直, 则称这条直线与这个平面垂直.记作 l ? ?
平面α的垂线
王新敞
奎屯 新疆

l
直线l的垂面

2.图形语言:

α
3.符号语言:

P
垂足P

l ? ?,l ?? ? P

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)
1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面 内所有的直线都垂直. a ? ? ? ( ) ??a ? m m ?? ? 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那 么它与平面垂直. ( )
b

a

?

练习:在下图的长方体中,请列举与平面ABCD 垂直的直线。

D1

C1

A1
D

B1
C

A

B

思考:如何证明AA 1 ? 平面ABCD ?

二、小组合作探究活动:如何判定直线与平面垂直

探究1:能否用定义判断线面垂直?如何操作?

不能
?

l

但是,直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的,这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!

探究2:有没有一个简单可行的办法来判断 直线与平面垂直? ①如果直线 l 与平面 ? 内的一条直线垂直, 能保证 l ? ? 吗? 不能
②如果直线 l 与平面 ? 内的两条直线垂直, 能保证 l ? ? 吗?
l
?

不一定
l
?

探究3:(动手操作) 请同学们拿出准备好的三角形纸片. 我们一起做一个试验:过三角形的顶点A翻折 纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在 桌面上(BD、DC与桌面接触) 1.你折的折痕AD与桌面垂直吗? 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
A
C

A
D

?B

D

C

?

B

探索新知: 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
A
C

A
D

B

D

C

?

B

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD 所在直线与桌面所在平面 ?垂直.

探索新知: 由刚才分析可以知道,直线与平面垂直的 判定需要哪几个条件?

(1) 平面内有两条直线 (2) 且这两条直线要相交 (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直 你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂 直判定定理吗?

三、 直线与平面垂直的判定定理:
1.文字语言: 一条直线与一个平面内的两条相交直

线都垂直,则该直线与此平面垂直。
l关键:线不在多,两条相交
2.图形语言:
? m l?m
P

n

无限问题→ 有限问题

3.符号语言:

线线垂直 ? 线面垂直

? ? l?n ? ??l ?? m?n ? p? m、n ? ? ? ?

练习:在长方体ABCD ? A1B1C1D1中,
求证:AA 1 ? 平面ABCD

D1

C1

口诀:想证线面垂直, A1 可先证线线垂直。
D

B1
C

证明:AA1 ? AD

? ? AA1 ? AB ? ? ? AA1 ? 平面ABCD AD ? AB ? A ? AD、AB ? ABCD ? ?

A

B

四、 例题:(注意:答题规范性)
例1.证明 : 如果两平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于该平面。 a ??? 已知:a ? ? , a / /b. ??b ?? a / /b ? 求证:b ? ? .
证明:设m、n是平面? 内两条相交直线,且m ? n ? P.
a ?? ? ? ? a ? m? m ?? ? ??b ? m a / /b ? ?

a
? m
P n

b

? 同理:b ? n ? ?? b ?? 这可以作为 m、n ? ? ? 证明线面垂直 m?n ? P ? ?

的一个方法

五、牛刀小试: (注意:答题规范性)
1.在三棱锥V ? ABC中,VA ? VC , AB ? BC , K 是AC的中点. 求证:AC ? 平面VKB.
2.如图,已知PA ? 平面ABC, AB是 ? O的直径,C是 ? O 上的任一点. 求证:BC ? 平面PAC.

变式应用:
1.在三棱锥V ? ABC中,VA ? VC , AB ? BC , K 是AC的中点. 求证:AC ? 平面VKB.
V
A K E B

变题:

(1)求AC 与VB 的位置关系?垂直

C F

(2)若E、F 分别为AB、BC 的中点, 试判断EF 与平面VKB 的位置关系?

垂直 错误

(3)在(2)的条件下,有人说 “ 因为 VB ? AC , VB ? EF ,则VB ? 平面ABC ”,对吗?

六、我们的收获:

1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定 3.数学思想方法:转化思想
空间问题 无限问题 平面问题 有限问题

七、课后作业:

《课时》配套练习

杭州东方中学

许小丹



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