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河南省豫东、豫北十所名校2014届高三数学阶段性测试试题(五)文



河南省豫东、豫北十所名校 2014 届高三数学阶段性测试试题(五)文(扫描版) 新人教 A 版

2013—2014 学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(五) 数学(文科)· 答案

(1)D (7)C (13)

(2)B (8)C

(3)B (9)B

>(4)C (10)C (14)7 (16) 11

(5)A (11)A

(6)B (12)D

4 3

(15) ?2 3 (17)解: (Ⅰ)由 an+1

= 3an - 2n 可得

an+1 - 2n+1 = 3an - 2n - 2n+1 = 3an - 3?2n
又 a2 得 a2

3(an - 2n ) ,

= 3a1 - 2 ,则 S2 = a1 + a2 = 4a1 - 2 , + S2 = 7a1 - 4 = 31 ,得 a1 = 5 ,? a1 ? 21 ? 3 ? 0,

an+1 - 2n+1 \ = 3 ,故 {an - 2n }为等比数列.……………………………………………(6 分) n an - 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an

- 2n = 3n- 1 (a1 - 21) = 3n ,故 an = 2n + 3n ,

? Sn ?

2(1 ? 2n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 7 ? ? 2n?1 ? ? . …………………………………………(12 分) 1? 2 1? 3 2 2

(18)解: (Ⅰ)取 O 为 AD 的中点,连接 CO, PO ,如下图. 则在矩形 ABCD 中,有

CD AD ? ? 2 ,可得 R t △CDO∽R t △DAB , DO AB

则 ?OCD ? ?BDA, 故 ?OCD ? ?CDB ? 90? , 故 BD ? OC ,…………………………………………………………………………………(3 分) 由 PA ? PD , O 为 AD 中点,可得 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD . 则 PO ? 平面ABCD ,则 PO ? BD . 又 OC ? 平面 POC , PO ? 平面 POC ,则有 BD ? 平面 POC , 又 PC ? 平面 POC ,故 PC ? BD .…………………………………………………………(6 分)

(Ⅱ)在矩形 ABCD 中,连接 BO ,则 OB ? OC ? OD ? CD ? 1 ? ( 2) ? 3 ,又
2 2 2 2

PB ? BC ? 2 ,则 OP ? PB 2 ? OB 2 ? 22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

则四棱锥 P ? ABCD 的体积 VP ? ABCD ? (19)解: (Ⅰ)男教师的平均成绩为

1 1 2 2 .……(12 分) S矩形ABCD ? OP ? ? 2 ? 2 ?1 ? 3 3 3
69 ? 78 ? 77 ? 87 ? 86 ? 89 ? 92 ? 94 ? 95 ? 85.2 . 9

女教师成绩的中位数为 83.…………………………………………………………………(4 分) (Ⅱ)能进入 面试环节的男教师有 6 位,女教师有 3 位,记满足条件的 6 位男教师分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,满足条件 的 3 位女教师分别为 b1 , b2 , b3 , 则从中任取 2 人的情况有:

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a1, a5 ),(a1, a6 ),(a1, b1),(a1, b2 ),(a1, b3 ) ; (a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , a5 ),(a2 , a6 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ) ; (a3 , a4 ),(a3 , a5 ),(a3 , a6 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a3 , b3 ) ; (a4 , a5 ),(a4 , a6 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(a4 , b3 ) ; (a5 , a6 ),(a5 , b1 ),(a5 , b2 ),(a5 , b3 ) ;
(a6 , b1 ),(a6 , b2 ),(a6 , b3 ) ; (b1 , b2 ),(b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,即基本事件共有 36 个,…………………………………………(8 分)
至少有一位男教师的的基本事件有 33 个,…………………………………………………(10 分) 故 2 位老师中至少有一位男教师的概率 P ?

33 11 ? .…………………………………(12 分) 36 12

(20)解: (Ⅰ)由题意得所求切线的斜率 k ? f ?( ) ? cos

π 4

π 2 .…………………(2 分) ? 4 2

由切点 P ( , 即x?

π 4

2 2 2 π ), 得切线方程为 y ? ? (x ? ) . 2 2 2 4
π ? 0 .…………………………………………………………………(5 分) 4

2y ?1?

(Ⅱ)令 h( x) ? x ? sin x, x ? [0,??) , h?( x) ? 1 ? cos x≥0 , 则 h( x) 是 [0,??) 上的增函数,故当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 所以 x ? sin x ? 0 ,即 x ? f ( x) .………………………………………………………(8 分) 令 ? ( x) ? sin x ?

x2 x3 ? x, x ? [0, ??) , ? ?( x) ? cos x ? ? 1 , 2 6

令 u ( x) ? ? ?( x) , x ? [0,??) , u?( x) ? x ? sin x≥0 ,则 u ( x) 是 [0,??) 上的增函数,

故当 x≥0 时, u( x)≥u(0) ? 0 ,即 ? ?( x)≥0 ,因此 ? ( x) 是 [0,??) 上的增函数, 则当 x ? 0 时, ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,即 sin x ?

x3 ? x ? 0 , f ( x) ? g ( x) .……………(11 分) 6

综上, x ? 0 时, x ? f ( x) ? g ( x) .………………………………………………………(12 分) (21)解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ?
2

p , 2
2

则将直线 l 的方程代入抛物线 C 的方程可得 x ? 2 pkx ? p ? 0 , 则 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ? p2 , (*) 故 AB ? AF ? BF ? y1 ?

p p ? y2 ? ? kx1 ? p ? kx2 ? p ? 2 p (k 2 ? 1) . 2 2
1

因直线 MA 为抛物线在 A 点处的切线,则 k MA ? y? x ? x ?

x1 , p

故直线 MA 的方程为 y ?

x1 x2 x? 1 , p 2p x2 x2 x? 2 , p 2p
p x1 ? x2 x1 x2 , ) ,由(*)式可得 M ( pk , ? ) , 2 2 2p

同理,直线 MB 的方程为 y ?

联立直线 MA, MB 的方程可得 M ( 则点 M 到直线 l : y ? kx ? 故 S?MAB ?

p 的距离 d ? p k 2 ?1 , 2

3 1 AB d ? p 2 ? k 2 ? 1? 2 ≥p 2 , 2

由 △MAB 的面积的最小值为 4,可得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 k MA ? k MB ? 故 | MA | ? | MB | ?| AB | , ①
2 2 2

p 2 = 4 ,故 p = 2 .……………………………(6 分)

x1 x2 ? ?1,故 MA ? MB ,则△MAB 为直角三角形, p2

由 △MAB 的三边长成等差数列,不妨设 MA ? MB ,可得 | MA | ? | AB |? 2 | MB |, ② 联立①,②可得 MA : MB : AB ? 3 : 4 : 5 , 由 S△MAB

=

1 1 d 12 MA MB = AB d ,可得 = , 2 2 AB 25

又 AB ? 2 p(k 2 ?1) ? 4(k 2 ?1) , d ? p k 2 ? 1 ? 2 k 2 ? 1 , 则

25 d 1 12 , ? ? ,故 k 2 ? 1 ? 24 AB 2 k 2 ? 1 25

25 .………………………………………(12 分) 12 (22)解: (Ⅰ)过点 P 作圆 O 的切线交直线 EO 于 F 点,由弦切角性质可知 ?NPF ? ?PBA , PM ? PN ,??PNO ? ?PMA , 则 ?PNO ? ?NPF ? ?PMA ? ?PBA , 即 ?PFN ? ?BAO .
2 得此时 M 到直线 AB 的距离 d ? 2 k ? 1 ?

又 PF 为圆 O 的切线,故 ?POA ? ?PFN ? 90? , 故 ?POA ? ?BAO ? 90 .……………………………………………………………………(5 分) (Ⅱ)若 BC∥PE ,则 ?PEO ? ?BAO ,又 ?POA ? 2?PEO , 故 ?POA ? 2?BAO , 由(Ⅰ)可知 90 ? ?POA ? ?BAO ? 3?BAO ,故 ?BAO ? 30? ,

PE 3 PE ? 则 ?PEO ? ?BAO ? 30 , cos ?PEO ? 2 ,即 , 2 2 EO EO PE PE ? ? 3 .…………………………………………………………………………(10 分) 故 PO EO
(23)解: (Ⅰ)当 tan ? ? ?2 时,将直线 C1 的参数方程化成直角坐标方程为 y ? ?2 x ? 4 , 曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程为 ( x ?1) ? y ? 1 ,
2 2

则圆 C2 的圆心为 C2 (1, 0) ,半径 r ? 1, ……………………………………………………(3 分) 则圆心 C2 到直线 C1 : y ? ?2x ? 4 的距离 d ?

2 , 5

则 AB ? 2 r ? d ? 2 1 ?
2 2

4 2 5 .……………………………………………………(5 分) ? 5 5

(Ⅱ)由直线 C1 的方程可知,直线 C1 恒经过定点 (1, 2) ,记该定点为 Q ,弦 AB 的中点 P 满足 C2 P ^ 故点

QP ,

P 到 C2Q

的中点

D(1,1) 的 距 离 为 定 值 1 , 当 直 线 C1 与 圆 C2 相 切 时 , 切 点 分 别 记 为

E , F .……………………………………………………………………………(7 分)

由图,可知 ?EDC2 ? ?FDC2 ? 60 ,则点 P 的参数方程为 í

ì 11π ? x = 1 + cos j 7 π ( <j < ), 6 6 ? y = 1 + sin j ?

表示的是一段圆弧.…………………………………………………………………………(10 分)

1 ? ?5 x ? 2, x≥ 2 ? 1 ? 1 (24)解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? x, ? x ? ,……………(2 分) 2 ? 3 1 ? ??5 x ? 2, x≤ 3 ?
1 6 时, f ( x) ? 5x ? 2≥4 ,得 x≥ ; 2 5 1 1 当 ? x ? 时, f ( x) ? x≥4 ,无解; 3 2 1 2 当 x≤ 时, f ( x) ? ?5 x ? 2≥4 ,解得 x≤ ? ; 3 5
当 x≥ 综上可知, f ( x)≥4 的解集为 ? x x≥ 或x≤ ? ? .……………………………………(5 分)

? ?

6 5

2? 5?

1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ a ? 1 1 ? (Ⅱ)当 a ? 3 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 1 ? ?( a ? 3) x, ? x ? , a 3 ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ 3 ?
故 f ( x ) 在区间 (??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 上单调递增; 故 f ( x )≥f ( ) ,与题意不符;………………………………………………………………(7 分)

1 a

1 a

1 a

1 ? ??(a ? 3) x ? 2, x≤ 3 ? 1 1 ? 当 0 ? a≤3 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? ax ? 1 ? ?(3 ? a ) x, ? x ? , 3 a ? 1 ? ?(a ? 3) x ? 2, x≥ a ?

故 f ( x ) 在区间 (??, ] 上单调递减,在区间 [ , ??) 单调递增; 故 f ( x )≥f ( ) , 综上可知, a 的取值范围为 (0,3].………………………………………………………(10 分)

1 3

1 3

1 3



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