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第二章基本初等函数、导数及其应用第6课时



第二章

基本初等函数、导数及其应用

第6课时 指数函数

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

教材回扣夯实双基
基础梳理

1.根式的概念
根式的概念 xn=a ,那么x叫 如果________ 做

a的n次方根 符号 表示 备注 n> 1且 n∈N*

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基本初等函数、导数及其应用

根式的概念 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个______ 正数 , 负数的 n 次方根是一个 负数 ______

符号 表示 n

备注 零的 n 次 方根是零

a

当 n 为偶数时,正数的 n 负数没有 ± a 两个 ,它 n 次方根有______ 偶次方根 ( a > 0) 相反数 们互为_______

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基本初等函数、导数及其应用

思考探究 n n n n a 与( a) 是否相同?
提示:不同,( a) 等于 a,而 an当 n 为奇数时为 a,n 为偶数时为-a. n
n

n

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基本初等函数、导数及其应用

2.分数指数幂 (1) 规定:正数的正分数指数幂的意义 m n m n 是:a = a (a>0,m,n∈N*,且 nm >1); - 正数的负分数指数幂的意义是: a n = 1 n m a ______ (a>0,m,n∈N*,且 n>1);0

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基本初等函数、导数及其应用

0 ; 0 的负分数 的正分数指数幂等于 ____ 没有意义 . 指数幂___________ (2) 有 理 指 数 幂 的 运 算 性 质 : aras = ar+s , (ar)s = ______ ars , (ab)r = ______, a rb r ______ 其中a>0,b>0,r,s∈Q.

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基本初等函数、导数及其应用

3.指数函数的图象及其性质 a>1 0<a<1

图象

定义域

R
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基本初等函数、导数及其应用

a>1
值 域 (0,+∞) ___________

0<a<1

过定点(0,1),即x=0时,y=1 y>1 ; 当x>0时,______ 0<y<1; 当x>0时,______ 性 当x<0时,_______ 0<y<1 当x<0时,______ y>1 质 在(-∞,+∞)上 在(-∞,+∞)上 增函数 减函数 是________ 是________
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基本初等函数、导数及其应用

课前热身
1.将
1 2

3

-2 2 化为分数指数幂, 其正确 ) B.-2
1 2 1 D.-2 2

的形式是( A. 2
1 C. 2 2

答案:B
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基本初等函数、导数及其应用

2.函数f(x)=3-x-1的定义域、值域
是( )

A.定义域是R,值域是R
B.定义域是R,值域是(0,+∞) C.定义域是R,值域是(-1,+∞) D.以上都不对 答案:C
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基本初等函数、导数及其应用

3.函数y=ax(a>0,且a≠1)对于任意的 实数x、y都有( )

A.f(xy)=f(x)· f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)· f(y) D.f(x+y)=f(x) +f(y) 解析:选C.f(x)· f(y)=ax· ay=ax+y=f(x+ y),故选C.
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4. (2011· 高考湖北卷)若定义在 R 上的偶 函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)= ex,则 g(x)=( A.e -e
x
-x

) 1 x -x B. (e +e ) 2 1 x -x D. (e -e ) 2

1 -x x C. (e -e ) 2

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基本初等函数、导数及其应用

解析:选 D.因为函数 f(x)是偶函数,g(x) 是奇函数, 所以 f-x+g-x=f(x)-g(x)=e-x. 又 因 为 f(x) + g(x) = ex , 所 以 g(x) = ex-e-x . 2

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?a,a≤b 5.定义运算 a⊕b=? ,则函数 ?b,a>b

f(x)=1⊕2x 的图象是下图中(

)

?1,x≥0 解析:选 A.∵f(x)=1⊕2 =? x , ?2 ,x<0
x

∴A 项符合题意.
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基本初等函数、导数及其应用

考点探究讲练互动
考点突破 指数式的化简与求值
化简原则: (1)化负指数为正指数; (2)化根式为分数指数幂;

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基本初等函数、导数及其应用

(3)化小数为分数; (4)注意运算的先后顺序. 说明:有理指数幂的运算性质中,其 底数都大于0,否则不能用性质来运 算.

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基本初等函数、导数及其应用

例1

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】 (1)因为题目中的式子既 有根式又有分数指数幂,先化为分数指 数幂以便用法则运算; (2)注意 x2+x-2; 之间的关系. 与

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基本初等函数、导数及其应用

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

对于结果的形式,如

果题目是以根式的形式给出的,则结

果用根式的形式表示,如果题目以分
数指数幂的形式给出的,则结果用分

数指数幂的形式表示.结果不要同时
含有根号和分数指数幂,也不要既有

分母又含有负指数幂.

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基本初等函数、导数及其应用

指数函数的图象及其应 用
对于指数型函数图象的研究,一般是 从最基本的指数函数的图象入手,通 过平移、伸缩、对称变换而得到.特 别地,要注意底数a>1与0<a<1的两种

不同情况.

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基本初等函数、导数及其应用

例2

1 |x+1| 已知函数 y=( ) . 3

(1)作出其图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】 先化去绝对值符号,将函 数写成分段函数的形式,再作图象;也可 1 |x| 1 |x+1| 作出 y=( ) 的图象后平移,得 y=( ) 3 3 的图象,进而得单调区间与最值.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

(1)法一:由函数解析式可得

? 1 x+1 1 |x+1| ??3? ,x≥-1, y=( ) =? 3 ? x+1 ?3 , x<-1,

其图象由两部分组成: 1x 一部分是把 y=( ) (x≥0)的图象 3 1 x+1 向左平移1个单位 ――――――――→y=( ) (x≥-1)的图 3

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基本初等函数、导数及其应用

象;如图: 另 一 部 分 是 把 y = 3x(x<0) 的 图 象 向左平移1个单位 x+1 ――――――――→ y = 3 (x< - 1) 的 图 象.

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基本初等函数、导数及其应用

1 |x| 法二:①由 y=( ) 可知函数是偶函数, 3 1x 其图象关于 y 轴对称,故先作出 y=( ) 3 的图象保留 x≥0 的部分, 当 x<0 时, 其 1x 图象是将 y=( ) (x≥0)的图象关于 y 轴 3 1 |x| 对折,从而得出 y=( ) 的图象. 3

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基本初等函数、导数及其应用

1 |x| ②将 y=( ) 向左移动 1 个单位, 即可得 3 1 |x+1| y=( ) 的图象,如图: 3 (2)由图象知函数在(-∞, -1]上是增函 数,在[-1,+∞)上是减函数. (3)由图象知当 x=-1 时,有最大值 1, 无最小值.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

带有绝对值的图象作

图,一般分为两种情况,一种是去掉绝

对值号作图;另一种是不去绝对值号,
如y=f(|x|)可依据函数是偶函数,先作

出y=f(x)(x≥0)的图象,x<0时的图象
只需将y=f(x)(x≥0)的图象关于y轴对

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基本初等函数、导数及其应用

称过去即可.又如y=|f(x)|的图象,可

作出y=f(x)的图象,保留x轴上方图象
及图象与x轴的交点,将下方图象关于

x轴对称过去即可得y=|f(x)|的图象.

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基本初等函数、导数及其应用

指数函数的性质
复合函数的单调性问题,应先弄清函

数由哪些基本函数复合得到,求出复
合函数的定义域,然后分层逐一求解

内层函数的单调区间和外层函数的单
调区间,注意“同增异减”;也可考虑 用导数法分析.
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基本初等函数、导数及其应用

例3

已知函数

.

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

函数f(x)是由指数函

数和二次函数复合而成的,因此可通
过复合函数单调性法则求单调区间,

研究函数的最值问题.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

(1) 当 a = - 1 时 , f(x) =

, 令 g(x)=-x2-4x+3, 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在 1t (-2,+∞)上单调递减,而 y=( ) 在 R 3 上单调递减,

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基本初等函数、导数及其应用

所以 f(x) 在 ( -∞,- 2) 上单调递减, 在 ( - 2 , + ∞) 上 单 调 递 增 , 即 函 数

f(x) 的递增区间是 ( - 2 ,+∞) ,递减
区间是(-∞,-2).

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基本初等函数、导数及其应用

1 h(x) (2)令 h(x)=ax -4x+3,y=( ) , 3 由于 f(x)有最大值 3, 所以 h(x)应有最小 值-1,因此必有
2

?a>0 ? ?12a-16 ? =-1 4 a ?

,解得 a=1,

即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

求解与指数函数有关

的复合函数问题时,首先要熟知指数 函数的定义域、值域、单调性等相关

性质,其次要明确复合函数的构成,
涉及值域、单调区间、最值等问题时, 都要借助“同增异减”这一性质分析判 断,最终将问题归纳为与内层函数相 关的问题加以解决.

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基本初等函数、导数及其应用

互动探究

在例3条件下,若f(x)的值域是(0,+
∞),求a的值.

1 h(x) 解: 由指数函数的性质知, 要使 y=( ) 3 的值域为(0,+∞).应使 h(x)=ax2-4x +3 的值域为 R,因此只能有 a=0.因为 若 a≠0,则 h(x)为二次函数,其值域不 可能为 R.故 a 的值是 a=0.
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基本初等函数、导数及其应用

指数函数的综合应用
例4

a 已知 f(x) = 2 (ax - a - x)(a>0 a -1

且 a≠1). (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立.求 b 的取值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

(1)先研究函数定义域 ,

再依照奇偶函数的定义判断奇偶性; (2) 对于单调性,可结合指数函数的单 调性进行分析; (3) 对于恒成立问题, 则可借助单调性,求出f(x)的最值,再

求解b的范围.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 对称.

(1)函数定义域为 R,关于原点

a 又因为 f(-x)= 2 (a-x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)法一:(运算法)当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数, -x x 从而 y=a -a 为增函数,所以 f(x)为 增函数.

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基本初等函数、导数及其应用

当0<a<1 时,a2-1<0,y=ax为减函数 ,y
=a-x为增函数,

从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为
增函数.

故当 a>0 ,且 a≠1 时, f(x) 在定义域内
单调递增.

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基本初等函数、导数及其应用

法二:(定义法)设 x1>x2, a 则 f(x1) - f(x2) = 2 (ax1 - a - x1) - a -1 a (ax2-a-x2) 2 a -1 ? 1 ? a ? = 2 (ax1-ax2)?1+ x x ? ? , a 1a 2? a -1 ? a 1 当 a>1 时,2 >0, ax1-ax2>0,1+ x x a 1a 2 a -1 >0,

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基本初等函数、导数及其应用

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 此时函数 f(x)为增函数; a 当 0<a<1 时, 2 <0,ax1-ax2<0,1+ a -1 1 <0, ax1ax2 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 此时函数 f(x)为增函数; 综上可知:f(x)为增函数.
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基本初等函数、导数及其应用

a -x x 法三:(导数法)∵f(x)= 2 (a -a ), a -1 a - x x ∴ f′(x) = 2 (a lna + a lna) = a -1 -x x alna?a +a ? . 2 a -1 当 a>1 时,f′(x)>0,此时 f(x)为增函 数; 当 0<a<1 时,f′(x)>0,此时 f(x)为增 函数, 综上可知:f(x)为增函数.
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基本初等函数、导数及其应用

(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数,所以在 区间[-1,1]上为增函数. 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), a -1 所 以 f(x)min = f( - 1) = 2 ( a - a) = a -1 2 1 - a a · a =-1, 2 a -1 要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1, 故 b 的取值范围是(-∞,-1].
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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

判断函数的奇偶性时

必须先研究函数的定义域,而研究函
数的单调性时,可以在已知的常见函

数的单调性的基础上进行讨论,对于
恒成立问题,一般都会与函数的最值

有关,通过分离参数,求出函数的最
值,从而可得到参数的取值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

方法感悟
方法技巧 1.单调性是指数函数的重要性质,特 别是函数图象的无限伸展性,x轴是指 数函数图象的渐近线.当0<a<1,x→ +∞时,y→0;当a>1,x→-∞时,

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基本初等函数、导数及其应用

y→0;当a>1时,a的值越大,图象越 靠近y轴,递增的速度越快;当0<a<1 时,a的值越小,图象越靠近y轴,递 减的速度越快.

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基本初等函数、导数及其应用

2.画指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象, 1 应抓住三个关键点: (1, a)、 (0,1)、 (-1, ). a 3.在有关根式、分数指数幂的变形、求 值过程中, 要注意运用方程的观点处理问 题,通过解方程(组)来求值,或用换元法 转化为方程来求解.

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基本初等函数、导数及其应用

失误防范 1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象 和性质与a的取值有关,要特别注意 区分a>1与0<a<1来研究.

2.对可化为a2x+b· ax+c=0或a2x+
b· ax+c≥0(≤0)形式的方程或不等式,常

借助换元法解决,但应注意换元后“
新元”的范围.
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基本初等函数、导数及其应用

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年高考对指数和指数型函数的 考题来看,主要是以其性质及图象为 依托,常与其他函数进行复合,试题

以选择题、填空题为主,考查学生计
算能力和数形结合能力,属低档题.
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基本初等函数、导数及其应用

题型有数值的计算,函数值的求法, 数值的大小比较,解简单指数不等式 等.在解答题中,常与导数结合. 预测2013年福建的高考中,主要以利 用指数函数的性质比较大小和解不等 式为重点,同时关注解答题与导数的 融合.
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基本初等函数、导数及其应用

典例透析


(2010· 高考重庆卷 ) 函数 f(x) =

4x+1 的图象( ) 2x A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称

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基本初等函数、导数及其应用

4 +1 x -x 【解析】 ∵f(x)= x =2 +2 , 2 ∴f(-x)=f(x),是偶函数.

x

【答案】

D

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

本试题难度并不大,其

思路是首先进行指数式的运算,然后再 判断奇偶性,试想若 f(x) 变为: f(x) = 2x ,其奇偶性如何? x 4 +1

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