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课堂达标·效果检测 2.2.2.2



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课堂达标·效果检测
1.如果椭圆 + =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( A.x-

2y=0 C.2x+3y-12=0 B.x+2y-4=0X D.x+2y-8=0
kB1.c om

)

【解析】 选 D.设这条弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则

两式相减再变形得

+k

=0.

又弦中点为(4,2),故 k=- , 故这条弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4), 整理得 x+2y-8=0.故选 D. 2.若直线 mx+ny=4 和☉O:x2+y2=4 没有交 点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点个数为( A.2 个 C.1 个 ) B.至多一个 D.0 个

【解析】选 A.若直线与圆没有交点, 则 d= >2, <1,
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解得 m2+n2<4,即 所以 + <1,

所以点(m,n)在椭圆内部,
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kB1.c om

故直线与椭圆有 2 个交点,故选 A. X

3.过椭圆 + =1 的左焦点且斜率为 1 的弦 AB 的长是 【解析】椭圆的左焦点为 (-4,0), 由 x1+x2=,x1x2= × = . .

.

得 34x2+200x+175=0, 所以

所以|AB|= = ×

答案: 4.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜 率为 ,则 的值为 .

【解析】把 y=1-x 代入椭圆 ax2+by2=1, 得 ax2+b(1-x)2=1, 整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,y1+y2=2,
新 课 标 xk b1. c om x k b 1 . c o m

所以线段 AB 的中点坐标为

,w

W w .x K b 1.c o M

所以过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 k= 答案:

= =

.

5.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ =1(0<b<1)的左、 右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|.
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(2)若直线 l 的斜率为 1, 求 b 的值. 【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= . (2)l 的方程式为 y=x+c,其中 c= 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 A,B 两点坐标满足方程组 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. 则 x1+x2= ,x1x2= . .

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因为直线 AB 的斜率为 1, 所以|AB|= |x2-x1|,即 = |x2-x1|. =
x k b 1 . c o m

则 =(x1+x2)2-4x1x2= 解得 b= .

.

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