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三垂线定理复习



三垂线定理
(04高考复习)

复习目标:
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理,要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理,并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。

一、引例:如图,已知PA⊥平面ABC, ∠ABC=90°,求证:BC⊥PB。
证明:∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC 内,∴PA⊥BC,又∠

ABC=90°, ∴BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB,PB在 平面PAB内,∴BC⊥PB

思考:

(1)证明线线垂直的方法有哪些?
(2)三垂线定理及其逆定理的主要内容。

线线垂直的方法 :
(1)a⊥? ,b在 ? 内,则a⊥b

(2)a∥b,m⊥b,则a⊥m
(3)三垂线定理及其逆定理

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直。 三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个 平面内的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射 影垂直。

三垂线定理包含几种垂直关系?
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P P P O

α

A

O

a

α

A

a

α

A

O

a

直 线 和

平面垂直

平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直

平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直

三垂线定理和其逆定理
线射垂直
α
P

A

O

a


α

P A

线斜垂直
O

a

平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直

平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直

线射垂直
三垂线定理:





逆定理

线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理

在平面 内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那 么,它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和 这个平面的一条斜线垂直,那 么,它也和这条斜线的射影垂 直。

线斜垂直

二、定理内容阐述:
1、三垂线定理包括5个要素:一面(垂面);四线(斜线、垂线、射 影和平面内的直线。
顺口溜:一定平面,二定垂线,三找斜线,射影可见,直线随 便。 2、“三垂线”的含义: (1)垂线与平面垂直 (2)射影与平面内的直线垂直 (3)斜线与平面内的直线垂直

?

三、巩固性练习:
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直,则 这条直线 与斜线的位置关系是( D )

(A)垂直

(B)异面

(C)相交

(D)不能确定

2、在一个四面体中,如果它有一个面是直角三角形,那么它 的另外三个面( C ) (A)至多只能有一个直角三角形 (B)至多只能有两个直角三角形

(C)可能都是直角三角形
(D)一定都不是直角三角形

四、例题分析:

例1:如图所示,已知PA ⊥平面ABC,∠ACB= 90°, AQ⊥PC,AR⊥PB,试证?PBC、 ?PQR为直角三角形。
证明:∵PA⊥平面ABC,∠ACB= 90°, ∴AC⊥BC,AC是斜线PC在平面ABC的射影, ∴BC⊥PC(三垂线定理), ∴?PBC是直角三角形; ∴BC⊥ 平 面 PAC , AQ 在 平 面 PAC 内 , ∴ BC⊥AQ , 又 PC⊥AQ , ∴ AQ⊥ 平 面 PBC , ∴QR是AR在平面PBC的射影,又AR⊥PB, ∴QR⊥PB(三垂线逆定理), ∴?PQR是直角三角形。

小结:凡是能够使用三垂线定理或逆定
理证明的结论,都能由线面垂直的性质 来证明,而我们的目标应该是能够熟悉 这两个定理的直接应用。

例题2、空间四边形ABCD中,AB垂直于CD,BC垂直于 AD,求证:AC ⊥BD。
证明:如图,若AB是平面BCD的斜线,过 A作AO⊥平面BCD于O,连结BO, ∵AB⊥CD,∴CD⊥BO(三垂线逆定理), 同理可得BC⊥OD,则O为?BCD的垂心, ∴BD⊥OC,∵OC是AC的射影,∴BD⊥AC (三垂线定理)。 若AB ⊥平面BCD,垂线即是AB, 由条件BC⊥AD,则BC⊥BD(三 垂线逆定理),而BC是AC的射 影, ∴BD⊥AC(三垂线定理)

小结:运用三垂线定理及逆定理,必然 要涉及平面的斜线,此题的讨论是必要 的。

例题3、如图示,已知DB、EC都垂直于正三角ABC所 在的平面,且BC=EC=2DB,求平面ADE与平面ABC所 成二面角的平面角。
解:延长ED、BC交于F,连AF,则AF 为二面角的棱,由已知DB、EC都 垂直正三角ABC,∴ DB//EC,又 BC=EC=2DB∴ FB=BC=AB,∴ ?FAC A 为Rt ?,且FA⊥AC,而EC ⊥平面 ABC,∴ AF⊥AE(三垂线定理), 于是∠EAC为平面ABC与平面ADE的平 面角,又EC=AC,∴ ∠EAC= 45°, ∴ 二面角的平面角为45°。 思考:本题还可以用什么方法求二 面角的平面角? F s
(用
E

D C

B

cos ? ?

?ABC

S ?ADE



小结:求二面角往往是作出二面角的平面角, 先确定二面角的棱,再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角,从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有(1)定义法,(2) 三垂线定理法,(3)作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。 (学习空间向量之后,我们还有另外的方法来 求二面角,例如法向量法等.)

例题4、直角三角形ABC中,∠B= 90°, ∠C= 30°, D是BC的中点,AC=2,DE⊥平面ABC且DE=1,求E到斜线 AC的距离?
解: 过点D作DF ⊥AC于F,连结EF, ∵DE⊥ 平面ABC,由三垂线定理知EF⊥AC,即E 到斜线AC的距离为EF,在Rt ?ABC中, ∠B= 90°,∠C= 30°,AC=2, ∴BC=
3,? CD ? 3 2
E B

D

,∵DF⊥AC, ∴

CD ?

3 4

A F C

在Rt ?EDF中
为所求

小结:求点到直线的距离,常运用三垂线 定理(或逆定理)把垂线段作出,按“一 作、二证、三计算”的步骤求解。 方法规律: 三垂线定理及其逆定理的应用: (1)证明两条异面直线垂直; (2)确定二面角的平面角; (3)确定点到直线的垂线段。 运用定理时要习惯非常规位置图形上的 应用,不能只习惯于水平放置的平面上 运用。

能力拓展:
1、如图所示:已知直三棱柱ABC-DEF中, ∠ACB= 90°, ∠BAC=30°,BC=1,AD ? 6 ,M是CF的中点,求证AE⊥DM。
? 证明:连结AF, AC MF ? 3 6 2 ? 2, CF AF ? 6 2 ? 2

∴ Rt ?AFC∽ Rt ?MDF, ∴ ∠AFC= ∠MDF , ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°, ∴ DM ⊥AF,又ABC-DEF为直三棱柱,∴ CF⊥EF,又EF⊥DF,∴ EF⊥平面AF,由三 垂线定理知AE⊥DM

能力拓展:
2、过Rt ?BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC,求证: ?ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。 证明:∵H是?ABC的垂心,连结AH延长交 BC于D,连结BH延长交AC于E,∴AD⊥BC, BE⊥AC,∵AP⊥平面PBC,∴BC⊥PD, AD∩PD=D,∴BC⊥平面ADP,∴BC⊥PH, 又AP⊥面PBC,∴AP⊥PB,由已知BP⊥PC, ∴PB⊥面APC,又BE⊥AC,∴PE⊥AC, ∴AC⊥面PBE,∴PH⊥AC,AC∩BC=C, ∴PH⊥面ABC,∴H是P点在平面ABC的射 影。

1.直接利用三垂线定理证明下列各题: (1) PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM (3) 在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1

P A O B C

P

D1

C1

A1
D A C

B1 D
C

M (2) B

A (3)

(1)

B

(1) PA⊥正方形ABCD所在平

P A

面,O为对角线BD的中点,
求证:PO⊥BD,PC⊥BD 证明: ∵ABCD为正方形

D

O
B C

O为BD的中点
∴ AO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影

??

PO⊥BD

同理,AC⊥BD

AO是PO在ABCD上的射影

??

PC⊥BD

P
(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中点, 求证:BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点

C A

M B
?? BC⊥AM

?? PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影

D1 (3) 在正方体AC1中,

C1
B1

求证:A1C⊥BC1 , A1C⊥B1D1
证明: ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C

A1

D
A D1 B1 D B

C

∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影

C1

由三垂线定理知
A1C⊥BC1

A1

同理可证, A1C⊥B1D1

C B

A

2.判断下列命题的真假: ⑴若a是平面α的斜线,直线b垂直于 A1 a在平面α内的射影,则 a⊥b ( × ) ⑵若 a是平面α的斜线,平面β内 的直线b垂直于a在平面α内的射 影,则 a⊥b ( ×)

D1

C1

B1

D

⑶若a是平面α的斜线,直线b? α A 且b垂直于a在另一平面β内的射 B 影则a⊥b ( × ) 面ABCD →面α 面ABCD →面α 面B1BCC1→面α 面ABCD →面β ⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 直线A11CC→斜线 a a 直线A C →斜线 a 直线A1 →斜线 b垂直于a在平面α内的射影, 直线B1BB →垂线 b 直线AB →垂线 b 则 a⊥b ( √ ) 直线B1

C

3. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。 已知:∠BAC在平面?内,点P??,PE⊥AB,PF⊥AC, PO⊥? ,垂足分别是E、F、O,PE=PF P 求证:∠BAO=∠CAO 分析: 要证 ∠BAO=∠CAO E B 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC O 证明: ∵ PO ⊥? ? F ∴OE、OF是PE、PF在?内的射影 ∴ OE=OF ∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB ?? OE⊥AB 同理可得OF⊥AC

?

?

?

A C 结 论 成 立

4. 在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD 求证:AD⊥BC 证明:作AO⊥平面BCD于点O, 连接BO,CO,DO,则BO, CO,DO分别为AB,AC, AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD,∴BO⊥CD, 同理CO⊥BD, 于是O是△BCD的垂心, ∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.

A

B
O C

D

练习与作业
1. 在正方体AC1中,E、G分别是AA1和 CC1的中点, F在AB上,且C1E⊥EF, 则EF与GD所成的角的大小为( D ) (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°

D1 A1 E A D B1 M

C1 G C

EB1是EC1在平面AB1 内的射影

F

B

EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG

P

2.已知 PA、PB、PC两两垂直, 求证:P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线,如果斜线和 这个角两边的夹角相等,那么 斜线在平面上的射影是这个角 D1 的平分线所在的直线。 B
C1

H
C
A1

A

B1

4.在ABCD—A1B1C1D1中, 求证:AC1⊥平面BC1D
D

C
A

B



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