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同角三角函数基本关系式



同角三角函数的基本关系式

类型一: 应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题
例1、已知 sin? ? 4 , 且?是第二象限角,求角 ?的余弦值和正切值。 5

解:

由sin2 ? ? cos2 ? ? 1得

4 3 cos ? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 1

? ( ) 2 ? ? 5 5

因 为?是 第 二 象 限 角 , cos? ? 0, 所 以

3 cos? ? ? 5
tan? ? sin? 4 5 4 ? ( ) ? (? ) ? ? cos? 5 3 3

4 变式1 、已知 sin ? ? ,求 cos ? , tan ?的值 5 自我反思: 解: 由sin2 ? ? cos2 ? ? 1得
? sin ? ? 0 ? 角?是第一或第二象限角


3 cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5
2

解:由sin? ?

4 5 3 5

得 cos? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 得 tan? ? ?

?

是第一象限角时, cos ?

?0
tan ? ?

sin? 4 ?? cos? 3 所得结果的符号由角所在象限决定

? cos? ?


9 3 ? 25 5

sin ? 4 5 4 ? ? ? cos ? 5 3 3

?

cos ? 是第二象限角时,
9 3 ?? 25 5

?0
tan ? ? sin ? 4 5 4 ? ? (? ) ? ? cos ? 5 3 3

? cos? ? ?

变式2、已知tan? ? ? 3,求sin ? , cos?的值
解:? tan? ? sin?
cos?

sin ? 3 sin 2 ? ? ?? 3 4 解得: { ?{ cos2? 1 cos2 ? ? sin ? ? cos2 ? ?1
? tan? ? 0 ? ?为 第 二 或 第 四 象 限 角
当?为第二象限角时 3 3 ? , cos? ? ? 4 2 当?为第四象限角时 sin? ? sin? ? ? 3 3 ?? , cos? ? 4 2

{

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sin ? ? tan ? cos ?

4

方程(组) 思想
1 1 ?? 4 2 1 1 ? 4 2

讨论交流:
sin? 公式sin ? ? cos ? ? 1, ? tan?各自的特点 cos?
2 2

2 2 sin ? ? 1 ? cos ? 移项变形: { cos2 ? ?1?sin 2 ?

常用于正弦、余弦函数 的相互转化,相互求解。

注: 在开方时,由角

?

所在的象限来确定开方后的符号。



sin ? ? {

1?cos2 ?,当?在一、二象限时

? 1?cos2 ?,当?在三、四象限时
1?sin 2 ? ,当?是一、四象限时

cos? ? {

? 1?sin 2 ?,当?是二、三象限时

5 例3、已知 sin? ? cos? ? ? ,1800 ? ? ? 2700 , 求 tan?的值。 5
解:依题意和基本三恒 角等式,得到方程组 ? ?sin? ? cos? ? ? 5 ? 5 2 2 ? ?sin ? ? cos ? ? 1

5 cos2 ? ? 5 cos? ? 2 ? 0 2 5 5 由 方 程 解 得 cos? ? 或 cos? ? ? 5 5
因为 1800 ? ? ? 2700, cos? ? 0, 5 所以 , cos? ? ? 5
代入原方程组得 , 于是 , tan? ? sin? ? ? sin? ? 2. cos? 2 5 5

消 去sin? , 得

类型二: 应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式

例4、 化简

sin ? ? cos ? tan ? ? 1
解题思想: 统一消元的思想, 常用化简方法“切化 弦”。

sin ? ? cos? 解:原式 ? sin ? ?1 cos? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? cos?

? cos ?

例5 化简 1- sin 2 800
解:原式 ? cos 80 ? cos80 ? cos80
2 0 0 0

解题思路:公式变形

类型三 应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式 cos x 1 ? sin x 求证 ? 发散思维 1 ? sin x cos x
提问:本题还有其 他证明方法吗?

例题6
证法一:

cosx 1 ? sin x 因为 ? 1 - cosx cos x
cos2 x ? (1 ? sin2 x) ? (1 ? sin x) cos x

证法二:
因为

(1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin2 x ? cos2 x

且1 ? sin x ? 0, cos x ? 0
所以

cos2 x ? cos2 x ? (1 ? sin x) cos x

cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

?0
所以,原式成立

证法三:

由 cos x ? 0, 1 ? sin x ? 0可知
左边 ?

cos x (1 ? sin x ) (1 ? sin x )(1 ? sin x )

? ?
?

cos x(1 ? sin x) 1 ? sin2 x cos x(1 ? sin x) cos2 x
1 ? sin x ? 右边 cos x

所以原式成立

五、练习
1 , 求cos x , tan x的 值 3 sin? ? cos? 的值; sin? ? cos?

1、 已 知 sin x ? ?

2、 已 知tan? ? 2, 求

3、求证 (cos ? ? 1)2 ? sin2 ? ? 2 ? 2 cos ?;